资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩11页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：5.1 任意角和弧度制 讲义
展开
这是一份【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：5.1 任意角和弧度制 讲义，文件包含51任意角和弧度制原卷版docx、51任意角和弧度制解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
5.1 任意角和弧度制
思维导图
新课标要求
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
知识梳理
一、任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．角的分类：
名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
二、角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
三、象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
四、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
五、度量角的两种单位制
1．角度制：
(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．
(2)1度的角：周角的.
2．弧度制：
(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
六、弧度数的计算
七、角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
八、弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
名师导学
知识点1 任意角的概念
理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【分析】根据角的定义判断．
【详解】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．
故选：B.
【变式训练1-1】（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等
【答案】C
【分析】根据象限角的定义、锐角、钝角、终边相同的角的定义逐一判断即可.
【详解】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确；
B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确；
C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确；
D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等，所以本选项命题不正确，
故选：C
知识点2 终边相同的角（重点）
终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．
(2)终边相同的角相差360°的整数倍．
【例2-1】（2022·北京八中高一期中）下列角中与20°终边相同的角是（ ）
A．200° B．-340° C．-20° D．340°
【答案】B
【分析】由与20°终边相同的角是，从而即可求解.
【详解】解：与20°终边相同的角是，
当时，，
故选：B.
【例2-2】（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可.
【详解】利用终边相同的角的关系，得，.
则与有关，故AC错误；
又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以.
故选：D．
【变式训练2-1】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
【变式训练2-2】（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将化为，即可确定答案.
【详解】因为，故角的终边与的终边相同，
故选：A
【变式训练2-3】（2022·全国·高一课时练习）将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出终边相同的角的集合，进而选出正确答案.
【详解】由题意得：，
当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确.
故选：B
【变式训练2-4】（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的最小正角是____.
【答案】°
【分析】用360°的整数倍的角去相加（减）可得．实际上是化为（）形式即可．
【详解】，
与终边相同，又终边相同的两个角相差的整数倍，
在上，只有与终边相同，
与终边相同的最小正角是，
故答案为：.
知识点3 象限角与区域角
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
【例3-1】（2022·河南南阳·高一期末）已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.
【详解】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.
故选：C.
【例3-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令即可判断出正确选项.
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
【变式训练3-1】（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据任意角的相关知识，对每一项进行逐一判断和分析，即可选择.
【详解】对①：是第四象限角，故①正确；
对②：，故其为第三象限角，故②正确；
对③：，又是第二象限角，故是第二象限角，③正确；
对④：，又是第一象限角，给是第一象限角，④正确.
故正确的有个.
故选：.
【变式训练3-2】（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【分析】利用象限角的定义进行求解.
【详解】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
【变式训练3-3】（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
知识点4 角度制与弧度制的互化
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
【例4-1】（2021·全国·高一课时练习）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
(1)(2)(3)(4)(5) (6)
【解】(1)解：弧度弧度，
(2)解：弧度弧度，
(3)解：弧度弧度．
(4)解：弧度，
(5)解：弧度，
(6)解：弧度．
【变式训练4-1】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式可求角的弧度数.
【详解】角对应的弧度数为，
故选：B.
【变式训练4-2】（2022·河南南阳·高一期中）把化成角度制是（ ）
A．36° B．30° C．24° D．12°
【答案】A
【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解即可.
【详解】由角度制与弧度制的互化知，，
所以，
故选：A
【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：A
知识点5 与扇形的弧长、面积有关的计算（重难点）
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
【例5-1】（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.
【解】（1），扇形的弧长；
（2）扇形的周长，，
扇形面积，
则当，，
即当时，扇形面积最大值.
【例5-2】（2022·全国·高一课时练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
【变式训练5-1】（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.
【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．
故选：A．
【变式训练5-2】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）在半径为1的单位圆中，一条弦的长度为，则弦所对的圆心角是（ ）
A． B． C． D．=
【答案】D
【分析】连接圆心与弦的中点，解三角形求的大小.
【详解】连接圆心与弦的中点，由圆的性质可得，
在中，，，,
所以，又，
所以，所以,
所以，
故选：D.
【变式训练5-3】（2022·全国·高一课时练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
【变式训练5-4】（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，则一个“花瓣”的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.
【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，
所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，
所以弓形的面积，
所以一个“花瓣”的面积为，
故选：B.
【变式训练5-5】（2021·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________；面积为___________.
【答案】 4 ##
【分析】利用扇形的弧长公式求半径，再应用扇形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，该扇形的半径，面积为.
故答案为：4，
【变式训练5-6】（2022·北京·昌平一中高一期中）扇形的面积是，它的弧长是，则扇形的圆心角的弧度数为___________；弦的长为___________.
【答案】
【分析】①利用扇形面积公式及弧长公式即可求解；②取的中点，连接，则，且，在中可解得，进而求得
【详解】设扇形所在圆半径为，则
所以，所以
如图所示，取的中点，连接，则，且
在中，
所以
故答案为：；
【变式训练5-7】（2021·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
(1)若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值；
(2)若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值.
【解】(1)由题设，，又且，
∴，当且仅当时等号成立，
∴时的最小值为.
(2)由（1）知：，，
当且仅当时，的最大值为.
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任意角的概念计算可得.
【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.
【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．
故选：D．
3．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出与角终边相同的角的集合，取值得答案.
【详解】解：与角终边相同的角的集合为，
取时，.
故选：D
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角，则符合条件的最大负角为（ ）
A．–22 º B．–220 º C．–202 º D．–158 º
【答案】A
【分析】由，求出的范围，即可求解
【详解】因为，
所以，
又，
所以当时，最大负角为，
故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（ ）
A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m
【答案】B
【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.
【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，
则两手之间的距离．
故选：B．
6．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，则集合M，N的关系为（ ）
A． B．Ü C．Ü D．
【答案】B
【分析】两个集合分别用列举法表示即可求解.
【详解】由于，，所以，
故选：B.
7．（2021·天津·高一期末）已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（ ）
A．32 B．24 C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【详解】圆心角，扇形面积，
即，得半径，
所以弧长，
故扇形的周长.
故选：D
8．（多选）（2022·江西上饶·高一阶段练习）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C．
【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，
所以是第一象限角，故A正确，D错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，
故是第一或第三象限角，故 B正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误．
故选：AB．
9．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解
【详解】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：ACD
10．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.
故选：AB．
11．（2022·全国·高一课时练习）的角化为角度制的结果为_______．
【答案】
【分析】利用角度与弧度的互化即可求得对应角度制的结果
【详解】
故答案为：
12．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】终边相同的角，相差的整数倍，据此即可求解
【详解】∵，当时，，∴与终边相同的角可以为，
故答案为：222°（答案不唯一）
13．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
【答案】
【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.
【详解】因为，，
结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为
.
故答案为:.
14．（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.
【答案】
【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.
【详解】解：由题意可知，
设，
则弧的长度为，所以，
设弧所对的扇形的面积为，
，
则该鲁洛克斯三角形的面积为.
故答案为：.
15．（2022·全国·高一课时练习）求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角
【分析】由可确定其为第四象限角，结合终边相同的角的表示法可确定最小正角和最大负角.
【详解】，
角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，
当时，；当时，；
与角终边相同的最小正角为，最大负角为.
16．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此时
【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解；
（2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解.
（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
B组-[素养提升]
1．（2022·江苏宿迁·高一期中）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：）
A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2
【答案】D
【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可
【详解】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为，
故选：D
2．（2022·全国·高一学业考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．
【答案】
【分析】根据题意得到圆心角，结合弧长公式，即可求解.
【详解】由题意，可知圆心角，半径，
所以所对应的弧长为．
故答案为：.
3．（2022·全国·高一课时练习）若，，试确定，分别是第几象限角．
【答案】为第一象限角；为第一或第三象限角
【分析】分别求得和，根据对的取值的讨论可求得结果.
【详解】由得：，为第一象限角；
由得：，
当时，，则为第一象限角；
当时，，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，点是圆上的点.
(1)若，，求劣弧的长；
(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心角为可知为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果；
（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，可知；
方法一：由，利用基本不等式可知当时，取得最大值，由可求得结果；
方法二：由，将表示成关于的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得，由可求得结果.
【详解】（1），，又，为等边三角形，
，则劣弧的长为.
（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，
扇形的周长为，，
方法一：扇形面积（当且仅当时取等号），
当扇形面积取得最大值时，圆心角.
方法二：扇形面积，
则当时，取得最大值，此时，
当扇形面积取得最大值时，圆心角.
5.1 任意角和弧度制
思维导图
新课标要求
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
知识梳理
一、任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．角的分类：
名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
二、角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
三、象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
四、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
五、度量角的两种单位制
1．角度制：
(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．
(2)1度的角：周角的.
2．弧度制：
(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
六、弧度数的计算
七、角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
八、弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
名师导学
知识点1 任意角的概念
理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【分析】根据角的定义判断．
【详解】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．
故选：B.
【变式训练1-1】（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等
【答案】C
【分析】根据象限角的定义、锐角、钝角、终边相同的角的定义逐一判断即可.
【详解】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确；
B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确；
C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确；
D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等，所以本选项命题不正确，
故选：C
知识点2 终边相同的角（重点）
终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．
(2)终边相同的角相差360°的整数倍．
【例2-1】（2022·北京八中高一期中）下列角中与20°终边相同的角是（ ）
A．200° B．-340° C．-20° D．340°
【答案】B
【分析】由与20°终边相同的角是，从而即可求解.
【详解】解：与20°终边相同的角是，
当时，，
故选：B.
【例2-2】（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可.
【详解】利用终边相同的角的关系，得，.
则与有关，故AC错误；
又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以.
故选：D．
【变式训练2-1】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
【变式训练2-2】（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将化为，即可确定答案.
【详解】因为，故角的终边与的终边相同，
故选：A
【变式训练2-3】（2022·全国·高一课时练习）将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出终边相同的角的集合，进而选出正确答案.
【详解】由题意得：，
当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确.
故选：B
【变式训练2-4】（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的最小正角是____.
【答案】°
【分析】用360°的整数倍的角去相加（减）可得．实际上是化为（）形式即可．
【详解】，
与终边相同，又终边相同的两个角相差的整数倍，
在上，只有与终边相同，
与终边相同的最小正角是，
故答案为：.
知识点3 象限角与区域角
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
【例3-1】（2022·河南南阳·高一期末）已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.
【详解】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.
故选：C.
【例3-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令即可判断出正确选项.
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
【变式训练3-1】（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据任意角的相关知识，对每一项进行逐一判断和分析，即可选择.
【详解】对①：是第四象限角，故①正确；
对②：，故其为第三象限角，故②正确；
对③：，又是第二象限角，故是第二象限角，③正确；
对④：，又是第一象限角，给是第一象限角，④正确.
故正确的有个.
故选：.
【变式训练3-2】（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【分析】利用象限角的定义进行求解.
【详解】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
【变式训练3-3】（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
知识点4 角度制与弧度制的互化
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
【例4-1】（2021·全国·高一课时练习）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
(1)(2)(3)(4)(5) (6)
【解】(1)解：弧度弧度，
(2)解：弧度弧度，
(3)解：弧度弧度．
(4)解：弧度，
(5)解：弧度，
(6)解：弧度．
【变式训练4-1】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式可求角的弧度数.
【详解】角对应的弧度数为，
故选：B.
【变式训练4-2】（2022·河南南阳·高一期中）把化成角度制是（ ）
A．36° B．30° C．24° D．12°
【答案】A
【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解即可.
【详解】由角度制与弧度制的互化知，，
所以，
故选：A
【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：A
知识点5 与扇形的弧长、面积有关的计算（重难点）
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
【例5-1】（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.
【解】（1），扇形的弧长；
（2）扇形的周长，，
扇形面积，
则当，，
即当时，扇形面积最大值.
【例5-2】（2022·全国·高一课时练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
【变式训练5-1】（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.
【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．
故选：A．
【变式训练5-2】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）在半径为1的单位圆中，一条弦的长度为，则弦所对的圆心角是（ ）
A． B． C． D．=
【答案】D
【分析】连接圆心与弦的中点，解三角形求的大小.
【详解】连接圆心与弦的中点，由圆的性质可得，
在中，，，,
所以，又，
所以，所以,
所以，
故选：D.
【变式训练5-3】（2022·全国·高一课时练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
【变式训练5-4】（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，则一个“花瓣”的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.
【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，
所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，
所以弓形的面积，
所以一个“花瓣”的面积为，
故选：B.
【变式训练5-5】（2021·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________；面积为___________.
【答案】 4 ##
【分析】利用扇形的弧长公式求半径，再应用扇形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，该扇形的半径，面积为.
故答案为：4，
【变式训练5-6】（2022·北京·昌平一中高一期中）扇形的面积是，它的弧长是，则扇形的圆心角的弧度数为___________；弦的长为___________.
【答案】
【分析】①利用扇形面积公式及弧长公式即可求解；②取的中点，连接，则，且，在中可解得，进而求得
【详解】设扇形所在圆半径为，则
所以，所以
如图所示，取的中点，连接，则，且
在中，
所以
故答案为：；
【变式训练5-7】（2021·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为.
(1)若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值；
(2)若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值.
【解】(1)由题设，，又且，
∴，当且仅当时等号成立，
∴时的最小值为.
(2)由（1）知：，，
当且仅当时，的最大值为.
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·全国·高一课时练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任意角的概念计算可得.
【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.
【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．
故选：D．
3．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出与角终边相同的角的集合，取值得答案.
【详解】解：与角终边相同的角的集合为，
取时，.
故选：D
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角，则符合条件的最大负角为（ ）
A．–22 º B．–220 º C．–202 º D．–158 º
【答案】A
【分析】由，求出的范围，即可求解
【详解】因为，
所以，
又，
所以当时，最大负角为，
故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（ ）
A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m
【答案】B
【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.
【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角，
则两手之间的距离．
故选：B．
6．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，则集合M，N的关系为（ ）
A． B．Ü C．Ü D．
【答案】B
【分析】两个集合分别用列举法表示即可求解.
【详解】由于，，所以，
故选：B.
7．（2021·天津·高一期末）已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（ ）
A．32 B．24 C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【详解】圆心角，扇形面积，
即，得半径，
所以弧长，
故扇形的周长.
故选：D
8．（多选）（2022·江西上饶·高一阶段练习）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C．
【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，
所以是第一象限角，故A正确，D错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，
故是第一或第三象限角，故 B正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误．
故选：AB．
9．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解
【详解】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：ACD
10．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.
故选：AB．
11．（2022·全国·高一课时练习）的角化为角度制的结果为_______．
【答案】
【分析】利用角度与弧度的互化即可求得对应角度制的结果
【详解】
故答案为：
12．（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】终边相同的角，相差的整数倍，据此即可求解
【详解】∵，当时，，∴与终边相同的角可以为，
故答案为：222°（答案不唯一）
13．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
【答案】
【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.
【详解】因为，，
结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为
.
故答案为:.
14．（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.
【答案】
【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.
【详解】解：由题意可知，
设，
则弧的长度为，所以，
设弧所对的扇形的面积为，
，
则该鲁洛克斯三角形的面积为.
故答案为：.
15．（2022·全国·高一课时练习）求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角
【分析】由可确定其为第四象限角，结合终边相同的角的表示法可确定最小正角和最大负角.
【详解】，
角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，
当时，；当时，；
与角终边相同的最小正角为，最大负角为.
16．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此时
【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解；
（2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解.
（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
B组-[素养提升]
1．（2022·江苏宿迁·高一期中）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：）
A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2
【答案】D
【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可
【详解】设的外接圆的半径为，则，得，
因为月牙内弧所对的圆心角为，
所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为，
故选：D
2．（2022·全国·高一学业考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．
【答案】
【分析】根据题意得到圆心角，结合弧长公式，即可求解.
【详解】由题意，可知圆心角，半径，
所以所对应的弧长为．
故答案为：.
3．（2022·全国·高一课时练习）若，，试确定，分别是第几象限角．
【答案】为第一象限角；为第一或第三象限角
【分析】分别求得和，根据对的取值的讨论可求得结果.
【详解】由得：，为第一象限角；
由得：，
当时，，则为第一象限角；
当时，，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，点是圆上的点.
(1)若，，求劣弧的长；
(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心角为可知为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果；
（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，可知；
方法一：由，利用基本不等式可知当时，取得最大值，由可求得结果；
方法二：由，将表示成关于的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得，由可求得结果.
【详解】（1），，又，为等边三角形，
，则劣弧的长为.
（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，
扇形的周长为，，
方法一：扇形面积（当且仅当时取等号），
当扇形面积取得最大值时，圆心角.
方法二：扇形面积，
则当时，取得最大值，此时，
当扇形面积取得最大值时，圆心角.
相关资料
更多
