【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第07讲 平面向量基本定理 讲义

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第07课  平面向量基本定理  课程标准课标解读  理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.  .掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.  会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．   知识点  平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个      向量，那么对于这一平面内的    向量a，              实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内     向量的一个基底． 【即学即练】　（多选）下列结论正确的是（    ）A．已知向量，且与的夹角为锐角，则B．中，，则有两解C．向量能作为所在平面内的一组基底D．已知平面内任意四点O，A，B，P满足，则A，B，P三点共线        反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．    考法01  平面向量基本定理的理解 【典例1】已知G是的重心，点D满足，若，则为（    ）A． B． C． D．1     【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ）A． B． C． D．       考法02  用基底表示向量【典例2】如图，在中，，则（    ）A． B．C． D．      【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ）A． B． C． D．和能构成一组基底      考法03  平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（    ）A． B． C．2 D．6       【变式训练】锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．        题组A  基础过关练 1．在中，点在边上，.记，则（    ）A． B． C． D．     2．在四边形中，，若，且，则（    ）A． B．3 C． D．2     3．如图，已知，则（    ）A． B． C． D．     4．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与     5．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ）A． B．C． D．     6．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使     7．（多选）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（       ）A．， B．，C．， D．，     8．（多选）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（    ）A． B． C．4 D．3     9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（    ）A． B．C． D．      10．在平行四边形中，，，若，，三点共线，则实数________.     11．如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝________.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.     12．已知下列四个命题：①若，，则；②设是已知的平面向量，则给定向量和，总存在实数和，使；③第一象限角小于第二象限角；④函数的最小正周期为.正确的有________.      题组B  能力提升练1．已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（    ）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③     2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，     3．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）．A．和 B．和C．和 D．和     4．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ）A．与  B．与C．与 D．与     5．在给出的下列命题中，错误的是（    ）A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足，则为等腰三角形D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形     6．（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（    ）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.     7．（多选）下列说法中正确的为（    ）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°     8．（多选）下列命题正确的是（    ）A．B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是C．若向量，能作为平面内所有向量的一组基底D．若，则在上的投影向量为     9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（    ）A．与能构成一组基底 B．C． D．      10．设是两个不共线的非零向量，且．（1）证明：可以作为一个基底；（2）以为基底，求向量的分解式．        题组C  培优拔尖练1．在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（    ）A． B． C． D．     2．如图，中，，，，，，则（    ）A． B． C． D．     3．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（    ）A． B．C． D．     4．如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．     5．在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ）A． B． C． D．      6．在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，，AE与BD交于O点，若，则mn的值为___________.      7．如图，在中，已知.(1)用向量分别表示与；(2)证明：三点共线.     8．如图，在梯形中，，且，设.(1)试用和表示；(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.