【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第13讲 余弦定理 讲义

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第13课 余弦定理

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课程标准
课标解读
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．


1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理.

2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用.


知识精讲


知识点01 　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝

【即学即练1】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　A
解析　∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B为△ABC的内角，∴B＝.

反思感悟
　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．


知识点02 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

【即学即练2】在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cos C＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.





能力拓展


考法01 已知两边及一角解三角形

【典例1】已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ，sin A＝ .
答案　2　
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
【变式训练】(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形．
解析　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.


考法02 已知三边解三角形

【典例2】在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．
解析　∵a>c>b，∴A为最大角．
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2