【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第14讲 正弦定理 讲义

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第14讲  正弦定理   课程标准课标解读1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．3.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.4.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.5.掌握正弦、余弦定理的简单应用． 利用余弦定理加上本节课学习的正弦定理就可以正式进行解三角形的问题的训练与提升，提高学生数学核心素养，提升数学学习能力。  知识点01 正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论＝＝文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的    的比相等  【即学即练1】　在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)A.  B.  C.  D.       知识点02  三角形中边与角之间的关系1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为钝角三角形；(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为直角三角形；(3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则cos A＝>0，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为锐角三角形．  【即学即练2】如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)A．锐角三角形   B．直角三角形C．钝角三角形   D．由增加的长度确定的           考法01  已知两角及任意一边解三角形  【典例1】在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．     反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．【变式训练】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．       考法02  已知两边及其中一边的对角解三角形 【典例2】在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．       反思感悟 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)用三角形内角和定理求出第三个角．(3)根据正弦定理求出第三条边．  【变式训练】　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　)A.  B.  C.  D.       考法03  已知两边及一边对角判断三角形解的个数 【典例3】　不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)b＝72，c＝50，C＝135°.     反思感悟(1)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a＝b无解无解一解a<b无解无解a>bsin A两解a＝bsin A一解a<bsin A无解 (2)通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养． 考法03    利用正弦、余弦定理解三角形【典例4】　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形．     反思感悟　若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．  题组A  基础过关练 1．在中，已知，，，则角为（    ）A． B． C． D．     2．在中，已知，，，则等于（    ）A．1 B． C． D．     3．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（    ）A． B． C．1 D．     4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ）A． B． C． D．     5．在中，角的对边分别为 ．若，则（    ）A． B． C．1 D．     6．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（    ）A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定      7．在中，，，若有一个解，则的取值范围是________.     8．在中，，，，那么的面积等于______．     9．已知的内角的对边分别是，若，则___________.      10．已知函数．(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)在中，角的对边分别为．若，，求的面积的最大值．     11．在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．      12．在中，内角的对边分别为.已知.(1)求的值；(2)若，求的值.      题组B  能力提升练1．在中，，AD平分交BC于点D，若，则（    ）A． B． C． D．     2．三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则的值为（    ）A． B． C． D．     3．在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（    ）A． B．C． D．     4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（    ）A． B． C． D．     5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）A．20 B． C．27 D．     6．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ）A． B． C． D．     7．已知的内角的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)设，且，求边.     8．在中，角的对边分别为.(1)求；(2)求内切圆的面积.     9．的内角所对的边分别为，，，已知(1)若，证明：；(2)若，，求的面积．     10．记的内角的对边分别为，已知，.(1)求的面积；(2)若，求的周长.        题组C  培优拔尖练1．设的面积为S，，已知，，则函数的值域为______．     2．已知的外接圆的圆心为，若，则_________.     3．锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为___________.     4．在中，所对的边分别为若，则面积最大值为__________     5．在中，角所对的边分别为已知，则的面积最大值为__________，此时__________.      6．中，.(1)若，求；(2)若，求的面积.     7．已知的内角的对边分别为，其面积为，且(1)求角A的大小；(2)若的平分线交边于点，求的长.     8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．     9．在中，，点，分别在，边上．(1)若，，求面积的最大值；(2)设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．     10．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.