【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第21讲 棱柱、棱锥、棱台 讲义

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第21课 棱柱、棱锥、棱台

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课程标准
课标解读
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．

1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.学会用连续变化的观点，或者函数的思想找到他们之间的区别与联系.
3.在熟悉基本知识的基础上，能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学抽象和数学运算能力.


知识精讲


知识点01 　空间几何体、多面体、旋转体的定义
1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．多面体、旋转体
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边形围成的几何体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形


相关概念
面：围成多面体的各个多边形；
棱：相邻两个面的公共边
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的定直线



【即学即练1】　有两个面平行的多面体不可能是(　　)
A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错
答案　B
解析　由棱锥的结构特征可得．


知识点02 　棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
棱柱
图形及表示
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

如图可记作：棱柱
ABCDEF—A′B′C′D′E′F′
相关概念：底面(底)：两个互相平行的面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与底面的公共顶点
分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；
(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．

反思感悟　棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．


【即学即练2】下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的说法的序号是________．
答案　③④
解析　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形．
②错误，棱柱的底面可以是三角形．
③正确，由棱柱的定义易知．
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．
所以说法正确的序号是③④.

知识点03 　棱锥的结构特征
棱锥
图形及表示
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

如图可记作：棱锥S—ABCD
相关概念：底面(底)：多边形面；
侧面：有公共顶点的各个三角形面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：各侧面的公共顶点
分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
【即学即练3】(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C．棱锥的侧棱平行
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
答案　AB
解析　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错．棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错．


知识点04 　　棱台的结构特征
棱台
图形及表示
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′
相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……


【即学即练4】(多选)下列说法错误的是(　　)
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
答案　ABC
解析　有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱长延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．

能力拓展


考法01 棱柱的结构特征

【典例1】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解　①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
【变式训练】　下列命题中正确的是(　　)
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
答案　D


考法02 棱锥、棱台的结构特征
【典例2】有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点．
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案　B
解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；由棱台的定义知，④正确；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．

反思感悟　判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法．
(2)直接法

棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点

【变式训练】下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
答案　①②
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．


分层提分


题组A 基础过关练

一、单选题
1．下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，

显然不是棱柱，故①错误；
②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；

③如图3，四边形为矩形，

即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．
故选：A
2．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（    ）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
【答案】D
【详解】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，
所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，
故选：D.
3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（    ）

A．2 B．1 C．高 D．考
【答案】C
【详解】解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，
故选:C.

4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长度为（    ）

A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥，正方形底面的边长为
侧棱长为，即最长棱的长度为
故选：C
5．如图所示的几何体的结构特征是（    ）

A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
【答案】C
【详解】图中的几何体为一个棱柱截去一个角，截去的角是一个棱锥.
故选C.
6．棱台不具备的特点是（    ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【答案】C
【详解】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
7．下列判断正确的是（　　）
A．正三棱锥一定是正四面体
B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
D．底面是正方形的棱台是正四棱台
【答案】C
【详解】正三棱锥不一定是正四面体，侧棱长与底面边长可能不相等，故A错误；
底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，顶点在底面的射影不一定是底面的中心，故B错误；
由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正确；
底面是正方形的棱台不一定是正四棱台，原因是棱台的侧棱延长后的交点在两底面的射影不一定为正方形的中心，故D错误．
故选：C
8．过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示：当棱锥为三棱锥时，易知，相似比为，
则，
易知，，
同理，，故，
相似比为，故面积比为，
当棱锥为棱锥，时，可以看成是多个三棱锥的组合体，面积比不改变.
综上所述：两个截面与底面的面积之比是.
故选：C.

9．三棱锥中，，若三角形和都是等腰直角三角形，则可能的不同取值有（       ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．至少4种
【答案】C
【详解】根据题意可画简图如下,为等边三角形，且都是等腰直角三角形，分类讨论如下：

时， ，此时中，
所以，
此时，
时，，此时中，
,此时，此时;

时，，此时中，
，此时，此时

所以的取值有3种不同情况.
故选：C.

二、多选题
10．下列说法中正确的是（    ）
A．长方体是直四棱柱
B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
【答案】AC
【详解】长方体是直四棱柱，A正确；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，
当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．
故选：AC．
11．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.
【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；
当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；
当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.
故选：ABC

三、填空题
12．关于棱柱，下列说法正确的是______．（选填序号）
①所有的棱长都相等；②相邻两个面的交线叫做侧棱；③棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；④棱柱中至少有两个面的形状完全相同；⑤在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有2个．
【答案】④⑤
【分析】依据棱柱的定义和分类去判断即可解决.
【详解】①棱柱的所有的侧棱长都相等，所有的棱长不一定相等.判断错误；
②相邻两个侧面的交线叫做侧棱，相邻两个面的交线可能是底面的边.判断错误；
③正四棱柱中相对的两个侧面互相平行.判断错误；
④棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同.判断正确；
⑤在斜棱柱的所有侧面中，最多互相平行的两个侧面可以是矩形，则矩形最多有2个．判断正确；
故答案为：④⑤
13．下列说法中，正确的个数为________．
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（2）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
（3）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（4）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
【答案】0
【分析】根据棱锥的概念可判断（1）；根据棱台的概念可判断（2）；根据正三棱锥的概念可判断（3）；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断（4）.
【详解】对于（1），棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥，故错误；
对于（2），有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，如图1，侧棱延长线可能不交于一点，故错误；

对于（3），底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，不一定是正三棱锥，故错误；
对于（4），因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故错误.
故答案为：0.
14．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．
【答案】     三     5
【详解】棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，
共有5个面围成．
故答案为：三，5

四、解答题
15．已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题：

(1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？
(2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
【答案】(1)6个面，8个顶点，12条棱
(2)是长方形，

【分析】(1)由直四棱柱的特征即可得出答案.
(2)由直四棱柱的特征可知侧面展开图为长方形，求出长方形面积即可.
【详解】（1）由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱.
（2）将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长，所以宽为8cm，长为直四棱柱的底边边长的四倍，即，所以长为20cm，所以侧面展开图面积为



题组B 能力提升练

一、单选题
1．下列说法错误的是（    ）
A．一个棱柱至少有5个面 B．长方体、正方体都是棱柱
C．三棱柱的侧面是三角形 D．六棱柱有6条侧棱、6个侧面，侧面为平行四边形
【答案】C
【详解】选项A：一个棱柱至少有5个面.判断正确；
选项B：长方体、正方体都是棱柱.判断正确；
选项C：三棱柱的侧面是平行四边形.判断错误；
选项D：六棱柱有6条侧棱、6个侧面，侧面为平行四边形判断正确.
故选：C
2．下面图形中，为棱锥的是（       ）

A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【详解】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，
显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，
所以①②④是棱锥，③不是棱锥.
故选：C
3．下列命题正确的是（    ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
【答案】C
【详解】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；
有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
由棱柱的定义，C正确.

故选：C.
4．如图所示的几何体的结构特征是（    ）

A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
【答案】C
【详解】图中的几何体为一个棱柱截去一个角，截去的角是一个棱锥.
故选C.
【点睛】本题考查空间几何体的组成，难度较易.
5．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】塔顶是正四棱锥，如图，是正四棱锥的高，设底面边长为，底面积为，
，，∴，是正三角形，面积为，
所以．
故选：D．

6．下列判断正确的是（　　）
A．正三棱锥一定是正四面体
B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
D．底面是正方形的棱台是正四棱台
【答案】C
【详解】正三棱锥不一定是正四面体，侧棱长与底面边长可能不相等，故A错误；
底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，顶点在底面的射影不一定是底面的中心，故B错误；
由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正确；
底面是正方形的棱台不一定是正四棱台，原因是棱台的侧棱延长后的交点在两底面的射影不一定为正方形的中心，故D错误．
故选：C
7．下列说法正确的是（    ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】C
【详解】如下图，两个三棱柱合在一起，仍然满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但它不是棱柱，A错；

当空间三点共线时，过这三点有无数个平面，B错；
根据棱锥的定义，C正确；
用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才叫棱台，不是任意平面都能截出棱台的，D错．
故选：C．
8．已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作出图形如图所示．

延长至Q，使得，连接MQ，NQ，则截面四边形为平行四边形；
记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P，
则，，
，，，
故所得截面的周长为.
故选：B．
9．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（    ）

A．AB中点 B．BC中点
C．CD中点 D．BB1中点
【答案】B
【详解】取的中点，连接，，如图，

则，
所以在截面上,
故选：B

二、多选题
10．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）（多选）

A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱
【答案】CD
【详解】题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，
且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；
题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③中的几何体是三棱锥；
题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，
且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱.
故选:CD.
11．下列命题错误的是（    ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】ABD
【详解】棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；
四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；
棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误.
故选：ABD.

三、填空题
12．①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题有_________．
【答案】②④⑤⑥
【详解】①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.
底面如果不是长方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；
②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；
③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；
④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，
所以，有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；
⑤底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故⑤正确；
⑥直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑥正确.
故答案为：②④⑤⑥

四、解答题
13．已知正六棱柱的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿侧面移到点时的最短的路程是多长？
【答案】.
【详解】将正六棱柱侧面展开，只需展开一半，即可求得A与之间的距离.如图所示：

则，所以.
即动点从A沿侧面移到点时的最短路程为





题组C 培优拔尖练

一、单选题
1．下列关于棱台的说法中错误的是（    ）
A．所有的侧棱所在直线交于一点
B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等
D．所有的侧面不存在两个面互相平行
【答案】C
【详解】由棱台的定义可知：
A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；
B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；
C.棱台的上下两个底面不全等，故C不正确；
D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.
故选：C.
2．侧面都是矩形的棱柱一定是（    ）
A．长方体 B．三棱柱 C．直平行六面体 D．直棱柱
【答案】D
【详解】侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱.
故选：D
3．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形：

的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度，
因为，，
所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以，
在中，

,
故选：C.
4．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（    ）

A．新 B．冠 C．病 D．毒
【答案】C
【详解】将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，
故选：C.
5．如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中,经过折叠后与含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点不符.
故选：A
6．已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作出图形如图所示．

延长至Q，使得，连接MQ，NQ，则截面四边形为平行四边形；
记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P，
则，，
，，，
故所得截面的周长为.
故选：B．
7．直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且 ，
所以，又是等腰直角三角形， ，
把和所在平面沿 摊平得四边形，如图， 是这个四边形的对称轴， 即为所求最小值．
故选：D．


二、多选题
8．下列关于棱柱的说法中不正确的是（       ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
【答案】ABC
【详解】A.棱柱的侧面是平行四边形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正确；
B.在直棱柱中，侧棱的长叫做棱柱的高，不是直棱柱，侧棱的长不叫做棱柱的高，故错误；
C.棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故错误；
D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行，故正确.
故选：ABC
9．已知正方体中，设与对角线垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M，则关于多边形M的说法正确的是（    ）
A．M可能为正三角形 B．M可能为正方形
C．若M为六边形，则面积为定值 D．若M为六边形，则周长为定值
【答案】AD
【详解】对于A，M为知M能为正三角形
对于B，截面要么与正方体的三个面相截，要么与正方体的六个面相截，从而截面为三角形或六边形知B错误
对于C，D，当截面M为六边形时，如图，
由于截面与截面都与直线垂直，因此它们平行，它们与正方体的在同一表面上交线必平行，
如，， 同理，
设正方棱长a．
，且

，同理，
所以为六边形时周长为为定值，但六边形变形时面积不为定值，当为各棱中点时面积最大为，当截面向平面靠拢时，是其极限位置，但的面积与最大值不相同，C错，D正确
故选：AD．


三、填空题
10．如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为________.(参考数据：)

【答案】
【分析】设底面边长为a，根据正八棱锥底边所对的圆心角为，求得圆心到底边的距离，再由侧面与底面成求解.
【详解】如图所示:

点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点,
根据题意知，
因为，
设，则，
又因为二面角的大小为，即，
所以，
即正八棱锥的高和底面边长之比为.
故答案为：
11．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为___________.
【答案】
【分析】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于，可得平面，设平面与交于，则MF⊥PC，从而点四点共面，故平面AFMH即为平面α，
然后利用等面积法求出AM的长度，再利用比例关系求出FH的长度，求解截面的面积即可.
【详解】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于，
又，所以平面，
设平面与交于，则MF⊥PC，
所以平面AFMH即为平面α，
底面ABCD是边长为1的正方形，
所以，PA⊥底面ABCD，，
所以，
由等面积法可得，
解得，由对称性可得到FHBD，
在△PAC中，，所以，
又，CD=1，
所以PC2=PD2+DC2，故∠PDC=90°，
在△PDC中，，
所以，
所以，
在△PBD中，，所以，
所以棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为.
故答案为：


四、解答题
12．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面.

【答案】几何体是三棱台.面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面
【详解】分别是的中点，且，，，
.
，且延长后交于一点.
又面与面平行，
∴几何体是三棱台.
其中面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面.