【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第24讲 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 讲义

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第24课 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

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课程标准
课标解读
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．
1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力.
2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解.
3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用

知识精讲


知识点01 棱柱、棱锥、棱台的表面积

图形
表面积
多面体

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积

【即学即练1】　已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用可得对角线的长.
【详解】设长方体的三条棱的长分别为：，
则，
可得对角线的长为．
故选B．



知识点02 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥
V棱锥＝Sh
S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台
V棱台＝(S′＋＋S)h
S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高


【即学即练2】已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是，体对角线的长为，则这个长方体的体积是（    ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【解析】由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，利用过一个顶点的三条棱的平方和等于对角线长的平方求得a，则答案可求.
【详解】由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，
则有，
即，解得，
∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，6，
∴这个长方体的体积是，
故选：A.




能力拓展


考法01 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【典例1】棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】利用正三角形的面积计算公式即可得出．
【详解】解：正四棱锥的侧面积．
故选．

【变式训练】若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出辅助线构造出直角三角形,进而求得侧面的高与侧面积即可.
【详解】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.
在中，，
则
.
.

故选：C
【变式训练】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
【答案】
【解析】首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.
【详解】如图，

在四棱台中，
过作，垂足为，
在中，，，
故，
所以，
故四棱台的侧面积，
反思感悟
　(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
①多面体的表面积是各个面的面积之和．
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．
(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：
①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．
②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形．


考法02 棱柱、棱锥、棱台的体积

【典例2】棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为      
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，则SO⊥底面ABCD，AO，，由此能求出正四棱锥的体积．
【详解】如图，底面边长和侧棱长均为1的正四棱锥S﹣ABCD中，
连结AC、BD交于点O，连结SO，
则SO⊥底面ABCD，
S正方形ABCD＝AB•BC＝1×1＝1，
AO，
，
∴正四棱锥的体积：
V．

故答案为C．



反思感悟 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．


【变式训练】已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据正六棱柱的高和底面边长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.
【详解】由题知侧面积为，
两底面积之和为，
所以表面积.
故选：A.


考法03 简单组合体的表面积与体积

【典例3】如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.

【答案】96
【详解】解：在上取点，在上取点，使得，连接，
则几何体为直三棱柱，
因为，，，
所以，
所以是以为直角的直角三角形，
，，
则多面体是四棱锥，高为8，
所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，
，
，
所以该几何体的体积为.





【变式训练】
如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．

【答案】
【分析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.
【详解】
如图所示，连结，交于点，很明显平面，
则是四棱锥的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为
，
故答案为.

考法04 几何体体积的求法
【典例4】　等积变换法
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．

解　由＝，
∵＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴＝×a×a2＝a3，
∴＝a3.
【典例5】　分割法
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

解　如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
反思感悟
　(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法．
(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法．
(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养．







分层提分


题组A 基础过关练

一、单选题
1．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.
【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.
故选:B.
2．已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则其体对角线的长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，可得对角线的长.
【详解】设长方体的三条棱的长分别为：，
则，
可得对角线的长为．
故选：A．
3．鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出正八边形的面积，再由该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三角形的面积和计算表面积即可.
【详解】
由图可知：该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三角形的面积和，如图为正八边形的平面图，易得，作，垂足为，则，则八边形的面积为，则该鲁班锁玩具的表面积为.
故选：A.
4．如图，在棱长为a的正方体中，P在线段上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．与点M的位置有关
【答案】A
【分析】根据题意可得点到平面MBC的距离为，，利用等体积法和三棱锥的体积公式即可求出.
【详解】由题意知，点到平面MBC的距离为a，又，
所以点到平面MBC的距离为，
又点M在上运动，所以，
所以，
故选：A.
5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）

A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为

则
则该几何体的体积为.
故选：D.

二、多选题
6．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ）
A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为
【答案】ABD
【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.
【详解】
设为等边三角形的中心，为的中点，连接，
则为正三棱锥的高，为斜高，
又，，故,
故AB正确.
而正三棱锥的体积为，侧面积为，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
7．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用直接法与等体积法直接计算各三棱锥的体积，进而得解.
【详解】设 ，则，，
如图所示，

连接交于点，连接、，
则 ，， ，
故，
,
所以，，
故选：CD.

三、填空题
8．玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平､周边圆形､中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高，孔径.外径，则该玉璧的体积为_____________

【答案】
【分析】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为，高为的圆柱的体积减去底面半径为，高为的圆柱的体积，然后利用圆柱的体积公式可求得答案
【详解】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为，高为的圆柱的体积减去底面半径为，高为的圆柱的体积，
即.
故答案为：
9．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.

【答案】32
【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.
【详解】在正四面体中易知，是正棱锥的高，是正棱锥的斜高，
, ,
,
，
故答案为：32
10．侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为______．
【答案】##
【分析】根据题意可判断该正三棱柱的所有棱长都为2，进而可求表面积.
【详解】如图，四边形均为正方形，故该三棱柱的所有棱长均为2，故侧面积为，底面积之和为，
故表面积为，
故答案为：

11．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为_________．
【答案】
【分析】将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.
【详解】如图1，将三棱锥P-ABC还原为长方体PADB-CQRS，

由题意可知，，
设P到平面ABC的距离为d，如图2，M为BA中点，则CM⊥BA，

由勾股定理可知，，所以，
所以，由.
故答案为：.

四、解答题
12．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
【答案】
【解析】首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.
【详解】如图，

在四棱台中，
过作，垂足为，
在中，，，
故，
所以，
故四棱台的侧面积，
所以四棱台的表面积.
【点睛】本题考查了四棱台的表面积，属于基础题.
13．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
【答案】8
【分析】把正方体的表面展开，得到5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，直接求面积即可.
【详解】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为，其面积为8．
    
图①                 图②
14．如图所示，在长方体中，，，且E为中点．求到平面的距离．

【答案】．
【分析】根据，结合锥体的体积公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，可得长方体中，，，
所以．
设到平面的距离为，则．
在直角中，由勾股定理得，
所以，
所以，解得，
即到平面的距离为．
题组B 能力提升练

一、单选题
1．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（    ）

A． B． C．8 D．12
【答案】B
【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意知，
该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，
正三角形的边长为：，
正三角形边上的一条高为：，
所以一个正三角形的面积为：，
所以多面体的表面积为：.
故选：B
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图得到该几何体是长方体中挖去了一个圆锥，结合题意可知长方体的长、宽、高和圆锥的底面圆的半径和高，再由体积公式求解，即可得到答案.
【详解】由三视图知，此几何体是长方体中挖去了一个圆锥，
其中长方体的长为2，宽为2，高为3，
圆锥的底面圆的半径为，高为，
所以几何体的体积为：
，
故选：B.
3．将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意旋转后的几何体圆锥，由题意求出其底面半径和高，从而可得出答案.
【详解】设为斜边为2的等腰直角三角，将其绕直角边旋转一周形成圆锥，如图
则,
则圆锥的底面圆的半径为 ，高为
所以其体积为
故选：C

4．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.
【详解】
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
故选：B.
5．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）
A．1：3 B．1： C． D．
【答案】D
【分析】设侧棱长为，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可得．
【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为a，外接球的半径为，
再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为，设是内切球球心，则到棱锥四个面的距离都等于，
根据三棱锥的体积的两种求法，得，
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．
故选：D．

6．用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即得解
【详解】令圆锥底面半径为，则，因此
圆锥的高为：
圆锥的体积
故选：B
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的面积及圆锥的体积，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题

二、多选题
7．正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到，再分类讨论求解三棱锥体积即可。
【详解】设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，
由题知：，解得.
当外接球球心在线段上时，如图所示：

，，
所以.
当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：

，，
所以.
故选：AB
8．如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（    ）

A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心
C．的最小值为 D．存在点，使得
【答案】BD
【分析】将几何体补形为正方体，根据正方体与棱锥体积差判断A，由棱锥侧棱长相等、底面为正三角形确定定点射影的位置判断B，根据展开图及余弦定理判断C，由正方形对角线垂直可判断D.
【详解】由题意，可将该几何体补成正方体，如图，

则该几何体的体积为正方体体积去掉一个三棱锥的体积，所以，故A错误；
由题意知，为等边三角形，因为，所以点在平面内的射影为的外心，即的中心，故B正确；
把所在面沿折起，当四点共面时，连接，则的最小值即为的长，由余弦定理知，，故，即的最小值为，故C错误；
四边形为正方形，， ，当与重合时，，故D正确.
故选：BD

三、填空题
9．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______．
【答案】100
【分析】根据棱柱体积公式直接可得.
【详解】
故答案为：100
10．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．
【答案】
【分析】分别算侧面等腰梯形的面积及上下两底面面积，然后再求和.
【详解】如图，在四棱台中，过点作，垂足为点，在中，，故，

所以，
故四棱台的侧面积，
所以．
故答案为：
11．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为___________.

【答案】##
【分析】根据给定条件求出正八面体的表面积和体积即可计算作答.
【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2，
则正八面体的表面积，
而正八面体可视为两个共底面的，侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，
正四棱锥的高，
则正八面体的体积，
于是得，
所以正八面体的体积与表面积之比为.
故答案为：
12．正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【答案】##
【分析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，过点作于点，利用勾股定理求出，即棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解.
【详解】解：如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，
则即为斜高，
过点作于点，
则，
，
所以，
所以，
上底面面积，
下底面面积，
所以棱台的体积.
故答案为：.


四、解答题
13．已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积．
【答案】或．
【分析】分两种情况，求出底面积，从而求出表面积.
【详解】由题意可知该三棱柱为正三棱柱，
∵正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，
∴有如下两种情况：
①6是底面周长，4是三棱柱的高，
此时正三角形边长为2，
此底面积，
表面积；
②4是底面周长，6是三棱柱的高，
此时正三角形边长为，
此时底面积，
表面积．
所以该三棱柱的表面积是或．.


题组C 培优拔尖练
1．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．

【答案】，.
【分析】根据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可得解.
【详解】
如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，
由，，
所以，
可得，
所以，
所以底下长方体的面积为，
上面三棱柱的面积为，
所以房子的表面积为，
体积.

2．正四棱台两底面边长分别为和.

（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；
（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
【详解】（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，     

由题意知，，
又，
∴斜高，   
∴；    
（2）由题意知，，∴，   
∴，又，.
3．一个圆台，上底面面积为，下底面面积为，母线长为6.求圆台的体积.
【答案】
【分析】画出圆台的轴截面，利用已知数据结合勾股定理即可求出圆台的高，再根据圆台体积公式求解即可．
【详解】解：圆台的轴截面如图所示：

上底面面积为，下底面面积为，则上底面圆半径，下底面圆半径为，圆台母线长为，
为高，过作于，则，
在△中，，，
，
所以该圆台的体积为．
4．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）

（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？
（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？
注：，结果精确到0.01．
【答案】（Ⅰ）11.34立方米；（Ⅱ）81.72平方米.
【分析】（Ⅰ）由题知该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，利用柱体体积公式即求；
（Ⅱ）利用公式求该几何体的表面积即可.
【详解】（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，
则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，
因为，
所以（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝土；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为，
其余侧面均为长方形，且，，
，
，
所有侧面面积之和为
，
所以该预制件的表面积是（平方米）．