【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第31讲 直线与直线垂直 讲义

这是一份【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第31讲 直线与直线垂直 讲义，文件包含第31讲直线与直线垂直学生版docx、第31讲直线与直线垂直教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
第31课 直线与直线垂直
目标导航

课程标准
课标解读
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角．
1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题
2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养

知识精讲

知识点01回顾两直线的位置关系
1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)画法：

2．两条直线的位置关系

3．两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.
③作用：证明空间两条直线平行．
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②作用：证明两个角相等或互补．
4．平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
【即学即练1】　若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
答案　B
解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
知识点02异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°.
【即学即练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是(　　)

A．90°B．60°C．45°D．30°
答案　A
解析　如图，连接B1G，

∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接FB1，
在△FB1G中，
B1F＝＝，
B1G＝＝，
FG＝＝，
B1F2＝B1G2＋FG2.
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
知识点03直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.
【即学即练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF.

证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.

∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
能力拓展

考法01异面直线所成的角
【典例1】如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
解　(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，

∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟　求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°