【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第33讲 平面与平面垂直 讲义

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第33课 平面与平面垂直课程标准课标解读1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用.2.一平面与平面的重直需要“一面角”的概念，一面角定量地反映了两个平面相交的位置关系日是如何来刻画二面角的太小是一个难点根据“异面直线所成的角”和“直线与平面所成的角的学习经验，借助“空间问题平面化”的思想，借鉴平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况的方法，教材按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义.通过类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义,探索得出空间中两个平面互相垂直的定义，从中体会定义一个数学对象的基本思想.知识点01二面角的概念1．定义：从一条直线出发的所组成的图形．2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的．3．画法：　　　　4．记法：二面角α或二面角或二面角或二面角P－AB－Q.5．二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．【即学即练1】　对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β知识点02平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：.2．平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，⇒α⊥β图形语言【即学即练2】在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADB知识点03平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，⇒a⊥β图形语言【即学即练2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M.考法01二面角的求法【典例1】如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．反思感悟　求二面角的平面角的大小的步骤【变式训练】从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定考法02平面与平面垂直的判定【典例2】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.反思感悟　证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．【变式训练】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.考法03平面与平面垂直的性质定理【典例3】【变式训练】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点(1)两个平面垂直．(2)直线必须在其中一个平面内．(3)直线必须垂直于它们的交线．【变式训练】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.题组A基础过关练一、单选题1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（）A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直2．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面4．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β6．如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、多选题7．已知直线l和不重合的两个平面，，且，下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则三、填空题9．在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.11．如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别是、的中点．则点A和点的距离为______，点到棱BC的距离为______，点E到平面的距离为______，到平面AEFD的距离为______．12．菱形ABCD中，，，将沿BD折起，点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为___________.四、解答题13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．（1）求证：AD∥平面PBC；（2）求证：AB⊥平面PAD14．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.(1)若为线段的中点，证明：平面平面；(2)若平面，试确定点的位置，并说明理由.题组B能力提升练一、单选题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（）①平面平面PAD；②平面平面PBC；③平面平面PCD；④平面平面PAC．A．①② B．①③ C．②③ D．②④3．下列说法正确的是（）A．若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行4．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（）A． B． C． D．5．已知平面与平面交于直线，且直线，直线，且直线不重合，则下列命题错误的是（）A．若，且与不垂直，则B．若，则C．若，且与不平行，则D．若，则6．给出下列四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直线平面，平面，则；③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；④异面直线a，b不垂直，则过a的任平面与b都不垂直．其中正确命题是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④二、多选题7．设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则下列各选项正确的是（）A．在内存在直线与直线异面B．在内存在直线与直线相交C．在内存在直线与直线平行D．存在过直线的平面与垂直8．如图，在五棱锥中，平面，，，是等腰三角形．则（）A．平面平面B．直线与平面所成的角为的大小为60°C．四棱锥的体积为D．四边形的面积为3三、填空题9．已知平面，和直线，且，则“”是“”的______条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）10．如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．其中所有正确结论的序号是____________．11．在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.12．在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________.四、解答题13．在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.14．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.题组C培优拔尖练1．如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，求点到平面的距离．2．如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，，点是的中点，，.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.3．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，，点D为BC中点.(1)求证：平面⊥平面AC1D；(2)求点C到平面AC1D的距离.