数学必修 第二册10.3 频率与概率精品同步达标检测题

这是一份数学必修 第二册10.3 频率与概率精品同步达标检测题，文件包含第44讲频率与概率学生版docx、第44讲频率与概率教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
第44课 频率与概率

目标导航


课程标准
课标解读
1.通过实验让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率.
2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
3．理解随机模拟试验出现地意义.
4．利用随机模拟试验求概率.

1.数学建模：概率的应用
2.逻辑推理：频率与概率的关系
3.数学运算：频率与概率的计算
4.数据抽象：概率的概念
5.数学抽象：随机模拟试验的理解．
6.数学运算：利用随机模拟试验求概率.


知识精讲


知识点01 频率的稳定性
为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为　　　　.
【解析】求2 000尾鱼占水库中所有鱼的百分比→
求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比→
根据二者的关系列等式→求解，估计水库中鱼的尾数25000


知识点02 利用随机模拟实验求概率

【即学即练2】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
【答案】
【解析】 设事件“甲获得冠军”,事件“单局比赛甲胜”,则.用计算器或计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.例如,产生20组随机数:
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验.其中事件发生了13次,对应的数组分别是423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用频率估计事件的概率的近似似值为.
解题技巧（利用随机模拟实验求概率）
用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．



能力拓展


考法01 频率的稳定性


【典例1】某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
8
10
15
20
30
40
50
6
8
12
17
25
32
39
0.78

0.75
0.80

0.80

0.85

0.83

0.80

(1) 计算表中进球的频率;
(2) 这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗?
解析：概率约是0.8
不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的.

【变式训练】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001);
(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率
解：(1)2014年男婴出生的频率为
2015年男婴出生的频率为
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为0.532.


(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度，因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
由统计定义求概率的一般步骤
（1）确定随机事件A的频数nA；
（2）由fn(A)＝ 计算频率fn(A) (n为试验的总次数);
（3）由频率fn(A)估计概率P(A).
概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.


考法02 利用随机模拟实验求概率

【典例2】袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，恰好抽取三次就停止的概率约为，故选C.




【变式训练】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．
【答案】0.1
【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．
666　743　671　464　571
561　156　567　732　375
716　116　614　445　117
573　552　274　114　622
就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，
第三个数字恰好是7，就表示第一次、第二次摸的是白球，
第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此
恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.



分层提分


题组A 基础过关练

一、单选题
1．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使灯亮，必须a闭合，而开关b，或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．
【详解】解：设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，
则灯亮这一事件，
且A，B，C相互独立，，，两两互斥，
∴


，
故选：B.
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（    ）
A．石 B．石 C．石 D．石
【答案】B
【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
【详解】由抽样取米一把，数得粒内夹谷28粒估计夹谷频率为，
所以这批米内夹谷约为石.
故选：B.
3．下列说法正确的有( )
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率满足；
④若事件A的概率趋近于0,则事件A是不可能事件.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】根据概率与频率的关系判断①正确；根据基本事件的特点判断②正确；根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断③错误；根据小概率事件的概念判断④错误.
【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率.
随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，①正确；
基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，
一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生.②正确；
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0小于1，
任意事件A发生的概率满足③错误；
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件④错误.
说法正确的有2个,
故选：C.
4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）
A．42名 B．32名 C．24名 D．18名
【答案】D
【分析】只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意.
【详解】由于“第二天的新订单超过1600份的概率为0.05”，即“第二天的新订单量小于或等于1600份的概率为0.95”，
所以只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意：
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，第二天新增积压订单数为，两天共积压份，
因为，故至少需要志愿者名.
故选：D
5．下列命题中不正确的是
A．根据古典概型概率计算公式求出的值是事件A发生的概率的精确值
B．根据古典概型试验,用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数,得到的值是的近似值
C．频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率
D．5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可性相同
【答案】C
【解析】根据概率的定义以及古典概型概率计算方法逐个选项判断即可.
【详解】对于A，即古典概型概率计算公式，很明显正确的；
对于B，随机模拟中得到的值是概率的近似值，则B项命题正确；
对于C，频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，但与概率的趋近程度不是试验次数的函数，C命题不正确；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都是，D命题正确；
故选：C.
【点睛】本题主要以命题的真假判断为载体，考查了概率的基本概念，难度不大，属于基础题.
6．某城市有连接个小区、、、、、、、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出所有的基本事件，记“此人经过市中心”为事件，确定事件所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】此人从小区前往的所有最短路径为：，，，，，，共条.
记“此人经过市中心”为事件，则包含的基本事件为：，，，，共条.
，即他经过市中心的概率为.
故选：B.
【点睛】本题考查概率的应用，是中等题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．

二、多选题
7．（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（    ）
A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
【答案】BD
【分析】通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.
【详解】解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；
B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；
C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误；
D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．
故选：BD．
8．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
根据表中数据，下列结论中正确的有（    ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
【答案】BCD
【分析】根据统计表逐项分析可得答案.
【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；
对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为，故C正确；
对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为，故D正确．
故选：BCD．

三、填空题
9．在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.
【答案】16
【分析】根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.
【详解】根据概率是频率的稳定值的意义，
红色球的个数为个；
黑色球的个数为个；
故白色球的个数为4个.
故答案为：16.
【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.
10．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.
【答案】0.3
【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算．
【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，
所以概率为．
故答案为：0.3．
11．一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为________.
【答案】
【解析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.
【详解】因为样本容量为，根据题意可得：
第一组和第三组的频率为.
根据频率之和为，即可求得：
第四组的频率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.
12．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．
【答案】白球
【详解】取了10次有9个白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．
考点：随机事件的概率.


四、解答题
13．盒中有大小､形状相同的5只白球和2只黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:
(1)任取一球,得到白球;
(2)任取三球,都是白球.
【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析
【解析】（1）用表示白球,表示黑球,利用计算器或计算机产生到的整数值随机数,每一个数为一组,统计组数,统计这组数中小于的组数,即可求得答案;
（2）用表示白球,表示黑球,统计这组数中,每个数字均小于的组数,即可求得答案.
【详解】（1）用表示白球,表示黑球.
步骤:
①利用计算器或计算机产生到的整数值随机数,每一个数为一组,统计组数;
②统计这组数中小于的组数;
③任取一球,得到白球的概率估计值是.
（2）用表示白球,表示黑球.
步骤:
①利用计算器或计算机产生到的整数值随机数,每三个数为一组,统计组数;
②统计这组数中,每个数字均小于的组数;
③任取三球,都是白球的概率估计值是.
【点睛】本题考查了随机模拟法估计事件概率,解题关键是掌握随机模拟法估计事件的概率方法,考查了分析能力,属于基础题.
14．国家规定每年的月日以后的天为当年的暑假.某钢琴培训机构对位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：
授课量（单位：小时）





频数





培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：
课时量（单位：天）





频数





（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；
（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为元/小时，每天的各类生活成本为元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元的概率.
【答案】（1）小时；（2）.
【解析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以可得出位老师暑假一日的授课量的平均数；
（2）设一位钢琴老师每年暑假天的授课天数为，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元求得的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.
【详解】（1）估计位老师暑假一日的授课量的平均数为小时；
（2）设每年暑假天的授课天数为，则利润为.
由，得.
一位老师暑假利润不少于万元，即授课天数不低于天，
又天暑假内授课天数不低于天的频率为.
预测一位老师天暑假授课利润不少于万元的概率为.
【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.
15．某盒子内装有三种颜色的玻璃球，一位同学每次从中随机拿出一个玻璃球，观察颜色后再放回，重复了50次，得到的信息如下：观察到红色26次、蓝色13次.如果从这个盒子内任意取一个玻璃球，估计：
（1）这个球既不是红色也不是蓝色的概率；
（2）这个球是红色或者是蓝色的概率.
【答案】（1）0.22；（2）0.78
【解析】（1）计算红色球、蓝色球出现的频率，即为概率，由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的概率；
（2）红球为事件A，蓝球为事件B，这个球是红色或者是蓝色为事件，由互斥事件概率公式可计算．
【详解】记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C.
（1）因为，，所以，
由题意，，且互斥，则.
（2）由题意知，这个球是红色或者是蓝色为事件.则.
【点睛】本题考查用频率估计概率，考查互斥事件的概率公式．掌握互斥事件的概率是解题基础．
16．某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
【答案】（1）0.27； （2）0.24
【详解】试题分析：（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率求得，，在根据投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，问题就得以解决；
（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，在求出其频率，最后利用频率表示概率.
试题解析：
（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：
，，
由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：

设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有
所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
由频率估计概率得
考点：古典概型及其概率计算公式.




题组B 能力提升练

一、单选题
1．下列说法正确的是（      ）
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件
【答案】A
【解析】对于A,利用列举法,写出所有可能,计算两个人胜的概率是否相等,即可判断游戏是否公平;利用频率与概率的定义可判断B;利用概率的意义可判断C;利用随机事件的定义,可判断D.
【详解】对于A,甲、乙两人各写一个数字,所有可能的结果为（奇,偶）,（奇,奇）,（偶,奇）,（偶,偶）,则都是奇数或都是偶数的概率为,故游戏是公平的；
对于B,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,故事件发生的频率就是事件发生的概率是不正确的；
对于C,某人花100元买福利彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故C不正确；
对于D,事件可能发生也可能不发生,故事件是随机事件,故D不正确
综上可知,正确的为A.
故选:A.
【点睛】本题考查了随机事件概率的概念和意义,频率与概率的关系,古典概型概率的求法,属于基础题.
2．下列四个命题中正确的是（    ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】D
【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可.
【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D
3．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道选择结果正确．”该同学的说法
A．正确 B．错误
C．无法解释 D．以上均不正确
【答案】B
【解析】由概率的含义可判断其错误.
【详解】解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是．做12道选择题做对3道的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了概率的意义，概率是通过大量实验统计下来的一定的规律.
4．从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由标有1的号签出现4次，可知另外6次应抽到标有2，6的号签，所以乘积12出现6次，由此即可求出答案.
【详解】标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签，
所以乘积12出现6次，频率为.
故选：B.
5．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为
A．59石 B．60石 C．61石 D．62石
【答案】A
【分析】运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果
【详解】由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：，
则这批米内夹谷为，约为59石
故选
【点睛】本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单．
6．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（    ）

厨余垃圾”箱
可回收物”箱
其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60

A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
【答案】C
【分析】由表格可求得：厨余垃圾投放正确的概率，可回收物投放正确的概率，其他垃圾投放正确的概率，再结合选项进行分析即可.
【详解】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率；可回收物投放正确的概率；其他垃圾投放正确的概率．
对A，厨余垃圾投放正确的概率为，故A正确；
对B，生活垃圾投放错误有，故生活垃圾投放错误的概率为，故B正确；
对C，该市厨余垃圾箱中投放正确的概率,可回收物垃圾箱中投放正确的概率,其他垃圾箱中投放正确的概率,
所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾”箱，故C错误；
对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数，可得方差
，故D正确.
故选：C．
【点睛】本题考查概率与统计的计算，考查推理能力与数据处理能力，属于中档题．

二、多选题
7．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（    ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．
8．以下命题成立的是（    ）
A．函数是偶函数，则关于直线对称
B．盒子中有5张奖券，只有一张上面写着“中奖”，其它四张上都写着“谢谢”.学生甲先抽，已知甲抽中的是“谢谢”，学生乙接着抽，则乙抽到“中奖”的概率为
C．某个红绿灯路口的红灯持续时间共为50秒钟.李先生开车到达路口时，此时信号灯显示为红灯，则他等候红灯时间不超过30秒的概率为.
D．向右平移个单位得到一奇函数.
【答案】ACD
【解析】结合奇偶函数的性质，及函数图象的平移变换规律，可知AD正确；结合古典概型、几何概型知识，计算可得B错误，C正确.
【详解】对于A，函数是偶函数，其图象关于轴对称，因为的图象向右平移1个单位后，得到的图象，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，5张奖券，其中1张上面写着“中奖”，学生甲已经抽了一张，没有中奖，因为是不放回抽奖，所以还剩4张奖券，其中1张上面写着“中奖”，学生乙接着抽，则乙抽到“中奖”的概率为，故B错误；
对于C，根据几何概型的概率公式可得，等候红灯时间不超过30秒的概率为，故C正确；
对于D，，则的图象向右平移个单位得到的图象，是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查古典概型、几何概型知识，考查函数的奇偶性，及函数图象平移变换规律，考查三角函数的恒等变换，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.

三、填空题
9．我国南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约__________石．
【答案】189
【分析】利用频率估计概率，运算求解.
【详解】由已知：抽得样本中含谷27粒,占样本的比例为，
则由此估计总体中谷的含量约为1512×=189石．
故答案为：189.
10．李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示：

李明
张健
投中数
30
25
未中数
20
15
上表数据显示，李明投中的频数是 ____________ ；投中的频率是 ____________ ；张健投中的频数是 ____________，投中的频率是 ____________，两人中投中率更优秀的是 ____________ .
【答案】 张健
【分析】根据表格中给出的数据，求得频数和频率值，进而得到两人在投中率上谁更优秀一些.
【详解】根据表格中的数据，可得李明投中的频数是 ，频率是，
张健投中的频数是，频率是，
所以张健更优秀一些.
故答案为：；；；；张健.
11．在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______.
【答案】
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件，依题意得，，且，相互独立，由此能求出两人中恰有一人第二次才成功的概率．
【详解】解：记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件，
依题意得，，且，相互独立．
“甲第二次试跳才成功”为事件，且两次试跳相互独立，，
故甲第二次试跳才成功的概率为0.21，
同理，可求得乙第二次试跳才成功的概率为，
故两人中恰有一人第二次才成功的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
12．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．
【答案】
【分析】根据概率概念可得概率与抛掷次数无关，即得结果.
【详解】因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为.
【点睛】本题考查概率概念,考查基本分析求解能力,属基础题.

四、解答题
13．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm），所得数据都在区间中，具体数据如下：
12  14  16  17  17
19  20  20  21  22
23  23  23  24  24
25  25  26  27  27
28  29  30  32  34
试估计这批棉花中长度小于20 mm的棉花纤维的占比．
【答案】．
【分析】算出样本对应的概率，用样本估计总体
【详解】由题，样本中棉花中长度小于20 mm的棉花纤维有6根，则占比为，
由样本估计总体，故估计这批棉花中长度小于20 mm的棉花纤维的占比为．
14．某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:
鱼卵数
200
600
900
1200
1800
2400
孵化出的鱼苗数
188
548
817
1067
1614
2163
孵化成功的频率
0.940
0.913
0.908
①
0.897
②
（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）?
（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?
【答案】（1）（2）0.9（3）
【解析】（1）计算的值，即可得答案；
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，即可得答案；
（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.
【详解】（1），所以①②对应的频率分别为.
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
（3）大概需要鱼卵(个).
【点睛】本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.
15．某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
          科目     
方案             人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
一
220
√
√

√


二
200
√

√

√

三
180
√
√
√



四
175


√

√
√
五
135

√

√

√
六
90



√
√
√
（Ⅰ）在这1000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修政治的概率；
（Ⅱ）在这1000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率；
（Ⅲ）利用表中数据估计该市选课偏文（即选修至少两门文科课程）的学生人数多还是偏理（即选修至少两门理科课程）的学生人数多，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）该市选课偏理的学生人数多
【分析】（Ⅰ）根据古典概型公式求解；（Ⅱ）列出所有的情况，根据古典概型公式求解；（Ⅲ）根据样本频率估计概率判断.
【详解】（Ⅰ）设事件 为“在这名学生中，
从选修物理的学生中随机选取1人，该学生选修政治”.
在这名学生中，选修物理的学生人数为，
其中选修政治的学生人数为，所以.
故在这名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，
该学生选修政治的概率为.
（Ⅱ）设这六名学生分别为A1,A2,B1,B2,C1,C2，
其中A1,A2选择方案一，B1,B2选择方案二，
C1,C2选择方案三.从这6名学生中随机选取2名，
所有可能的选取方式为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，
B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共有种选取方式.
记事件为“这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目”.
在种选取方式中，这2名学生除选修物理以外另外两门选课中
有相同科目的选取方式有A1A2，B1B2，C1C2，B1C1，B1C2，B2C1，
B2C2，A1C1，A1C2，A2C1，A2C2，共11种，因此.
（Ⅲ）在选取的1000名学生中，
选修至少两门理科课程的人数为人， 频率为.
选修至少两门文科课程的人数为人， 频率为.
从上述数据估计该市选课偏理的学生人数多.
【点睛】本题考查统计与概率，属于综合题.概率的计算首先要识别是哪种概型，再根据相关计算公式求解.
16．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：

（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.
【分析】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．
（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．
【详解】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.
（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，
因此判断错误的概率为.



题组C 培优拔尖练

一、多选题
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.
【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，
对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，
对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，
对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．
故选：ACD．
2．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（    ）

A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．骑车时间的众数的估计值是21分钟
C．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
【答案】BCD
【分析】对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可；
对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可.
【详解】对于A：，，
所以骑车时间的中位数在这一组，为分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是分钟，故B正确；
对于C：，，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在这一组，为分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：

，
骑车时间的平均数的估计值为：
，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.
故选：BCD.

二、解答题
3．根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．那么：
(1)吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？
(2)有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟．这种说法对吗？
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析．

【分析】（1）根据概率的定义说明
（2）根据概率的定义说明．
(1)
“吸烟有害健康”的这个警示语只是说明吸烟有可能对健康有害，但不一定会对每位烟民引发健康问题．
(2)
“吸烟不一定引起健康问题”只是说可能对某些人不会引起健康问题，不是说可以吸烟．因此这种说法不对．
4．某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如下：
时间
2017
2018
2019
2020
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；
(2)该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513
(2)0.52

【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【详解】（1），
，
，
.
（2）由（1）中数据，该市男婴出生的概率
.
5．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不公平
【详解】（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵
∴此游戏不公平．
考点：列举法及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．

6．社会调查人员希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．
1965年Stanley·L.Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题，两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的，另一个是无关紧要的，这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．
假如在调查运动员服用兴奋剂情况的时候，无关紧要的问题是：你的身份证号码的尾数是奇数吗；敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗．然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
例如我们把这个方法用于200个被调查的运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂．
【答案】6%
【详解】试题分析：根据抛掷硬币出现正面的概率为，身份证的末尾是奇数或偶数的概率也是，用这种方法用于个运动员，可得个运动员回答“是”，可得这人中有人回答“是”的运动中使用了兴奋剂，根据古典概率及概率的计算公式，即可求解.
试题解析：
解：因为掷硬币出现正面的概率是0.5，大约有100人回答了第一个问题，因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂．
点睛：本题主要考查了概率的实际应用问题，其中解答中涉及到等可能事件的概率的计算，概率的概念、等可能事件的概念等知识点的应用，但此类问题题干较长，认真、细致读懂题意是解答的关键.