【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第六章 平面向量及其应用单元测试（强化卷）

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第六章 平面向量及其应用单元测试（强化卷） 一、单选题1．已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，.故选：C.2．已知正方形的边长为，则＝（    ）A．2 B．6 C．4 D．【答案】B【详解】由正方形的边长为，可得正方形的对角线长，利用向量的平行四边形法则可得：，则.故选：B.3．锐角中，已知，则取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，，，又由得：，，，.故选：D4．已知向量，，若，则的值为（    ）A．2 B．-2 C．6 D．-6【答案】C【详解】由题意，向量，，可得，因为，则，解得.故选：C.5．在中，若，则的形状为（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】，，即，又，同理得：，，，代入得：，设，，，且由余弦定理得：，，.综上所述，的形状为等边三角形故选：C6．在中，角所对的边分别为．若，则为（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【详解】，利用正弦定理，可得，，，，，，①时，有等式成立，此时；②时，有，因为，所以，.故为等腰或直角三角形.故选：D7．若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【详解】，,所以四边形ABCD为平行四边形，, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B8．在中，已知，则（    ）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】D【详解】解：由得所以，故，即，即，故.故选：D. 二、多选题9．下列向量中与共线的是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【详解】向量，因，则与不共线，A不是；因，则与不共线，B不是；而，，则与都共线，即C，D是.故选：CD10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）A．若，则B．，若与平行，则C．非零向量和满足，则与的夹角为D．点，与向量同方向的单位向量为【答案】BCD【详解】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.故选：BCD.11．已知向量，，则（    ）A． B．若，则C．与的夹角的正弦值为 D．若，则实数【答案】BD【详解】A. 由题得因为,所以不成立；B. ,所以，所以，所以，所以该选项正确；C. 由题得，所以与的夹角的余弦，所以该选项错误；D. 所以，所以所以.所以该选项正确.故选：BD12．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（    ）A．1 B．1.5 C．1.8 D．2【答案】BC【详解】在中，由正弦定理得，，因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即，于是得，解得，显然x可取1.5，1.8.故选：BC 三、填空题13．点，，，点的坐标为______．【答案】【详解】由已知得，设,由已知得,,故答案为：(.14．已知，若向量与共线，则____________．【答案】##【详解】解：因为且，所以，解得，所以，所以;故答案为：15．已知向量，且，则的取值范围是___________．【答案】【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，设，则，则，化简得：，方程有解，则，化简得：，当，，所以，所以不等式的解集为：.故答案为：. 16．如图，四边形中，，，，，．若是线段的动点，则________，则的最大值为________．【答案】     ##     【详解】因为四边形中，，，，则，，，因为，即，可得，因此，，，所以，，设，则，所以，的最大值为.故答案为：；. 四、解答题17．已知点是线段的中点.（1）求点和的坐标；（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.【答案】（1），；（2）.【详解】解：（1）是线段的中点，（2）设，则，∵∥，∴，解得，点的坐标是.18．已知向量与的对应关系可用表示.（1）设，，求及的坐标；（2）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有成立；（3）求使成立的向量.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【详解】（1），（2）设，，∴，∴∴，故对于任意向量、及常数m、n，恒有成立.（3）设，因为，则有，解得，所以.19．某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.（1）求点到点的距离；（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.【答案】（1）海里；（2）小时【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解； 【详解】（1）由题意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以海里，（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为小时，所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.20．在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求的值．【答案】(1)(2)， 【详解】（1）若选①：由已知得：由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得， 因为， 所以．若选②：因为由正弦定理可得，所以因为 ， 所以， 所以，因为， 所以若选③：因为 ，由正弦定理得因为 ，所以，故可得，即, 所以，因为 ，所以；（2）由（1）可得，，所以，由余弦定理得：，所以，又因为，解得，．21．在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求．条件①：，；条件②：；【答案】(1)(2) 解析 （1）因为，所以，所以，则，又，；（2）若选条件①：因为，所以，所以，则，故无解；若选条件②：因为，又，所以，由正弦定理得：，所以，所以，又，所以，，因为，所以.22．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.(1)求；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)的余弦值为 【解析】(1)又已知为的中点，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，(2)因为为的中点，所以，又，所以,所以，，所以，又与的夹角相等，所以，所以的余弦值为.