【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：6.2.1 排列 讲义

6.2.1 排列

知识点1 排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

注：(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.

(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.

【即学即练1】给出下列问题：

①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？

②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？

③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？

以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号）

【即学即练2】某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

【即学即练3】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？

(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．

知识点2　排列相同的条件

两个排列相同的充要条件：

(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．

考点一 排列的概念

解题方略：

判断一个具体问题是否为排列问题的思路

【例1-1】判断下列问题是否为排列问题：

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互打电话．

变式1：【多选】下面问题中，不是排列问题的是(　　)

A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数

B．从40人中选5人组成篮球队

C．从100人中选2人抽样调查

D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合

变式2：下列问题是排列问题的是（    ）

A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C．集合的含有三个元素的子集有多少个？

D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

变式3：【多选】从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有(　　)

A．加法  B．减法  C．乘法  D．除法

变式4：【多选】从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（    ）.

A．相加可得多少个不同的和

B．相除可得多少个不同的商

C．作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程

D．作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程

考点二 排列的列举和树状图

解题方略：

树形图的画法

(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．

(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．

(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止．

（一）列举法解决排列问题

【例2-1】学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，列举出所有不同的排列：______．

变式1：请列出下列排列：

(1)从4个不同元素，，，中任取3个元素的所有排列；

(2)从7个不同元素，，，，，，中任取2个元素的所有排列．

变式2：某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.

（二）画树状图解决排列问题

【例2-2】从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．

变式1：甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　)

A．6  B．4  C．8  D．10

变式2：将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．

变式3：从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．

变式4：写出下列问题的所有排列：

(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？

考点三 简单的排列问题

解题方略：

对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．

（一）数字问题

【例3-1】用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A.8      B.24      C.48      D.120

变式1：用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：

(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？

(2)可以排出多少个不同的三位数？

变式2：从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.

（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.

（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.

（二）排队问题

【例3-2】3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．

变式1：6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（       ）

A．36 B．120 C．720 D．240

变式2：甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（       ）

A．6 B．4 C．8 D．10

变式3：甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（       ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．60种

（三）分配问题

【例3-3】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

变式1：8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法．

变式2：将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（       ）

A．54 B．45

C．5×4×3×2 D．5

题组A  基础过关练

1、下列问题是排列问题的是（       ）

A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

2、某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（    ）

A．20 B．15 C．10 D．5

3、从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　)

A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲

B．甲乙丙、乙丙甲

C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙

D．甲乙、甲丙、乙丙

4、沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　)

A．15  B．30  C．12  D．36

5、从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为(　　)

A．5  B．10  C．20  D．60

6、写出所有由1，2，3，4这四个数字排成的没有重复数字的四位数．

题组B  能力提升练

7、由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(　　)

A．9  B．12  C．15  D．18

8、用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：

(1)三位数________个；

(2)无重复数字的三位数________个；

(3)小于500且无重复数字的三位奇数________个．

9、一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（       ）

A．240个 B．249个

C．285个 D．330个

10、王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.

（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有________种不同的带法；

（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有________种不同的带法；

（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有________种不同的带法.

题组C  培优拔尖练

11、将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答）

12、从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．