【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：6.3.2 二项式系数的性质 讲义

6.3.2 二项式系数的性质

知识点1 二项式系数的性质

【即学即练1】在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　)

A．第n－k项   B．第n－k－1项

C．第n－k＋1项   D．第n－k＋2项

知识点2 赋值法在求各项系数和中的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

【即学即练2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：

(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；

(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；

(3)a1＋a3＋a5.

【即学即练3】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．

【即学即练4】已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（       ）

A．4 B．5

C．6 D．7

知识点3 二项式系数或系数的最值

1、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。

2、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。

3、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤：

第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．

第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．

【即学即练5】已知n.

(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．

考点一 二项式系数和问题

【例1-1】已知的展开式中，第项和第项的系数相等，求这个展开式所有二项式系数之和．

变式1：已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为(　　)

A．212  B．211  C．210  D．29

变式2：已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.

(1)求m，n的值；

(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；

(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．

考点二 二项展开式各项的系数和问题

解题方略：

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

（一）求二项展开式各项系数和

【例2-1】设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于(　　)

A．4  B．－71  C．64  D．199

变式1：已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．

变式2：(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为(　　)

A．2n＋1   B．2n－1

C．2n＋1－1   D．2n＋1－2

（二）奇次项与偶次项的系数和

【例2-2】若，则

A． B． C． D．

变式1：已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.

(1)求a2的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；

(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．

变式2：若，其中.

(1)求m的值；

(2)求；

(3)求.

变式3：(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(　　)

A．－2 048  B．－1 023  C．1 024  D．－1 024

变式4：(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．

变式5：在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　)

A．330  B．462  C．682  D．792

（三）由二项展开式各项系数和求参数

【例2-3】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为            ．

变式1：已知的展开式中各项系数的和32，则展开式中项的系数为　　

A．120 B．100 C．80 D．60

考点三 二项式系数性质的应用

解题方略：

(1)二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．

（一）二项式系数的增减性与最值

【例3-1】【多选】11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)

A．第5项  B．第6项  C．第7项  D．第8项

变式1：在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（       ）

A．-960 B．960 C．1120 D．1680

变式2：设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.

变式3：若的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（       ）

A．6 B．12 C．24 D．48

（二）求二项展开式中系数最大的项

【例3-2】在展开式中，下列说法错误的是（    ）

A．常数项为 B．第5项的系数最大

C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1

变式1：【多选】设二项式n的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)

A．第8项   B．第9项

C．第10项   D．第11项

变式2：设，若，则展开式中系数最大的项是（       ）

A． B． C． D．

变式3：已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

变式4：已知n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含的项；

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．

变式5：求的展开式中：

(1)各项系数之和；

(2)各项系数的绝对值之和；

(3)系数最小的项.

题组A  基础过关练

1、若，则（       ）

A． B．4 C． D．

2、已知

(1)求；

(2)求.

3、设，求下列各式的值．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)．

4、已知.求下列各式的值.

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

题组B  能力提升练

5、的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为（    ）

A.    B.    C. 57    D. 33

6、已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：

(1)n的值；

(2)展开式中x项的系数；

(3)展开式中所有含x的有理项．

7、在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和.

8、已知在的二项展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为10：1，求该二项展开式中系数最大的项的系数．

题组C  培优拔尖练

9、【多选】(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为(　　)

A．a＝1，b＝2，n＝5   B．a＝－2，b＝－1，n＝6

C．a＝－1，b＝2，n＝6   D．a＝－1，b＝－2，n＝5

10、已知在的二项展开式中，各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992，求该二项展开式中系数最大的项．

11、已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________.