【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：7.1.2 全概率公式 讲义

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7.1.2 全概率公式

课程标准
课标解读
1. 结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式
推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础.
2. 理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概
率计算.
3. 了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计
算.
通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题.




知识点1 全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式.
注：全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集.
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具.

（3）全概率也是条件概率.
【即学即练1】一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)
＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，
由题设易知P(A)＝，P()＝，
P(B|A)＝，P(B|)＝，
于是P(B)＝×＋×＝.故选C

【即学即练2】假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%

在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
【解析】用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.

知识点2 贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有
【即学即练3】根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以.
故答案为：.

【即学即练4】已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案.
【详解】
解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.
由题意，知，，.
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为
.
故答案为：.


考点一 全概率公式的计算
【例1-1】已知，求．
【解析】由，
故.

变式1：分别在下列各条件下，求：
(1)；
(2)．
【解析】
(1)因为
所以，
由，
可得，
所以；
(2)因为
所以，
由，
可得，
所以；

考点二 两个事件的全概率问题
解题方略：
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
【例2-1】某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
【解析】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.

变式1：两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
∴＝(1－0.03)＋(1－0.02)＝＝.故选C
变式2：某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（       ）
A． B． C． D．
【解析】设“第1天去A餐厅用餐”， “第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.

变式3：某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
【解析】记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
考点三 多个事件的全概率问题
解题方略：
“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，．

(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
【例3-1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.

变式1：有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是(　　)
A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003
【解析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，
P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.故选A

变式2：甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．
【解析】设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝·＋·＋·＝.

变式3：设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的概率为________．
【解析】Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，则A＝AA2∪AA1∪AA0，
∵P(A0)＝＝，P(A|A0)＝1，P(A1)＝＝，
P(A|A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A|A2)＝＝，
∴第二次摸出的2只全是好的的概率为P(A)＝P(A2)·P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0)
＝×＋×＋＝0.55.

【例3-2】深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（       ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【解析】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故选：C．

变式1：播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（       ）
A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5
【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.


变式2：设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（       ）
A． B． C． D．
【解析】设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝ (Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
故选：A

考点四 贝叶斯公式的应用
解题方略：
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．
【例4-1】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（       ）
A． B． C． D．
【解析】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得.
又由贝叶斯公式得.
故选：B



变式1：设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件．
(1)求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．
【解析】记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知
P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.
(1)由全概率公式得＝3.5%.
(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得
P(A1|B)＝＝＝.

变式2：袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
【解析】设B＝{取出的球全是白球}，
Ai＝{掷出i点}(i＝1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得
．
故答案为：


题组A 基础过关练
1、已知，求．
【答案】
【解析】
【分析】
由全概率公式直接计算即可
【详解】
由，
故

2、有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为(　　)
A．0.85 B．0.65 C．0.145 D．0.075
【解析】设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”．则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.故选C

3、已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　)
A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65
【解析】用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.故选C
4、某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（       ）
A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02
【解析】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248．
故选：C．

5、有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2台车床加工的次品率为6%，加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%，55%，则任取一个零件是次品的概率为___.
【解析】依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为.
故答案为：5.55%.

6、一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
【解析】A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
(2)P(B|A)＝＝＝.

7、某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_________.
【答案】0.175
【解析】
设 “他是谨慎的”， “他是一般的”， “他是冒失的”，事件“出事故”，由全概率公式求解.
【详解】
设 “他是谨慎的”， “他是一般的”， “他是冒失的”，
则构成了的一个划分，设事件“出事故”，
由全概率公式得，
.
故答案为：0.175

8、某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.
【答案】0.00025或
【解析】
【分析】
记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，根据题设写出对应事件的概率，再应用全概率公式列方程，即可求不吸烟者中患肺癌的概率.
【详解】
记“患肺癌”为事件C，“吸烟”为事件A，
由题意得，，，
由全概率公式得：，
将数据代入，得，解得.
故答案为：

题组B 能力提升练
9、【多选】若，，则下列式子中成立的为（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件概率公式分析判断即可
【详解】
由条件概率的计算公式知A错误；C显然正确；
B选项，，正确
D选项中，因为，所以,故D正确.
故选：BCD

10、【多选】甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（       ）
A．B与相互独立 B．，，两两互斥
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断D．
【详解】
事件的发生与事件的发生有影响，因此事件的发生与事件不独立，A错；
中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．

11、袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
【解析】设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝.

12、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率.
【答案】
【解析】
【分析】
设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，进而根据题意，结合全概率公式求解即可.
【详解】
解：设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则根据题意得，，
所以由全概率公式得：.
即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为

13、已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________．
【解析】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得：PA=PB⋅PAB+PC⋅PAC+PD⋅PAD=58×1+14×34+18×14=2732
故答案为：

14、【多选】箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】，A正确；
PBA=PABPA=46×3546=35，
由全概率公式可知：
所以BC错误，D正确.
故选：AD


15、设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴＝＋＋＋＝.故选A


16、把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为(　　)
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
【解析】设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R＝“第二次取出的球是红球”，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.故选A

17、8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时， 中靶的概率为 0.8； 用未校准的枪射击时， 中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．
【解析】设B1＝{使用的枪校准过}， B2＝{使用的枪未校准}， A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3．
由贝叶斯公式， 得
．
所以， 所用的枪是校准过的概率为，
故答案为：

题组C 培优拔尖练
18、2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
【解析】(1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；
设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；
设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.
(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.
，，，.
所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：


19、今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【解析】(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件
由题意可知，，，
解得，.
所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则
，，，，，，
则

这个问题回答正确的概率为.

20、学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
（2）学生知道正确答案的概率是0.2．
【答案】（1）0.8；（2）0.5.
【解析】
【分析】
记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，根据题意求得，，
（1）此时有，由贝叶斯公式即可得出答案；
（2）此时有，，由贝叶斯公式即可得出答案.
【详解】
解：记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，则按题意有，．
（1）此时有，所以由贝叶斯公式得
．
（2）此时有，，所以由贝叶斯公式得
．

21、如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．

(1)分别求，，和的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【解析】(1)由已知可得,
,
∴，
，
，
∴.
(2)，，，
最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.

22、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？
【答案】，
【解析】
【分析】
根据概率的加法和乘法公式进行求解即可.
【详解】
[解]　设Ai ＝“第i次接通电话”，i ＝ 1，2，3，
B＝“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为．
利用概率的加法公式和乘法公式



若已知最后一位数字是奇数，则


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