【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：7.3.2 离散型随机变量的方差 讲义

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7.3.2 离散型随机变量的方差

课程标准
课标解读
1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差;
2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题.
3.能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题.
通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.




知识点1 离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn

我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称则称为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
注：离散型随机变量的方差的深层理解
①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了 ()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
③均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差.
④方差公式的变形：
⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负.
【即学即练1】【多选】下列说法中错误的是(　　)
A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
【即学即练2】若随机变量的分布列如表，则的方差是（    ）


0
1




A．0 B．1 C． D．
知识点2　离散型随机变量方差的性质
1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c为常数)．
注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；
【即学即练3】已知随机变量的取值为.若，，则（       ）
A． B． C． D．
知识点3 两点分布的方差公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:.

1
0





考点一 求离散型随机变量的方差、标准差
解题方略：
求离散型随机变量方差的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；
②求出X取每个值的概率；
③写出X的分布列；
④计算E(X)；
⑤计算D(X)．
【例1-1】已知随机变量X的分布列如表所示：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a

则a＝________，D(X)＝________.

变式1:设随机变量X的概率分布如下表所示，试求X的均值和标准差．
X
1
2
3
4
5
P







变式2:【多选】已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P





则(　　)
A．E(X)＝ B．D(X)＝
C．D(X)＝ D．E(X)＝


变式3:编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________.










变式4:某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的数学期望和方差


变式5:不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为，求，．



考点二 两点分布的方差

【例2-1】设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
变式1:设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
变式2:随机变量的概率分布为，．若，则（    ）
A． B． C． D．
变式3:【多选】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．

考点三 离散型随机变量方差的性质
解题方略：
线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)．
【例3-1】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5

变式1:已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4


变式2:已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P




(1)求E(ξ)，D(ξ)，；
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．

考点四 由离散型随机变量的方差求参数
【例4-1】已知随机变量满足，且为正数，若，则（       ）
A． B． C． D．

考点五 离散型随机变量方差的最值（范围）问题
【例5-1】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
m
n
P

a

若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．无法计算

变式1:若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0