【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：7.4.2 超几何分布 讲义

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7.4.2 超几何分布
课程标准
课标解读
1． 理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系；
2． 根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差；
3． 在实际问题中能用超几何概型解决实际问题.
通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题.




知识点1 超几何分布
1． 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，
k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式

X
0
1
…
m
P


…

则称随机变量X服从超几何分布．

2.均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝．
3.对超几何分布的理解
（1）在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.
（2）若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.
（3）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布
超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型.
【即学即练1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．
【解析】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．

【即学即练2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
【解析】(1)设甲班的学生人数为M，则＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名学生中甲班的学生共有3人．
(2)由题意可知，ξ服从超几何分布．
∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＝＋＝＋＝.

【即学即练3】有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是(　　)
A．n B.
C. D.
【解析】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E(X)＝.故选C

【即学即练4】某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.
(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望
【答案】(1)；
(2)的分布列见解析，.
（1）
从参加集训的男生中随机抽取人，
女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，
代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，
恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，
若学生为女生，则抽取方法数为，
高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
（2）
依题意得，的所有可能取值为，
则，
，
，
的分布了如下：








.

知识点2 超几何分布和二项分布的区别和联系
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；
（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
注：（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
【即学即练5】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P




∴X的均值为
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(X)＝＝.
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P





考点一 对超几何分布的理解
解题方略：
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象．
(2)是否为不放回抽样．
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
【例1-1】【多选】下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　)
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故选ABD

变式1：下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
【答案】答案见解析
【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．


变式2：一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.

考点二 超几何分布的概率
解题方略：
求超几何分布的分布列的步骤

【例2-1】某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
【解析】由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．


【例2-2】一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)
A．P(0