【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：8.1 成对数据的统计相关性 讲义

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8.1 成对数据的统计相关性课程标准课标解读1．     理解两个变量的相关关系的概念；2．     能利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，会作简单的散点图；3．     会根据相关系数判断两个变量的相关程度； 通过本节课的学习，要求会画散点图，能根据散点图判断成对数据的相关情况，能利用相关系数判断两个变量的相关程度.  知识点1 相关关系1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．注：相关关系不是函数关系，函数关系是唯一确定的关系．2．相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．①正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关，在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．②负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关，在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；这条直线叫做回归直线. ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．【即学即练1】下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（       ）A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．不积跬步，无以至千里 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧【即学即练2】【多选】下列关系中，属于相关关系的是(　　)A．正方形的边长与面积之间的关系B．农作物的产量与施肥量之间的关系C．出租车费与行驶的里程D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系知识点2　相关关系的刻画1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．2．样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数.①样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．②当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关.③ 越接近于，两个变量的线性相关性越强；   接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.注：通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．【即学即练3】对于散点图下列说法正确一个是（       ）A．一定可以看出变量之间的变化规律 B．一定不可以看出变量之间的变化规律C．可以看出正相关与负相关有明显区别 D．看不出正相关与负相关有什么区别【即学即练4】下面的散点图与相关系数一定不符合的是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【即学即练5】在一次试验中，测得的四组值分别为，则与的相关系数为（       ）A． B． C．0 D．  【即学即练6】某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：x24568y3040605070 ①画出散点图；②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？【即学即练7】近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心，某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：年份20152016201720182019年份代码12345交易额/百亿元912172126请根据表中提供的数据，画出散点图，推断两个变量是否线性相关，并用样本相关系数说明与的线性相关程度（保留三位小数）.附：.考点一 相关关系与函数关系的辨析解题方略：函数关系与相关关系的异同点 函数关系相关关系相同点两者均是指两个变量之间的关系 不同点是一种确定性关系是一种非确定性的关系是两个变量之间的关系①一个为变量，另一个为随机变量；②两个都是随机变量是一种因果关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系是一种理想的相关关系模型是一种更为一般的情况【例1-1】下列结论：①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.其中正确的是______.（将所有正确的序号填上）变式1：下列说法错误的是（       ）A．正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系B．人的身高与视力之间的关系是相关关系C．汽车的重量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关D．体重与学习成绩之间不具有相关关系变式2：下列关系中是相关关系的是(　　)①路程与时间、速度的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系．A．①②④　 B．①③⑤　C．③⑤　 D．③④⑤变式3：【多选】下列命题正确的是(　　)A．任意两个变量都具有相关关系B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系D．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关变式4：给出下列x，y值的数据如下：x1248y35917 则根据数据可以判断x和y的关系是________．(填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”)变式5：某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3 根据表中数据，下列说法正确的是(　　)A．利润率与人均销售额成正比例函数关系B．利润率与人均销售额成反比例函数关系C．利润率与人均销售额成正相关关系D．利润率与人均销售额成负相关关系 考点二 判断两个变量是否有相关关系解题方略：两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．【例2-1】下列两个变量之间的关系是相关关系的是（    ）．A．正方体的棱长和体积B．单位圆中圆心角的度数和所对弧长C．学生的学籍号与学生的数学成绩D．日照时间与水稻的亩产量【例2-2】【多选】在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是(　　)变式1：据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”) 考点三 判断正，负相关关系【例3-1】如下四个散点图中，正相关的是（    ）A． B．C． D．变式1：对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关变式2：【多选】某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．沸点与海拔高度呈正相关B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈负相关D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强变式3：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是(　　)A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%变式4：某市居民年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：年份年平均收入年平均支出根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有______相关关系．（填“正”或“负”）变式5：某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120 (1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关．考点四 相关系数的意义解题方略：样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．【例4-1】甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表： 甲乙丙丁-0.78则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（       ）A．甲       B．乙 C．丙 D．丁变式1：若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，则变量y与x之间(　　)A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定变式2：【多选】对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是(　　)A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系D．|r|越接近1时，线性相关程度越强变式3：两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　)A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强变式4：变量X与Y相对应的一组成对样本数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组成对样本数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则(　　)A．r2<r1<0   B．0<r2<r1C．r2<0<r1   D．r1＝r2【例4-2】在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（    ）A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大考点五 相关系数的计算解题方略：线性相关强弱的判断方法(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．【例5-1】下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？地区ABCDEFGHIJK海拔/m1250115810674577017316106701493762549鸟的种类/种363037111113171329415 变式1：5名学生的数学和物理成绩如下表，画出散点图，并判断它们是否具有相关关系． ABCDE数学8075706560物理7066686462 变式2：有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的年数据，如表．第年居民年收入/亿元商品销售额/万元画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．题组A  基础过关练1、从统计学的角度看，下列关于变量间的关系说法正确的是（       ）A．人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系B．汽车的重量和汽车每消耗汽油所行驶的平均路程负相关C．吸烟量与健康水平正相关D．气温与热饮销售好不好正相关2、下列现象中线性相关程度最强的是（       ）A．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0.87B．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为-0.94C．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0.51D．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为0.703、如图所示，有5组(x，y)数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系(　　)A．E  B．D  C．B  D．A4、两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)A．①②③  B．②③①  C．②①③  D．①③②5、如图所示的两个变量不具有相关关系的有________．(填序号)6、【多选】根据下面四个散点图中点的分布状态，可以直观地判断两个变量之间具有线性相关关系的是（       ）A．B．C．D．7、变量x，y的线性相关系数为，变量m，n的线性相关系数为，下列说法错误的是（       ）A．若，则说明变量x，y之间线性相关性强B．若，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强C．若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关D．若，则说明变量x，y之间线性不相关题组B  能力提升练8、对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有________．①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分；③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关．9、相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（     ）A．B．C．D．10、某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是(　　)A．r4<r2<0<r1<r3   B．r2<r4<0<r1<r3C．r2<r4<0<r3<r1   D．r4<r2<0<r3<r111、已知变量、相对应的一组数据为(10，1.5)，(11，3.2)，(11，8.3)，(12.5，14)，(13，5)，变量、相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量之间的线性相关系数，则有（       ）A． B． C． D．12、现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系．题组C  培优拔尖练13、高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看：(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．14、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；附：相关系数公式.参考数据：，.15、某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，实验数据经整理得到如下的折线图：由图可以看出，这种酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关关系，请用相关系数加以说明．附：，，，样本相关系数．16、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 经计算得，，，，.（1）求与的样本相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.（2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天生产的所有零件进行检从这一天抽检的结果看，是否需对当天生产的所有零件进行检查？