【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：拓展三：二项分布和超几何分布辨析 讲义

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拓展三：二项分布和超几何分布辨析

考点一 超几何分布
考点二 二项分布
考点三 超几何分布和二项分布的综合

剖析两种分布的不同点与相同点，关注概念本质区别与联系
1、概念不同
（1）超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P


…


如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．记作X∼H(n,M,N)
判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体（共有 N 个）内含有两种不同 的事物 A ( M个)、B (N-M个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A.符合该条件的即可断定是超几何分布。

（2）二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果，只有与这两个，且事件A发生的概率为，事件发生的概率为；②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数 ，事件发生的概率为 .

2、随机试验的条件不同
超几何分布在试验过程中必须给定总体数，而且总体必须由数目明确的“正品”与“次品”两类构成.二项分布进行的试验无需知道总体数.

3、随机试验类型与特点不同
超几何分布的试验：是从含有m（）件次品的N件产品中任取n（件产品，它具有如下特点：（1）有限个不同的基本事件（2）每个基本事件的出现是等可能的，我们称具有这样特点的试验为古典概型的随机试验，可以理解为是不放回抽样的试验。从另一个角度看这个试验，我们也可以看做是包含n个古典概型随机试验的复合试验，其中第一个试验是：从N件产品中任取一件，第二个试验是从余下的N-1件产品中任取一件，以此类推，第n个试验是从余下的N-（n-1）件产品中任取一件，这n个试验事相互不独立的。
二项分布的试验就是我们常说的n次独立重复试验，即在相同的条件下做了n次独立重复试验，可以理解为有放回抽样的试验。

4、随机试验的模型与结果不同
超几何分布进行的随机试验是无放回抽样模型，每一次试验的结果数较多，比如在有3件次品的10件产品中任取1件产品，不同的结果有C101种.
二项分布进行的随机试验是重复试验，所以每次抽取条件不变，可以理解为有放回抽样模型.而且每一次试验只有两个对立的结果A或A，称为伯努利试验.
注：二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的（特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的3个条件成立时应用的.独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.）.

5、 随机变量X表示的事件不同
超几何分布中离散型随机变量X表示抽取出的这n件产品中的次品数.所以事件{X=k}表示抽取的n件产品中有k件次品，n-k件正品.
二项分布中离散型随机变量X表示这n次独立重复试验中事件A出现的次数，即成功次数.所以事件{X=k}表示n次独立重复试验中事件A出现了k次，事件A出现了n-k次.

6、随机变量X表示的事件概率计算公式不同
超几何分布进行的随机试验是满足古典概型的随机试验，所以事件{X=k}发生的概率P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn，其中k=0,1,2,⋯,m,m=min{M,n}.
二项分布中进行的是独立重复试验，满足独立事件的概率乘法公式，所以事件{X=k}发生的概率P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k，其中k=0,1,2,⋯,n.

7、随机变量X的概率计算条件不同
超几何分布概率计算会在题设中给出抽样个数n、总体数N，会给出或可求出总体中两类产品中的“次品”数M.
二项分布概率计算会在题设中暗示给出或者可求出成功概率p.

8、随机变量X的数学期望公式不同
(1)若X∼H(n,M,N)，则EX=n⋅MN.
证明由
kCMk =k⋅M(M-1)⋯(M-k+1)k! =M⋅(M-1)⋯(M-k+1)(k-1)!=M⋅CM-1k-1
则EX=∑k=1M k⋅CMkCN-Mn-kCNn=M⋅∑k=1M CM-1k-1CN-Mn-kCNn=M⋅∑k=1M CM-1k-1CN-Mn-kCNn，由于∑k=1M CM-1k-1CN-Mn-k为从含有M件次品的N件产品中取出一件次品以后，抽取n-1件产品的不同取法种数，故∑k=1M CM-1k-1CN-Mn-k=CN-1n-1，所以EX=M⋅CN-1n-1CNn=n⋅MN，证毕.
因为抽取一次取到次品概率为MN，所以可以理解为抽取一次平均可取到次品MN件，则抽取n次平均可取到次品n⋅MN件.
(2)若X∼B(n,p)，则EX=np.
证明同(1)有kCnk=nCn-1k-1，则
EX=∑k=1n kCnkpk(1-p)n-k=np⋅∑k=1n Cn-1k-1pk-1(1-p)n-k，
 又  k=1n  Cn-1k-1pk-1(1-p)n-k=Cn-10(1-p)n-1+Cn-11p(1-p)n-2+⋯+Cn-1n-1pn-1=[(1-p)+p]n-1=1,
所以EX=np，证毕.
因为在n次独立重复试验中A事件发生的概率为p，所以可以理解为一次随机试验中A事件平均发生p次，则在n次独立重复试验中A事件平均发生np次.

9、两种分布的相同点
(1)两者都是离散型随机变量分布，且随机变量都只能取非负整数值.
(2)错解与正解中两者的数学期望会相等.正因为如此，在抽样问题中出现答案貌似“正确”，但却是错解的现象以后，有些同学甚至很坚定地认为自己的错解是正确的.究其原因是在题目中取到“次品”概率p=MN，所以错误的解法也会得到正确的期望值.

10、两种分布之间的联系
当总体数N较小时，无放回抽样中按照超几何分布计算的概率与有放回抽样中按照二项分布计算的概率差异比较明显，当总体数N不断变大时两种分布计算的概率逐渐接近，当总体数N无限或很大时，此时limN→∞ MN=p，无放回抽取少量样品对次品率的影响很微小，次品率p此时是一个稳定值，两种分布计算的概率相等，即
limN→∞ CMkCN-Mn-kCNn=Cnkpk(1-p)n-k.
证明因为
CMkCN-Mn-kCNn
=M!k!(M-k)!⋅(N-M)!(n-k)!(N-M-n+k)!⋅n!(N-n)!N!
=n!k!(n-k)!⋅M!(N-M)!(N-n)!(M-k)!(N-M-n+k)!N!
=Cnk⋅M(M-1)⋯(M-k+1)N(N-1)⋯(N-n+1)
(N-M)(N-M-1)⋯(N-M-n+k+1)N(N-1)⋯(N-n+1)
=Cnk⋅M(M-1)⋯(M-k+1)Nk
(N-M)(N-M-1)⋯(N-M-n+k+1)Nn-k
NnN(N-1)⋯(N-n+1)又n,k是常数，limN→∞ MN=p，则
limN→∞ M(M-1)⋯(M-k+1)Nk=pk，
limN→∞ (N-M)(N-M-1)⋯(N-M-n+k+1)Nnk=(1-p)nk，
limN→∞ NnN(N-1)⋯(N-n+1)=1
故limN→∞ CMkCN-Mn-kCNn=Cnkpk(1-p)n-k，证毕.
因此判断两种分布时，不能机械地以抽样方法来判定，对于总体数N很大的这种抽取，尽管是无放回抽样，但超几何分布已经近似为二项分布了，我们都把它看成是n次独立重复试验，按照二项分布来解题.

11、实例：一个袋中放有个红球，（）个白球，依次从袋中取个球，记下红球的个数
（1） 如果是不放回地取，则服从超几何分布。
（其中）
注：每一次取到红球的概率是不同的
（2） 如果有放回地取，则～B（）
注：每一次取到红球的概率是相同的
所以，超几何分布与二项分布的本质区别就在于每一次试验中，事件A发生的概率是否相同，不同的是超几何分布，相同的是二项分布。

联系：
当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数N很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。
拓展：在实际问题中，哪些语言暗示每次试验事件A发生的概率相同？
“从流水线上抽取”
“每次试验以事件A发生的频率近似作为概率等”

12、命题方向主要有两类：
第一类命题直接考查二项分布和超几何分布；第二类是借用二项分布和超几何分布的计算概率的思想，但题目所研究的随机变量并不服从二项分布和超几何分布。


13、如何避免发生两种分布的误判
要避免发生两种分布的误判，除了需要在知识方面强化对两种分布概念的理解与辨析，理清概念的本质区别，提高对两种分布的辨识力之外，由于概率统计题目包含文字较多，加之部分题目中条件可能会以图表的形式给出，在紧张的考试过程中，学生就更加难以从繁冗的已知条件中找准关键字句提取重要信息，往往凭借并不完善的经验选取概率模型解题，但基于两种分布在一定的条件下可以相互转化的特点，学生在解题时极易发生两种分布的误判，所以为了避免发生误判还需培养良好的审题习惯，找准题目中的关键字句进行分析，跳出题目设置的“陷阱”，走出认识误区.那么为了让错误不再重演，如何审题才能避免发生两种分布的误判?通过以上对两种分布的概念解读，不难发现在判断两种分布时需要做到以下五“看”：
(1)看总体数是否给出，末给出或若给出总体数较大一般考查二项分布.
(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.
(3)看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A或A，一般考查二项分布.
(4)看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布;若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.
(5)看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.



考点一 超几何分布
1．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
2．（2023·上海长宁·统考二模）盒子中有5个乒兵球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．
(1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证：；
(2)用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望．
3．（2023·全国·高三专题练习）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．
(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；
(2)用X表示选中的候选人中来自甲班的人数，求；
(3)求（2）中X的分布列及数学期望．
4．（2023春·高二课时练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10
该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
5．（浙江省衢温5 1联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；
(2)现若样本中和年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设表示年龄段在的人数，求的分布列及期望.
6．（2023·上海青浦·统考二模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)求频率分布直方图中实数的值；
(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.
7．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X．
(1)若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列；
(2)已知，集合{概率最大}，且A中仅有两个元素，求．
考点二 二项分布
8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）2022年秋季开始，劳动课程将正式成为中小学的一门独立课程，根据2022年版义务教育“新课标显示”，清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与健康、农业生产劳作等任务，将贯穿不同的年级.某校为了贯彻落实教育部要求，调查了在校高中生一周参加劳动的时间，所得结果统计如图所示.

(1)求a的值；
(2)求该校学生一周参加劳动的平均时间；
(3)以频率估计概率，若在该市所有学生中随机抽取4人，记一周的劳动时间在的学生人数为X，求X的分布列以及数学期望
9．（2023·陕西汉中·统考二模）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.
10．（2023·湖南常德·二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有，，三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：
班级
一
二
三
四
人数




(1)从这人中随机抽取人，求这人恰好来自同一班级的概率；
(2)从这名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选，两款软件学习的概率都是，且他们选择，，任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件的人数为，求的分布列和数学期望．
11．（浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
12．（安徽省安庆市示范高中2023届高三下学期4月联考数学试卷）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；
(3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？
13．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中曾经有多少学生上课睡过觉”设计、两个问题，问题“你是否曾经上课睡过觉”，问题“你是否在上半年出生”，小组成员邀请学生逐一在装有、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（问题肯定与否定的概率视为相等），由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.
(1)若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内曾经上课睡过觉的学生人数；
(2)视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取名学生，记其中曾经上课睡过觉的人数为，求的分布列和数学期望.
14．（2023·江西·校联考模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.
（i）请用表示；
（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
15．（2023·山东青岛·统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．

16．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序的次品率分别为.
①求批次I的血液试剂经过前三道工序后的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
(2)已知某批次血液试剂的次品率为，设100个血液试剂中恰有1个为不合格品的概率为，求的最大值点.
17．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？
考点三 超几何分布和二项分布的综合
18．（2021·高二单元测试）一机床生产了个汽车零件，其中有个一等品、个合格品、个次品，从中随机地抽出个零件作为样本.用表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过的的值；
②求误差不超过的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
19．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下：
      词汇量频数





高一年级
16

2
2
0
高二年级
8
8

4
2
高三年级

6
8
8
4
(1)求，，的值；
(2)在这90份样本数据中，从词汇量位于区间的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这2人词汇量位于区间的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有的人词汇量位于区间．现从该学校任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间，求他外语选修的是日语的概率．
20．（2023春·北京·高二校考阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.
21．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
22．（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是．”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
23．（2023·全国·高三专题练习）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
竞赛得分





频率
0.1
0.1
0.3
0.3
0.2
(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？
(2)在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；
(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
24．（2022春·全国·高二期末）2022年全国各地新型冠状病毒卷土重来，为减小病毒感染风险，人们积极采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0，2），[2，4），，[10，12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．
时长/
[0，2）
[2，4）
[4，6）
[6，8）
[8，10）
[10，12]
频数
5
10
25
35
15
10
(1)若将频率作为概率，从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)现从戴口罩时长在[0，2）、[2，4）、[4，6）的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示戴口罩时长在[2，4）内的人数，求的分布列和数学期望；
(3)若将频率作为概率，政府为了鼓励市民在疫情频发期间积极佩戴口罩，准备每天按以下方案对每位市民发放口罩补贴（）：
时长/
[0，4）
[4，8）
[8，12]
补贴（元）
0


若全市有100万居民，试分析政府平均每天至少要准备多少经费用于此项开支？（参考数值：）
25．（2021春·福建南平·高二校考阶段练习）三年前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境．我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．上海作为我国首个进行垃圾分类的城市，从2019年7月开始实施至今，为了更好的回收和利用，每个小区都有规定时间投放垃圾，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．例如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸．现调查了上海市5个小区2019年10月的生活垃圾投放情况，其中在规定时间内投放垃圾的百分比和可回收物中废纸投放量如下表所示：

A小区
B小区
C小区
D小区
E小区
在规定时间内投放的百分比（%）
90%
85%
83%
79%
75%
废纸投放量（吨）
5.1
4.8
5.2
4.9
5
（1）从这5个小区中任选1个小区，求该小区2019年10月在规定时间内投放垃圾的百分比不低于80%，且废纸投放量大于5吨的概率；
（2）从这5个小区中任选2个小区，记X为2019年10月投放的废纸可再造好纸大于4吨的小区个数，求X的分布列及期望；
（3）若将频率视为概率，在上海市任选4个小区，恰有2个小区2019年10月在规定时间内投放垃圾的百分比不低于80%，且废纸投放量大于5吨的概率．
26．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）为提升教师的命题能力，重庆市第一中学定期举办教师命题大赛，大赛分初赛和复赛，初赛共进行4轮比赛，4轮比赛命制的题目均可适用于高一，高二，高三年级，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，限时60分钟，参赛教师要在指定的知识范围内，命制非解答题，解答题各2道，若有不少于3道题目入选，将获得“优秀奖”，4轮比赛中，至少获得3次“优秀奖”的教师将进入复赛．为了能进入复赛，教师甲赛前多次进行命题模拟训练，指导老师从教师甲模拟训练命制的题目中，随机抽取了4道非解答题和4道解答题，其中有3道非解答题和2道解答题符合入选标准．
(1)若从模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中，随机抽取非解答题，解答题各2道，由此来估计教师甲在一轮比赛中的获奖情况，试预测教师甲在一轮比赛中获得“优秀奖”的概率；
(2)若以模拟训练命制的题目中所抽取的8道题目中两类题目各自入选的频率作为每道该类题目入选的概率，经指导老师对教师甲进行赛前强化训练后，每道非解答题入选的概率不变，每道解答题入选的概率比强化训练前大，以获得“优秀奖”次数的期望作为判断依据，试预测教师甲能否进入复赛？