人教版6.3 实数优秀练习

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专题6.3 实数（97题50页）
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1.有理数和无理数统称为实数
2.实数的相关概念：
（1）在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（2）有理数的运算及运算律对实数仍然适用.
（3）实数与数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
考点精讲

考点1：实数概念的理解
典例：（2022·云南昭通·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号中：
0.3，，，，0，，3.14，，，，，0.125，，
负数集合{                                   …}；
整数集合{                                   …}；
有理数集合{                                   …}；
无理数集合{                                   …}．
【答案】见解析
【分析】根据实数分类进行解答即可．
【详解】解：∵，，，，，，，
∴负数集合；
整数集合；
有理数集合；
无理数集合．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的分类，熟记整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南三门峡·七年级期中）下列说法中，错误的是（       ）
A．是整数 B．的平方根是
C．是分数 D．是有理数
【答案】C
【分析】根据实数的分类即可进行解答．
【详解】A：=-3，-3是整数，故A正确；
B：的平方根是，故B正确；
C∶是无理数，故C错误；
D：是有理数，故D正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练地掌握实数的各种分类标准是解题的关键．
2．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（       ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据有理数的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，，，，，
∴ ，， ，是负有理数，
故选：B．
【点睛】本题考查负有理数，解题关键是正确理解有理数的定义，属于基础题型．
3．（2022·广东·海丰县教研室七年级期末）实数中，无理数有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，即可作答．
【详解】0是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是分数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无限循环小数，属于有理数.
因此无理数有2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，及有理数、无理数的定义．实数分为有理数和无理数，整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．
4．（2022·山东德州·七年级期末）下列说法中错误的是（       ）
A．是整数 B．是有理数
C．是分数 D．的立方根是无理数
【答案】C
【分析】根据实数分类，无理数的概念，进行辨别即可．
【详解】解：A、是整数，故本选项正确，不符合题意；
B、是有理数，故本选项正确，不符合题意；
C、是无理数，故本选项错误，符合题意；
D、，则的立方根是是无理数，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了实数的分类能力，关键是能准确理解实数分类知识，无限不循环小数是无理数．
5．（2022·河北保定·七年级期末）下列命题中是真命题的是（       ）
A．实数由有理数和无理数组成 B．实数分为正实数和负实数
C．若，则a=b D．是个分数
【答案】A
【分析】根据实数的分类，实数的性质进行逐项分析即可．
【详解】解：A. 实数由有理数和无理数组成，该选项是真命题；
B. 实数分为正实数，零和负实数，该选项是假命题；
C. 若，则a= b，该选项是假命题；
D.是个无理数，该选项是假命题．
故选：A．
【点睛】本题考查实数的分类及实数的性质，正确掌握实数的分类是解题关键．
6．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）在下列各实数中，属于无理数的是（       ）
A．2022 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数就是无理数，即可作答．
【详解】A：2022是整数，属于有理数；
B：是分数，属于有理数；
C：开不尽方，属于无理数；
D：=2，是整数，属于有理数；
故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练地掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：含的数、开方开不尽的数、有规律但是不循环的无限小数以及无限不循环小数．
7．（2022·贵州铜仁·八年级期末）下列四个实数中，是无理数的为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A.﹣3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.﹣2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D. 是无理数，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
8．（2022·青海西宁·中考真题）下列各数是负数的是（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据小于0的数是负数即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴-＜0＜＜-(-5)，
∴-是负数，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意0既不是正数，也不是负数．
9．（2022·湖南长沙·七年级期中）实数（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据无理数是无限不循环小数来进行判定求解．
【详解】解：，，是有理数，
1，0，-是有理数，
无理数有-，，0.3131131113……（相邻两个3之间依次多一个1），共有3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
10．（2022·陕西渭南·七年级期末）已知实数，3.14，，，其中为无理数的是______．
【答案】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定．
【详解】解：是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
5，5是整数，属于有理数；
是无理数．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
考点2：实数的性质
典例：（1）（2022·四川绵阳·中考真题）的绝对值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选：B．
（2）（2022·河北保定·七年级期末）实数的相反数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的概念求解即可．
【详解】解：由题意可知：实数的相反数是：，
故选：C．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的绝对值和相反数的性质，掌握掌握相关性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南洛阳·七年级期中）计算（       ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：5．
故选C．
【点睛】本题考查了实数的性质，绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．
2．（2021·福建福州·七年级期中）若实数a＞2，则a﹣的绝对值是（　　）
A．+a B．a﹣ C．﹣﹣a D．﹣a
【答案】B
【分析】先估算的值，然后判断a﹣的符号，化简绝对值即可．
【详解】解：∵，a＞2，
∴a﹣＞0，
∴|a﹣|＝a﹣，
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值的化简，关键在于判断绝对值里的数的符号．
3．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）下列说法正确的是（       ）
①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示数3和﹣3的点到原点的距离相等；
③当a≤0时，|a|＝﹣a成立；
④a＋5一定比a大；
⑤（﹣2）3和﹣23相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据实数的分类，绝对值的意义，乘方的意义依次进行判断即可．
【详解】①最大的负整数是-1，故①正确．
②数轴上表示数3和-3的点到原点的距离都是3，故②正确．
③负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，故a≤0时，，故③正确．
④a为任意实数时a+5都比a大，故④正确．
⑤(-2)³=-8，-2³=-8，所以(-2)³=-2³.故⑤正确．
故选D
【点睛】本题考查了实数的分类，绝对值的意义，乘方的意义等．解题的关键是熟练掌握这些概念和性质．
4．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值和相反数的定义进行判断即可．
【详解】A.0的相反数是0，0的绝对值是0，故A不符合题意；
B.的相反数是，的绝对值是，故B不符合题意；
C.的相反数是-，的绝对值是，故C符合题意；
D.，-2的相反数是2，-2的绝对值是2，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
5．（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵一个数的相反数是，即-2022，
∴这个数是：2022．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
6．（2022·四川广元·中考真题）若实数a的相反数是-3，则a等于（　　）
A．-3 B．0 C． D．3
【答案】D
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
【详解】解：∵3的相反数是-3，
∴a=3．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
7．（2022·河南安阳·一模）在，，，6这四个数中，绝对值小于2的数是（       ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】先求出负数的绝对值，然后根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴绝对值最小的是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值和实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
8．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若有理数a、b满足a2+b＝9+4（a＞0）．则a﹣b的值为 _____．
【答案】﹣1
【分析】根据等式两边一一对应相等可得前面系数应为4，对应9，进而求出a
【详解】由a，b为有理数，满足a2＋b＝9+4（a＞0），
可得a2＝9，b＝4，
∵a＞0，
∴a＝3，
∴a﹣b＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查同类项的特性，根据特性求出未知数是关键．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校七年级期末）的相反数是_________．
【答案】
【分析】根据相反数的定义，即可得出答案．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的相反数，掌握相反数的定义是本题的关键．
10．（2022·北京师大附中七年级期中）______．
【答案】
【分析】先根据已知条件判断绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较实数的大小，绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·四川自贡·七年级期末）实数﹣的相反数是 _____．
【答案】
【分析】根据相反数的定义进行求解即可；
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
12．（2022·湖北恩施·七年级期末）的绝对值的相反数是_________．
【答案】##
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】解：的绝对值是，
的相反数．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的绝对值和相反数，熟练掌握定义即可求解．
考点3：实数与数轴
典例：（2022·河南许昌·七年级期中）阅读下列材料，完成相应的任务．
下框中是小云同学的作业．
请把实数0，，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用<号连接）
解：
老师看了后，找来小云．
问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小云点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．

【答案】，详见解析
【分析】根据与均是无理数，可确定原点的位置，然后实数在数轴上表示出来，即可求解．
【详解】解：∵与均是无理数，且，
∴数轴上两个点中，左边的点对应的数为，右边的点对应的数为，
∴可以确定原点的位置，
根据题意，把实数0，，，，2表示在数轴上，如图所示：


大小关系为．
方法或规律点拨
本题考查实数的大小比较，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，解题关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．
巩固练习
1．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点A，则点A表示的数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度=，
∴ ，
故点A表示的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
2．（2022·河南许昌·八年级期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意得，BD=OB=1，
在Rt△ABD中，AD=，
∴OE=AE-1=，
∴点E对应的实数是
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
2．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，被阴影覆盖的数可能是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行计算即可．
【详解】解：∵−＜−1
∴A不符合要求
∵22＜＜32
∴2＜＜3，故B符合要求
∵＞32，＞32
∴C和D不符合要求
∴被阴影覆盖的可能是．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．
4．（2022·广西河池·七年级期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据各点的位置，所表示的数与最接近的点是（       ）

A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【分析】先确定的范围，再求出5-的范围，根据数轴上点的位置得出即可．
【详解】解：∵9＜10＜12.25，
∴3＜＜3.5，
∴-3.5＜−＜-3，
∴1.5＜5-＜2，
设点A、B、C、D表示的数为：a、b、c、d，
由数轴可知：-2 ∴数与最接近的点是点D，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出5-的范围．
5．（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，
∴，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
6．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室七年级期末）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，则数轴上A，B两点之间表示整数的点共有（       ）个

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据：﹣32，34，判断出A、B两点之间表示的整数的点共有多少个即可．
【详解】解：∵4＜5＜9，9＜10＜16，
∴，，
∴﹣32，
则在和之间的整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个，
故选：B．
【点睛】此题考查了实数与数轴、无理数的估算等知识，求出﹣32，34是解本题的关键．
7．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为______．

【答案】
【分析】根据正方形的面积求出正方形的变成，即圆的半径为，所以E点表示的数为OE的长度，由OE=OA+AE即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴AB=；
∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，
∴AE=AB=；
∵A点表示的数为-2，
∴OA=1
∴OE=OA+AE=1+，
∵点E在负半轴上，
∴点E所表示的数为1+
故答案为：1+．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径求出OE的长度成为解答本题的关键．
8．（2022·河南许昌·七年级期中）老师在讲“实数”这节时，画了图（如图），即以数轴的单位长的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，作这样的图是用来说明_______．

【答案】实数与数轴上的点是一一对应的
【分析】根据勾股定理可得正方形的对角线长为，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：正方形的对角线长为，
∵以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，
∴，
∵是无理数，
∴无理数也可以在数轴上表示出来，
∴作这样的图是用来说明实数与数轴上的点是一一对应的．
故答案为：实数与数轴上的点是一一对应的
【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴上的点的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴上的点是一一对应的是解题的关键．
9．（2022·广西贺州·七年级期中）（1）在数轴上表示下列各数：－3，，，．
（2）并将原数按从小到大的顺序用“”连接起来．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）在数轴上表示出每个数的位置即可；
（2）根据数轴上的数右边的数总比左边的数大可得答案．
【详解】（1），；
如图所示：
（2）．
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
10．（2022·湖北孝感·七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A，B，C所对应的实数．试化简：

【答案】3b
【分析】利用数轴可得出a-b＞0，c＞0，b-c＜0，a+b＜0，进而取绝对值开平方得出即可．
【详解】由数轴可得：
c＞0，a﹣b＞0，a+b＜0， b﹣c＜0，
∴
＝c﹣a+b+a+b+b﹣c＝3b．
【点睛】此题主要考查了数轴与实数，涉及算术平方根和立方根，得出各项符号并利用绝对值的性质化简是解题关键．
考点4：实数比较大小
典例：（2022·河南许昌·七年级期末）在比较与13的大小关系中，我们可以把它们分别平方，，．依据正数越大，算术平方根越大，得到．请利用上面的方法完成下面的问题：比较大小______（填＞，＜或＝）．
【答案】＞
【分析】根据题意，比较两个数的平方即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴＞．
故答案为：＞．
方法或规律点拨
本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河北·丰宁满族自治县教育和体育局教研室七年级期末）在下列给出的四个实数中，最小的实数是（       ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴最小的实数是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
2．（2022·江西·石城县教育局教研室七年级期末）在实数，，，中，最小的实数是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行比较．
【详解】解：根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小得：

故选：B．
【点睛】本题考查实数大小的比较，掌握比较法则是求解本题的关键．
3．（2022·四川广安·七年级期末）在实数，－3，，中，最小的数是（       ）
A． B．－3 C． D．
【答案】D
【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
在实数，－3，，中，最小的数是： ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小．
4．（2022·陕西渭南·七年级期末）在实数，，，2中，最大的数是（       ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据有实数大小的比较法则：正数大于零大于负数；两个正数，绝对值大则大；立方根开出进行比较，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵是负数，小于正数
∴
∴最大．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的基础知识，熟练掌握实数的性质、绝对值、运算是解题的关键．
5．（2022·河北保定·七年级期末）下列式子的结果为正数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对无理数进行估算，再对每项进行判断即可．
【详解】解：∵25＜30＜36，
∴，
∴，
A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数的估算及实数的大小比较．解决本题的关键是熟练掌握无理数的估算．
6．（2022·河北邯郸·八年级期末）面积为8的正方形边长为，下列叙述错误的是（       ）
A． B．在数轴上可以找到表示数的点
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出a并化简，根据实数与数轴的关系，可以判断A，B，D，再利用实数的大小比较方法判断C．
【详解】解：面积为8的正方形边长为，
则，
∴，为无理数，可以在数轴上找到，
故A、B、C正确，
而，
∴，故D错误，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是无理数，实数的大小比较，熟练掌握实数的相关运算性质是解题的关键．
7．（2022·广东广州·七年级期末）下列判断实数1与的大小关系，正确的是（       ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据实数的大小比较方法做题即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴1＜ ，
故选：C．
【点睛】考查实数之间的大小比较，关键要熟记一些常见的特殊数字的算术平方根．
8．（2022·云南昭通·七年级期中）已知，则，，，的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据实数的大小比较方法逐一比较即可求解．
【详解】解：由，
则可令，
，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数大小比较，熟练掌握含二次根式的分数大小比较方法是解题的关键．
9．（2022·山东潍坊·八年级期中）比较大小：_____．
【答案】
【分析】利用平方法比较大小即可．
【详解】解：∵，
，
．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了算术平方根，实数大小比较，掌握利用平方法比较大小是解题的关键．
10．（2022·广东·海丰县教研室七年级期末）比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】因为，而，即可进行比较．
【详解】∵，，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了实数的比较，巧妙利将整数三次方后再开立方值转化成能与立方根进行比较是解题的关键．
11．（2021·湖北孝感·七年级期中）比较大小：_____（填“＜”，“＝”，“＞”）．
【答案】＜
【分析】比较两数的平方，进而即可求解．
【详解】∵（）2，（）2，
∴，
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解题的关键．
12．（2022·安徽芜湖·八年级期末）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）
【答案】
【分析】根据无理数的估算可得，由此即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
考点5：与实数有关的混合运算
典例：（2022·山东济宁·七年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)-6
【分析】（1）根据绝对值的意义、立方根的定义、乘方运算法则进行计算即可；
（2）根据算术平方根和立方根定义进行计算即可．
（1）解：


（2）解：


方法或规律点拨
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根定义、立方根的定义、乘方运算法则，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·湖北武汉·七年级期中）计算：______．
【答案】－1
【分析】利用算术平方根，以及立方根定义计算即可解答．
【详解】解：原式=3－4=－1；
故答案为：－1．
【点睛】本题考查实数的运算，算术平方根及立方根，熟练掌握各自的运算性质是解题关键．
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）计算：的结果是_________．
【答案】5
【分析】根据负整数指数幂及零指数幂进行计算即可．
【详解】解：原式=22+1
=4+1
=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查实数的运算，负整数指数幂及零指数幂，解题关键是掌握负整数指数幂及零指数幂的意义．
3．（2022·甘肃陇南·七年级期末）计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的代数意义，算术平方根，立方根的定义计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，考核学生的计算能力，注意正数的绝对值等于它本身．
4．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2(2)-1
【分析】（1）根据乘方法则，立方根性质，算术平方根性质进行计算便可；
（2）根据绝对值的性质、平方根的性质进行计算便可．
（1）


；
（2）

．
【点睛】本题是实数的运算，主要考查了平方根、立方根、绝对值的性质，关键是熟记这些性质．
5．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2(2)-1
【分析】（1）根据乘方法则，立方根性质，算术平方根性质进行计算便可；
（2）根据绝对值的性质、平方根的性质进行计算便可．
（1）


；
（2）

．
【点睛】本题是实数的运算，主要考查了平方根、立方根、绝对值的性质，关键是熟记这些性质．
6．（2022·江苏无锡·七年级期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
（1）
解：原式＝1+（-8）+1-3
=1-8+1-3
=-9；
（2）
解：原式＝3x3-6x2+3x-2x3+2x2
=x3-4x2+3x．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（2022·山东德州·七年级期中）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)1(2)2－
【分析】（1）根据立方根，算术平方根的意义分别计算各式，再相加减即可；
(2)先化简算术平方根和绝对值，再去括号，再合并同类项即可；
（1）
=-3+3-（-1）=1
（2）
=
=2－
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握求算术平方根，立方根，以及化简绝对值是解题的关键．
8．（2022·河南许昌·七年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)6(2)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
（1）解：
＝3﹣（﹣5）﹣2
＝3+5﹣2
＝6；
（2）
＝22+2
．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、实数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022·河南许昌·七年级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，它们面积分别为4和2，求阴影部分的周长和面积．

【答案】阴影部分的周长是4，面积是2－2
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是2，，再根据线段的和差关系可得阴影部分的宽，再根据长方形的周长和面积公式计算即可求解．
【详解】解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，
∴两个正方形的边长分别是2，，
∴阴影部分的宽为2，长为，
∴阴影部分的周长为（）×2＝4，
面积为（2）＝22．
【点睛】本题主要考查了算术平发根、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是基础，能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示阴影部分的宽和长是解题的关键．
考点6：与流程图有关的实数运算
典例：（2022·河北衡水·七年级期中）如图为一个数值转换器．

(1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；
(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【答案】(1)；(2)输入的x值为9
(3)他输入的x值为0或1
【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解．
（2）对平方两次即可出答案．
（2）始终输不出y值， x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案．
（1）解：依据题意得：
当x=4时，
，
继续输入x=2，
结果：；
当x=16时，
是有理数，
继续输入x=4，
是有理数，
继续输入x=2，
结果：；
故答案为：；．
（2）∵输出y的值为，
∴第二次输入的数为，
∴第一次输入的数为；
∴输入的值为9．
（3）∵x为非负数，
∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值，
∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值，
∴x取值为1或0．
方法或规律点拨
此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．
巩固练习
1．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（       ）

A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】把m=27按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值．
【详解】解：当m=27时
27的立方根为3，3是有理数，
3的立方根是，是无理数，则输出，
所以输出n=，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键．
2．（2022·山东聊城·八年级期中）有一个数值转换器原理如图，当输入的x的值为256时，输出的y的值为（       ）

A． B． C． D．16
【答案】A
【分析】将x=256代入该程序进行计算即可．
【详解】解：∵，
是无理数，
∴最后结果为，
故选：A．
【点睛】此题考查了运用算术平方根解决程序计算问题的能力，关键是能准确求解算术平方根，并能辨别无理数．
3．（2022·广西贺州·七年级期中）按下图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（       ）

A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．
【详解】解：第一次运算，输入16，取算术平方根为4，返回继续运算；
第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算；
第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果；
故选：A．
【点睛】题目主要考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算是解题关键．
4．（2022·重庆南川·七年级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是（       ）

A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【分析】把各选项中的a，b代入即可求解判断．
【详解】A、当，时，代入程序为，故错误；
B、，时，代入程序为，故错误；
C、，时，代入程序为，故错误；
D、，时，代入程序为，正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据程序进行计算．
5．（2022·重庆南川·七年级期中）如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值后，输出的值为5，则输入的值可能为（　　）

A．1 B．6 C．7 D．19
【答案】D
【分析】利用程序图中的程序对每个选项中的数据进行验证即可得出结论．
【详解】解：A.当输入正整数1时，1的算术平方根是1，所以输出的算术平方根，故此选项不符合题意；
B.当输入正整数6时，，9的算术平方根是3，所以输出的算术平方根，故此选项不符合题意；
C.当输入正整数7时，，16的算术平方根是4，所以输出的算术平方根，故选项不符合题意；
D.当输入正整数19时，，25的算术平方根是5，所以输出的算术平方根，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，算术平方根的意义．本题是操作型题目，准确理解程序图中的程序并熟练操作是解题的关键．
6．（2021·山西长治·八年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（       ）

A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据已知进行计算，并判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：∵25的算术平方根是5，5不是无理数，
∴再取5的平方根，而5的平方根为，是无理数，
∴输出值y＝，
故选：B．
【点睛】本题考查实数分类及计算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
7．（2022·河南洛阳·七年级期中）有一个数值转换器，流程如图．当输入x的值为27时，输出y的值是__________．

【答案】
【分析】根据流程图进行求立方根与算术平方根，即可求解．
【详解】解：由题意得
不是无理数，
的算术平方根是，是无理数，
输出．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根以及立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
8．（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：

（1）当输入时，输出的结果为______
（2）若输入的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的的值是______
【答案】     26     或4##4或
【分析】（1）把代入进行计算，得到结果大于15，可以输出，从而可得答案；
（2）分三种情况讨论：第一次输出的数为17，第二次输出的数为17，第三次输出的数为17，再利用平方根的含义解方程可得答案．
【详解】解：（1）当时，
∴
∴输出的数是26．
（2）当第一次输出的结果为17时，
∴
解得：或
又∵
∴
当第二次输出的结果为17时，则

∴ （舍去）
解得：（舍去）
当第三次输出的数为17时，则
此时不合题意，舍去，
综上：x的值为：或4
故答案为：（1）26；（2）或4
【点睛】本题考查的是程序框图与实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，理解题意得到关于x的方程是解本题的关键．
9．（2022·福建莆田·七年级期末）如图为一个数值转换器．

(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________；
(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值．
(3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______．
【答案】(1)(2)36(3)0或1
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
(1)当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为；
当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为；
故答案为：，
(2)当时，，，
则
(3)当x=0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴他输入的x值是0或1．
故答案为：0或1．
【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键．
10．（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示的是一个数值转换器．

(1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________．
(2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【答案】(1)；25(2)他输入的x值是0或者1
【分析】(1)把x=9代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，把x=25代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，从而可以得到输入的x的值．
(2)根据题意可知，他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，找出符合条件的数即可求解．
(1)①当输入的x的值为9时，

所以输出的y值为,
故答案为：
②当输入的x的值为25时，

所以经过两次取算术平方根运算，输出的y值为；
所以输入的x值为25；
故答案为：25
(2)存在输入非负整数x后，始终输不出y的值，当x=0或者1时，始终输不出y的值；
所以他输入的x值是0或者1
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
11．（2020·浙江·七年级期末）有一个数值转换器．原理如图．

（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】（1）；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为的两个数即可．
【详解】解：（1）当x=81时，
=9，=3，是无理数，
故y=；
（2）当x=0或1时，始终输不出y值．
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故输入的值不唯一，例如5和25．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．
12．（2022·北京市师达中学七年级期中）一个数值转换器，如图所示：

(1)当输入的x为81时．输出的y值是_________；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
【答案】(1)；(2)，1；(3)，（答案不唯一）
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
(1)解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根，不是无理数，
继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为；
(2)解：当，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
(3)解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是，
∴，都满足要求．
【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．
考点7：新定义下的实数运算
典例：（2022·云南师范大学实验中学七年级期中）阅读材料：对实数、，定义的含义为，当时；当时，例如：，；
根据以上材料，回答下列问题：
(1)若，则m=________；
(2)已知，且，求的值．
【答案】(1)(2)8
【分析】（1）先判断再根据新定义可得：再解方程可得答案；
（2）由，且，可得 再根据新定义进行计算即可．
(1)解： ，而
即
解得：
故答案为：
(2)解： ，且，



方法或规律点拨
本题考查的是新定义运算，利用平方根的含义解方程，理解新定义的运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·福建福州·八年级期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有．例如，求的值
【答案】
【分析】根据实数的新定义的运算公式，即可得出结果．
【详解】解：依题意可知：
原式



【点睛】本题考查了实数的新定义运算问题，解本题的关键在理解新定义运算．
2．（2022·江苏无锡·七年级期中）对于a、b两数定义@的一种运算：a@b=(a▪b)a+b（其中等式右边的▪和+是通常意义下的乘法与加法），则下列结论：
①若a=1，b=－2，则a@b=－；     ②若（－1）@x=1，则x=1；③a@b=b@a；④当a、b互为相反数时，a@b的值总是等于1．其中正确的是（       ）
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
【答案】B
【分析】将，时，代入运算即可求值，进而可判断①的正误；根据当时，，可判断②的正误；分别运算，然后比较，可判断③的正误；当a、b互为相反数且都为0时，运算可得，无意义进而可判断④的正误
【详解】解：由题意知，，时，．
故①正确；
∵
当时，
故②不正确；
∵，，
∴
故③正确；
当a、b互为相反数且都为0时，，
∵无意义，任何不为零的数的0次方等于1，
故④错误；
故选B．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算．解题的关键在于熟练掌握新定义的运算法则．
3．（2022·全国·七年级）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，则下列结论：
①[﹣x]＝﹣[x]；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当﹣1＜x＜1时，[1＋x]＋[1﹣x]的值为1或2，
其中正确的结论有（       ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】首先分析题意取x=0.5，再分别求出[﹣x]，﹣[x]得出答案判断①；再根据题意，得[x]≤x＜[x]+1，再令[x]＝n可判断②；先根据②判断[1+x]+[1﹣x]≤2，再分﹣1＜x＜0， 0＜x＜1， x＝0，三种情况讨论得出答案即可判断③.
【详解】解：取x＝0.5，则[﹣x]＝[﹣0.5]＝﹣1，﹣[x]＝﹣[0.5]＝0，
∴[﹣x]≠﹣[x]，
∴①错误；
由题意，得[x]≤x＜[x]+1，当[x]＝n时，有n≤x＜n+1，
∴②正确；
由[x]≤x可得[1+x]+[1﹣x]≤1+x+1﹣x＝2，
若﹣1＜x＜0，则[1+x]＝0，[1﹣x]＝1，
有[1+x]+[1﹣x]＝1；
若0＜x＜1，则[1+x]＝1，[1﹣x]＝0，
有[1+x]+[1﹣x]＝1；
若x＝0，则[1+x]＝[1﹣x]＝1，
有[1+x]+[1﹣x]＝2.
∴③正确，
∴正确的有②③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查新定义的实数运算，关键是理解新定义的含义.注意：分情况讨论．
4．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（   ）
A． B．3 C．6 D．3
【答案】A
【分析】根据新定义先计算▲2，进而计算▼=，即可求解．
【详解】依题意，a▲b=，a▼b=

▲2，
，
▼=
（▲2）▼=▼3=
故选A
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．
5．（2022·福建·厦门市莲花中学七年级期末）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，.现对82进行如下操作；，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对260只需进行（       ）次操作后变为1．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】[x]表 示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
【详解】．
∴对260只需进行4次操作后变为1．
故选：B．
【点睛】此题是一道关于无理数的题目，需要结合定义的新运算和无理数的估算进行求解．
6．（2022·江西·峡江县教学研究室七年级期末）现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[3﹡（－1）]＋[3◎（－1）]=__________．
【答案】4
【分析】根据题中的新定义计算即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
原式=32+（-1）2+2×3×（-1）
=9+1-6
=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）先阅读，再解答：对于三个数、、中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，；若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性知道，得到，根据，可得到，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查新定义确定最大的数和最小的数，涉及到有理数大小比较，绝对值的意义，解一元一次方程．能正确比较大小，理解“最大的数”和“最小的数”的规定是解题的关键．
8．（2022·河北沧州·七年级期末）对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算．如．
(1)求的值；
(2)计算；
(3)若，求x的值．
【答案】(1)6(2)(3)
【分析】（1）根据，将代入进行计算即可；
（2）根据，将代入进行计算即可；
（3）根据，将代入，然后再根据计算即可．
（1）解：，，=6；
（2）解：，，；
（3）解：，，，，x=-4．
【点睛】本题考查了新定义下有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
9．（2022·江苏扬州·七年级期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．
(1)试求（﹣2）※3的值；
(2)若4※x＝﹣x﹣2，求x的值．
【答案】(1)-8(2)
【分析】（1）根据定义，可得（﹣2）※3=，再计算求解即可；
（2）根据定义，列出方程，再求解即可．
(1)解：根据题意可得：（﹣2）※3=；
(2)解：根据题意可得：，
整理得：，
解得：
【点睛】本题考查新定义、有理数的混合运算和一元一次方程的解 ，理解定义，根据定义列出一元一次方程，并能准确求解一元一次方程是解题的关键．
10．（2022·江苏泰州·七年级期中）在有理数范围内定义一种新运算，规定（a为常数），若．
(1)求；
(2)设，试比较M，N的大小；
(3)无论m取何值，都成立，求此时t的值．
【答案】(1)2(2)(3)
【分析】（1）先求出a的值，再代入公式求解即可；
（2）利用公式分别求出、，再利用求差法比大小；
（3）利用公式把式子进行化简，合并同类项，含m的项系数为零，求出n的值，再代入化简好的式子中求解即可．
（1）解：根据题意可知：
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
（2）解：，，
∴
∵，
∴．
（3）解：根据题意知：，
∴，
∴，
∵无论m取何值，都成立，
∴，解得，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了新定义运算、整式混合运算、整式的化简求值、平方差公式和完全平方公式等知识，正确运用新定义运算公式化简是解决本题的关键．
能力提升

一、单选题（每题3分）
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）有下列命题，其中是真命题的是（    ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．数轴上的点和有理数一一对应
C．无限循环小数都是无理数 D．两个无理数和还是无理数
【答案】A
【分析】利用无理数与有理数的定义判断即可．
【详解】解：A、无理数都是无限不循环小数，是真命题，符合题意；
B、数轴上的点和实数一一对应，是假命题，不符合题意；
C、无限不循环小数都是无理数，是假命题，不符合题意；
D、两个无理数和不一定是无理数，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了命题与定理，实数的运算，有理数与无理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）的绝对值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
【详解】解：的绝对值是．
故选：A
【点睛】本题考查了实数的绝对值，“正数的绝对值等于本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数”，熟知求一个实数的绝对值的法则是解题关键．
3．（2022春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
4．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（    ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【分析】先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．
【详解】解：正方形的面积是13，
它的边长是，
，
，
即，
即它的边长的大小在3与4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，解题的关键是估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可计算，，，推导出一般性规律，然后进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，，
可推导出一般性规律为：，，，循环出现
∵
∴
故选C．
【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题．解题的关键在于根据计算推导一般性规律．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义逐步求解即可
【详解】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查新定义的运用，仔细阅读题干，理解材料的含义是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·上海·七年级专题练习）在π（圆周率）、、、、五个数中，无理数是________．
【答案】π、
【分析】根据无理数定义判定，列限不循环的小数叫无理数，无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根（2）特定结构的无限不循环小数（3）含有π的绝大部分数，如2π．
【详解】解：在π（圆周率）是无理数，是有理数，是分数，是有理数，是无理数，无限循环小数是有理数．
故答案为：π、．
【点睛】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键．
8．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）比较大小：___________（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】利用作差法进行比较即可得出结论．
【详解】∵，
又∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数比较大小，掌握作差法比较实数大小的方法是解答此题的关键．
9．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为_________．

【答案】
【分析】根据程序将代入进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，理解题意是解题的关键．
10．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）已知，，在数轴上的位置如图所示，计算：______．

【答案】
【分析】先根据数轴上点的位置得到，据此化简绝对值即可．
【详解】解；由题意得，
∴，
∴

，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质和实数的混合计算，正确根据数轴得到是解题的关键．
11．（2022春·广东梅州·七年级统考期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．

【答案】18
【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解．
【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积为，
∵
∴，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积．
12．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）已知，为两个连续整数，且，则___________．
【答案】7
【分析】先估算出的取值范围，得出，的值，进而计算即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】根据有理数的乘方，求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】解：



【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握有理数的乘方，求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值是解题的关键．
14．（2022秋·上海·七年级专题练习）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
15．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）观察图形，每个小正方形的边长为1．

(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ．
(2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ．
(3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．     

【答案】(1)10，
(2)，
(3)图见解析，

【分析】（1）先利用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可计算得出阴影部分的面积，再计算其算术平方根即可得出阴影部分的边长；
（2）利用无理数的估算得出，即可求得a、b的值；
（3）由题意知，阴影部分的边长是边长为3和1的直角三角形的斜边长，作边长为3和1的直角三角形，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴的正半轴于点A，由于斜边长为，则A点表示的数为，然后把加上或减去1得到B点表示的数．
【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为，
所以图中阴影部分的边长为；
故答案为：10；；
（2）解：∵，
∴，
∵，且a和b是相邻的两个整数，
∴；
故答案为：3，4；
（3）解：如图，点A为所作，

B点表示的数为或．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，实数与数轴．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．