初中数学7.1.2平面直角坐标系精品当堂检测题

这是一份初中数学7.1.2平面直角坐标系精品当堂检测题，文件包含同步讲义人教版数学七年级下册专题71平面直角坐标系学生版docx、同步讲义人教版数学七年级下册专题71平面直角坐标系教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共142页， 欢迎下载使用。

专题7.1 平面直角坐标系

目标导航

1.在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
2平面直角坐标系及有关概念
(1)平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
(2)为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
(3)点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
(4)不同位置的点的坐标的特征
各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
考点精讲

考点1：用有序数对表示位置
典例：（2022·湖北武汉·七年级期中）将一组数，，3，，，…．．按下面的方式进行排列：
，，3，，；
，，，，；
．．．．．
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为_____．
【答案】（6，2）
【分析】每相邻的二次根式的被开方数是3的倍数，故求90÷3=30，一行5个数得30÷5=6，位于第六行第五个数，进而得位于第六行第二个数．
【详解】解：一行5个数，可得90÷3=30，
30÷5=6，
∴位于第六行第五个数，记作（6，5），
∵这组数中最大的有理数是=9，
∴位于第六行第二个数，记作（6，2）．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变化找出规律是解题关键．
巩固练习
1．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）某电影院里排号可以用数对表示，小明买了排号的电影票，用数对可表示为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据排号可以用数对表示，可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而得出答案．
【详解】解：∵排号可以用数对表示，
∴第一个数表示排，第二个数表示号，
∴排号可以用数对表示，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，关键是掌握每个数表示的意义．
2．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期中）下列不能准确表示地理位置的是（    ）
A．3排4号 B．东经125度，北纬43度
C．塔山东街666号 D．距巴川中学公交站100m
【答案】D
【分析】离一个地点100m是一个范围的描述．
【详解】距巴川中学公交站100m表示的是以巴川中学公交站为圆心，半径100m的一个圆形的范围，不能准确的表示地理位置．
故选D．
【点睛】本题考查的是有序数对的实际应用，熟知知识点是解题关键．
3．（2022·河南商丘·七年级期中）如图是小唯关于诗歌《望洞庭》的书法展示，若“湖”的位置用有序数对表示，那么“螺”的位置可以表示为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“湖”的位置用有序数对表示可得有序数对的第一个数是从横向看“湖”对应的数字，第二个数是从纵向看“湖”对应的数字，由此即可得．
【详解】解：因为“湖”的位置用有序数对表示，
所以“螺”的位置可以表示为，
故选：B．
【点睛】本题考查了有序数对，理解“湖”的位置用有序数对表示的方法是解题关键．
4．（2022·贵州六盘水·模拟预测）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（    ）

A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
【答案】B
【分析】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”，即可求解．
【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，
则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”， 表示的动物是“猫”．
故选B．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
5．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）定义：直线与相交于点，对于平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据定义，“距离坐标”是（1，2）的点，说明M到直线l1和l2的距离分别是1和2，这样的点在平面被直线l1和l2的四个区域，各有一个点，即可求出答案．
【详解】解：因为平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，
若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，
则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，
根据上述定义，
“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，
所以满足条件的点的个数是4个．
故选：D．
【点睛】此题考查了坐标确定位置；解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域，本题是一个好题目，有创新性，但是难度较小，理解题意不难解答，考查学生的逻辑思维能力．
6．（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）若教室座位表中的第5列第3排记为（5，3），则第4列第6排记为___．
【答案】（4，6）
【分析】由第5列第3排记为（5，3）可知横坐标表示列，纵坐标表示排，从而得到结论．
【详解】解：∵第5列第3排记为（5，3）
∴第4列第6排记为（4，6）
故答案为（4，6）．
【点睛】本题考察了有序数对，理解有序数对的两个数的实际意义是解题关键．
7．（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学七年级期中）如下图，若表示字母，有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，，，，，请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为_________．

【答案】##你好
【分析】根据有序数对的定义，分别找出各个有序数对表示的字母，然后写出单词即可．
【详解】由题意知表示H，表示E，表示L，表示O，所以这个英文单词为HELLO或你好，
故答案为：HELLO或你好．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解有序数对与表格的对应关系是解题的关键．
8．（2021·云南·个旧市第十五中学七年级期中）如果用有序数对表示第一单元4号的住户，那么第二单元6号的住户用有序数对表示为________．
【答案】（2，6）
【分析】由题意知第1个数字表示单元，第2个数字表示号数，据此可得．
【详解】解：若用有序数对表示第一单元4号的住户，那么第二单元6号的住户用有序数对表示为（2，6），
故答案为：（2，6）．
【点睛】本题考查了点的坐标，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键，要注意两个数之间用逗号连接，而不是顿号．
9．（2022·湖北孝感·七年级期末）把从1开始的自然数按以下规律排列：
第1行              1
第2行           2  3  4
第3行      5   6   7   8   9
第4行  10  11  12  13  14  15  16
若有序实数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序实数对是_____．
【答案】（10，18）
【分析】根据第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n-1）个数即可得出答案．
【详解】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n-1）个数，
∴99=102-1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10-1=19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n-1）个数是解题的关键．
10．（2022·河北秦皇岛·八年级期中）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来_________________．

【答案】BOOK
【分析】根据每一个点的坐标确定其对应的位置，最后写出答案即可．
【详解】解：（2，1）对应的字母是B，
（1，3）对应的字母是O，
（1，3）对应的字母是O，
（4，2）对应的字母是K．
故答案为：BOOK．
【点睛】本题考查了坐标位置的确定，熟记有序数对的规定，找出各点的对应字母是解题的关键．
11．
12．（2022·山东·滨州市沾化区古城镇中学七年级期中）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．

(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
（1）
解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），
点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为，，．
（2）
解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为，
如图：
．
【点睛】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
考点2：用有序数对表示路线
典例：一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫（A,B,C,D都在格点上）．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．若从A到B记为：A→B(＋1，＋4)，则从B到A记为：A→B(－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中                       
（1）图中A→C（ ， ），B→C（ ， ）, C→ （＋1， ）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→D→B→C，请计算该甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（＋2，＋1），（＋3，＋4），（－3，-2），（+1，－2），请在图中标出P的位置；若甲虫每走1m需消耗1．5焦耳的能量,则甲虫从A走到P的过程中共需消耗多少焦耳的能量?

（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，2b-4），M→N（5-a，2b-1 ），则N→A应记为什么？
【答案】见解析
【详解】试题分析：（1）根据题目中规定可知：第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，结合图形将A、B、C按照上述规定解答即可；（2）根据网格图形列式计算即可得解；（3）根据点的坐标的规定在图形中找出所到达的位置即可；根据路线求出所走过的路程，然后乘以1．5计算即可得解．（4）根据M→A（3-a，2b-4），M→N（5-a，2b-1）可知5-a-（3-a）=2，2b-1-（2b-4）=3，从而得到点A向右走2个格点，向上走3个格点到点N，从而得到N→A应记为什么．
试题解析：（1）A→C（3 ，4），B→C（2 ， 0 ）,C→ D （＋1，-2 ）；
(2)+4+2+3+2+2+0="13"
答：该甲虫走过的路程13m
(3)

（2+1+3+4+3+2+1+2）×1．5=27（焦耳）
答：甲虫从A走到P的过程中共需消耗27焦耳的能量
（4）根据M→A（3-a，2b-4），M→N（5-a，2b-1）可知5-a-（3-a）=2，2b-1-（2b-4）=3，从而得到点A向右走2个格点，向上走3个格点到点N，从而得到N→A应记为N→A（  -2 ， -3 ）
考点：坐标确定位置．
巩固练习
1．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是(　　)

A．(0,4)→(0,0)→(4,0)
B．(0,4)→(4,4)→(4,0)
C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)
D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)
【答案】C
【分析】根据点的坐标的定义结合图形对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、（0，4）→（0，0）→（4，0）都能到达，故本选项错误；
B、（0，4）→（4，4）→（4，0）都能到达，故本选项错误；
C、（3，4）→（4，2）不都能到达，故本选项正确；
D、（0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）都能到达，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点的坐标的定义并准确识图是解题的关键．
2．如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是(     )

A．(2，2)→(2，1)→(2，0)→(0，0)
B．(2，2)→(2，1)→(1，1)→(0，1)
C．(2，2)→(2，3)→(0，3)→(0，1)
D．(2，2)→(2，0)→(0，0)→(0，1)
【答案】B
【详解】由图可知小亮从学校到家所走最短路线是（2，2）→（2，1）→（1，1）→（0，1），故选B．
【点睛】考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得到结论．
3．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    )

A．(2，2)→(2，5)→(5，6) B．(2，2)→(2，5)→(6，5)
C．(2，2)→(6，2)→(6，5) D．(2，2)→(2，3)→(6，3)→(6，5)
【答案】A
【详解】A选项：由图象可知(2,2)→(2,5)→(5,6)不能到达点A，正确．
B选项：由图象可知(2,2)→(2,5)→(6,5)能到达点A，与题意不符．
C选项：由图象可知(2,2)→(6,2)→(6,5)到达点A，与题意不符．
D选项：由图象可知(2,2)→(2,3)→(6,3)→(6,5)到达点A正确，与题意不符．
故选A．
【点睛】本题考查坐标确定位置、解题的关键是理解点与有序数对是一一对应关系，属于中考常考题型．
4．如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线：____________________________________________________________．

【答案】答案不唯一：如(2，2)→(3，2)→(4，2)→(5，2)→(5，3)→(5，4)
【详解】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）．
故答案为（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）．
点睛：本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用(3，1)(3，2)(3，3)(2，3)(1，3)表示由A到B的一条路径，用同样的方式写出一条由A到B的路径：____________________.

【答案】(3，1)→(2，1)→(2，2)→(2，3)→(1，3)
【详解】根据题意明确：横坐标表示经路，纵坐标表示纬路．然后结合图形画出路线，写出对应的坐标即可：一条由A到B的路径(3，1)→(2，1)→(2，2)→(2，3)→(1，3).
故答案是：(3，1)→(2，1)→(2，2)→(2，3)→(1，3).
6．（2019·全国·七年级单元测试）如图，甲处表示两条路的交叉口，乙处也是两条路的交叉口，如果用（1，3）表示甲处的位置，那么“（1，3）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）→（4，1）→（4，0）”表示甲处到乙处的一种路线，若图中一个单位长度表示5Km，请你用上述表示法写出甲处到乙处的另两种走法，最短距离是多少千米？

【答案】答案不唯一，最短距离为30km
【分析】由题意知，要想路线最短，就只应向右及向下走，而不能向左或向上走
【详解】解：第一种：（1，3）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（3，0）→（4，0）；
第二种：（1，3）→（2，3）→（2，2）→（2，1）→（2，0）→（3，0）→（4，0）．
答案不唯一，最短距离为5×6=30（km）．
【点睛】本题考查了数学在生活中的应用，关键是要明白路线最短时，应始终向着目的地靠近，而不能向远离方向移动．
7．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用(3，5)→(4，5)→(5，5)→(5，4)→(5，3)表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？请至少给出3种不同的路径．

【答案】答案见解析.
【分析】结合已知可知，用数对表示的是每条街与每条大道的交点，第一个数是街的号，第二个数是大道的号；接下来再画三条从A去B的路线，写出数对即可
【详解】解：由A到B的其他几条路径：
（1）（3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；
（2）（3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；
（3）（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；
（4）（3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）．
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
（1）（________，________），（________，________），（________，________）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置．

【答案】（1）+3，+4；+2，0；+1，-2；（2）见解析
【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4），B→C记为（+2，0），C→D记为（+1，-2）；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可．
【详解】（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴A→C记为（+3，+4）；
B→C记为（+2，0）；
C→D记为（+1，-2）；
故答案为：+3，+4；+2，0；+1，-2；
（2）P点位置如图所示．
．
【点睛】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键．
9．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C( ， )，B→C( ， )，C→ (+1， )；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；

（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3-a，b-4），M→N（5-a，b-2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）＋3；＋4；＋2；0；D；；（2）见解析；；应记为
【分析】（1）根据规定及实例可得答案；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；
（3）根据（1）列加法计算即可；
（4）根据M→A，M→N可知5-a-（3-a）=2，b-2-（b-4）=2，从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，从而得到N→A应记为什么．
【详解】（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为（+3，+4），（+2，0），D；
（2）P点位置如图1所示；

（3）如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（＋1，＋4），B→C表示为：（+2，0），C→D表示为：（＋1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10；         
  
（4）由M→A（3﹣a， b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）．
【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
10．如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中

（1）B→D（ ， ），,C→ （-3，-4）；
（2）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出妮妮的位置E点．
（3）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1．5焦耳的能量,则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量?
【答案】（1）+3，+4，+2，+1，（2）作图见解析；（3）19．5焦耳
【详解】试题分析：（1）首先认真分析题意，理解题目所给的规则，再根据规则得出答案；
（2）根据规则依次移动贝贝，故可得妮妮的位置；
（3）计算贝贝走过的路程，再根据贝贝若每走1m需消耗1．5焦耳的能量，即可得出答案．
试题解析：（1）A→C（+3，+4），B→C（+2，+1），C→D（1，-3）；
（2）如图，

A→E（+2，+3）；
（3）|+2|+|+2|+|+2|+|-1|+|-1|+|+3|+|-1|+|-1|
=2+2+2+1+1+3+1+1
=13
13×1．5=19．5（焦耳），
答：则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗19．5焦耳的能量．
考点：有理数的加减混合运算．
11．如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（＋1，＋4），从B到A的爬行路线为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中

（1） A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→ （＋1， ）；
（2） 若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，请计算甲虫A爬行的路程；
（3） 若甲虫A的爬行路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），最终到达甲虫P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置．
【答案】（1）A→C（+3 ，+4 ），B→D（+3 ，-2 ），C→ D （＋1，-2 ）；（2） 10；（3）见解析．
【详解】（1）由第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向结合图形写出即可；
（2）由行走路线列出算式计算即可得解；
（3）由方格和标记方法作出线路图即可得解．
试题解析：解：（1）A→C（+3，+4）；B→D（+3，﹣2）；C→D（+1，﹣2）；
（2）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；则该甲虫走过的路线长为1+4+2+0+1+2=10．
答：甲虫A爬行的路程为10；
（3）甲虫A爬行示意图与点P的位置如图所示：

考点：1．有理数的加减混合运算；2．正数和负数；3．坐标确定位置．
考点3：直角坐标系中点的表示与判定
典例：（2022·广东·八年级单元测试）（1）在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：
A(0，3)；B(5，0)；C(3，−5)；D(−3，−5)；E(3，5)；
（2）A点到原点的距离是 ．
（3）连接CE，则直线CE与y轴是什么位置关系？
（4）点D分别到x、y轴的距离是多少？

【答案】（1）见解析；（2）3；（3）平行；（4）点D到x轴的距离是5，点D到y轴的距离是3．
【分析】（1）首先根据点的坐标确定点的位置；
（2）根据A点坐标可得A点到原点的距离是3；
（3）根据坐标系可得CE与y轴平行；
（4）根据D点坐标可得到x轴的距离是5，点D到y轴的距离是3．
【详解】解：（1）如图：
；
（2）A点到原点的距离是3，
故答案为：3；
（3）∵CE的横坐标都是3，
∴直线CE与y轴平行；
（4）点D到x轴的距离是5，点D到y轴的距离是3．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及点的平移，关键是正确利用坐标系确定点的位置．结合坐标系可直观的解决问题．
方法或规律点拨
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
巩固练习
1．（2022·云南·弥勒市长君实验中学七年级阶段练习）若点P（m﹣4，1﹣2m）不可能在（    ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据点的坐标特征求解即可．
【详解】解：当时，，，点P位于第四象限；
当时，，，点P位于第三象限；
当时，，，点P位于第二象限；
当时，，，点P位于y轴负半轴；
当时，，，点P位于x轴负半轴；
∴点P不可能在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）已知，则点在（   ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b，再根据各象限内点的坐标特征进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴a-2020=0，b+2021=0，
解得：a=2020，b=-2021，
∴，，
∴点P的坐标为(-2020，2021)，在第二象限，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的坐标, 非负数的性质，根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值，是解题的关键．
3．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）若点在轴上，则点在（   ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得n=0，从而求出点B的坐标，即可解答．
【详解】解：∵点在轴上，
∴n=0，
∴n+1=1，n-1=-1，
∴点B（-1，1）在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
4．（2022·广东·惠东县多祝中学七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点P的横坐标是5，且点P到x轴的距离为3，则P的坐标是（   ）
A．（5，－3）或（－5，－3） B．（－3，5）或（－3，－5）
C．（5，3）或（5，-3） D．（5，3）
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值可得：P的纵坐标绝对值是3，进而得到纵坐标，再判断点P的坐标．
【详解】解：∵点P的横坐标是5，
∴设点P的坐标是（−3，a），
∵点P到x轴的距离为3，
∴|a|＝3，
∴a＝±3，
∴点P的坐标是（5，3）或（5，-3）
故选：C．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的几何意义，注意：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
5．（2022·广东·八年级单元测试）如果点在坐标轴上，则点的坐标是________．
【答案】或
【分析】根据点P在坐标轴上，即点在x轴和y轴两种情况，分别求出a的值，即可得出答案．
【详解】解：点在坐标轴上，
当点在轴上时，，
解得：，
故，此时点坐标为：；
当点在轴上时，，
解得：，
故，此时点坐标为：；
综上所述：点坐标为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点，掌握点在不同坐标轴上的坐标特征是解题的关键．
6．（2022·广东·八年级单元测试）点P在x轴的下方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________．
【答案】（3，-2）或（-3，-2）##（-3，-2）或（3，-2）
【分析】根据第三、四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【详解】解：因为点P在x轴下方，到x轴的距离是2，
所以点P的纵坐标是-2；
因为点P到y轴的距离是3，
所以点P的横坐标是3或-3，
所以点P的坐标为（3，-2）或（-3，-2）．
故答案为：（3，-2）或（-3，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
7．（2021·江苏·西安交大苏州附中八年级阶段练习）已知点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是 _____．
【答案】（﹣4，﹣3）
【分析】根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴纵坐标的绝对值为3，横坐标的绝对值为4，
∵点P在第三象限，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．
【点睛】本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到x轴的距离得到点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离得到横坐标的绝对值．
8．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是，到轴的距离是，且在第四象限，则点的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，得
=1，=3，
由点位于第四象限，得
y=-1，x=3，
点M的坐标为（3，-1），
故答案为：（3，-1）．
【点睛】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
9．（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）已知点到两坐标轴的距离相等，则的值为__________．
【答案】或
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴点的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题的关键．
10．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级开学考试）已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．
(1)若点P在第四象限，求m的取值范围；
(2)若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．
【答案】(1)＜m＜3；
(2)点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．

【分析】（1）直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案；
（2）利用点P到y轴的距离为3，得出m的值．
（1）
解：由题知，
解得：；
（2）
解：由题知|2m+1|＝3，
解得m＝1或m＝﹣2．
当m＝1时，得P（3，﹣2）；
当m＝﹣2时，得P（﹣3，﹣5）．
综上，点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键．
11．（2022·新疆·库车县乌尊镇中学七年级阶段练习）若点M在第二象限，且点M到x轴与y轴的距离相等，试求的值．
【答案】0
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，然后利用“点M到x轴与y轴的距离相等”建立一个关于a的方程，求解得到a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵点M在第二象限，且点M到x轴与y轴的距离相等，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查象限内点的特点和点到坐标轴的距离的求法以及代数式求值，掌握每个象限内点的特点和点到坐标轴的距离的求法是解题的关键．
12．（2022·福建·福州现代中学七年级期中）在一次寻宝游戏中，寻宝人已经找到了A（3，2）和B点的坐标分别为（﹣3，2），则宝藏的坐标P（5，5）在哪里？请利用刻度尺在图中标出．（作图过程要保留痕迹，允许存在合理误差）

【答案】见解析
【分析】先利用点A和点B的坐标画出直角坐标系，然后描出坐标为（5，5）的点即可．
【详解】解：如图，宝藏的坐标5，5）在点P处．

【点睛】此题考查了坐标确定位置，平面内的点与有序数对一一对应，记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．
13．（2022·山东菏泽·七年级期末）已知：

(1)在如图坐标纸中描出各点，画出并求出它的面积；
(2)设点P在x轴上，且的面积为4，求出点P的坐标．
【答案】(1)见解析，4(2)或
【分析】（1）根据点的坐标先进行描点，然后再连线即可，用梯形的面积减去两个三角形的面积即可求出△ABC的面积；
（2）先根据的面积为4，求出PB=8，根据，即可求出点P的坐标．
（1）
解：




（2）解：由题意可知：的面积，
∵，
∴，
∵
∴或．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校七年级阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，

(1)描出A（-3，-2）、B（2，-2）、C（-2，1）、D（3，1）四个点．
(2)线段AB、CD有什么位置关系和数量关系？
(3)顺次连接A，B，D，C四点，求四边形ABDC的面积．
【答案】(1)见解析(2)AB=CD，ABCD；(3)四边形ABDC的面积是15．
【分析】（1）根据点的坐标，在直角坐标系中找出各点即可；
（2）根据题意画出图形，由坐标性质推知AB=CD、ABCD；
（3）先求得两个三角形的面积，求和即可求得四边形ABDC的面积．
（1）解：根据点的坐标，在直角坐标系中描出A（-3，-2）、B（2，-2）、C（-2，1）、D（3，1）四个点；如图所示，
；
（2）解：如图，∵A（−3，−2），B（2，−2），
∴AB=5，ABx轴．
又∵C（−2，1），D（3，1），
∴CD=5，CDx轴．
∴AB=CD，ABCD；
（3）
解：连接BD，
三角形ABC的面积为：×5×3=7.5；
三角形DBC的面积为：×5×3=7.5；
∴四边形ABDC的面积为：7.5+7.5=15．
即四边形ABDC的面积是15．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出A、B、C、D四个点是解题的关键．
15．（2022·四川泸州·七年级期末）已知点A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1）．

(1)在图中描出A，B，C，D四点；
(2)连接AB，CD，试判断AB与CD的位置关系和数量关系；
(3)连接AD，BC，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析(2)，AB＝CD(3)24
【分析】（1）利用点的坐标的定义描点即可；
（2）根据A、B坐标特征得到，AB平行于x轴；根据C、D坐标特征得到，CD平行于x轴，从而可得到AB与CD的位置关系和数量关系；
（3）如图，连接BD，根据即可求出四边形ABCD的面积．
（1）如图所示：

（2）如图，
∵A（－4，－3），B（2，－3），C（3，1），D（－3，1），
∴，AB∥x轴，
，CD∥x轴，
∴，AB＝CD；
（3）
如图，连接BD，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及求三角形面积，能够利用点的坐标求图形的边长及面积是解题关键．
考点4：已知点所在的象限求参数
典例：（2022·河南·商水县平店乡第一初级中学八年级阶段练习）已知点P（2m﹣1，m+2），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P的纵坐标比横坐标大5；
(2)点P到y轴的距离为3，且在第二象限．
【答案】(1)（﹣5，0）(2)（﹣3，1）
【解析】（1）
解：∵点P（2m﹣1，m+2）的纵坐标比横坐标大5，
∴m+2﹣（2m﹣1）＝5，
解得m＝﹣2，
∴2m﹣1＝﹣5，m+2＝0，
∴点P的坐标为（﹣5，0）；
（2）解：∵点P到y轴的距离为3，
∴|2m﹣1|＝3，
解得m＝2或m＝﹣1，
又∵点P在第二象限，
∴2m﹣1＜0，
∴m＝﹣1，
此时2m﹣1＝﹣3，m+2＝1，
∴点P的坐标为（﹣3，1）．
方法或规律点拨
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，理解题意，根据题意求出m的值是解题关键．
巩固练习
1．（（2020·湖南常德初二期末）点Q（3m，2m﹣2）在x轴上，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解析】解：根据题意，可得：；
解得m＝1，
故选：B．
2．（2022·全国·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，那么下列说法正确的是（   ）
A．是正实数 B．是正实数 C．是非负实数 D．是非负实数
【答案】B
【分析】根据各象限内坐标的符号特征判断即可．
【详解】解：点在第二象限，
，，
是正实数，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
3．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）在平面直角坐标系中，点A（2t﹣1，3t+2）在y轴上，则t的值为（    ）
A．0 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可．
【详解】解：∵点A（2t﹣1，3t+2）在y轴上，
∴2t-1=0，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，熟知在y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
4．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）若，，且点在第三象限，则点M的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据绝对值的性质可得，再根据点在第三象限可得，由此即可得．
【详解】解：，，
，
点在第三象限，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0是解题关键．
5．（2022·湖南·岳阳市湘一南湖学校九年级阶段练习）如图，P，Q 两点的坐标分别为（5，a），（b，7），则点（a，b）在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据P、Q都在第一象限求出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，P，Q 两点的坐标分别为（5，a），（b，7），且P、Q均在第一象限，
∴，
∴点（a，b）在第一象限，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标系中每个象限内点的坐标特点，熟知第一象限点的坐标特点是解题的关键．
6．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级阶段练习）已知点P(a，b)在第四象限，则点Q(b-a，ab)在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据第四象限点的坐标特点确定a、b的符号，进而确定，的符号，即可求得．
【详解】解：点P在第四象限，
，，
，，
Q在第三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，理解各象限的符号是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0．
7．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在轴上，点在轴上，则点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点A、B所在位置求出m，n的值，即可判断点C所在是象限．
【详解】解：点在轴上，点在轴上，
，，
解得：，，
则点在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了根据点坐标求参数，根据点的坐标判断点所在的象限，正确掌握点的坐标与象限关系是解题的关键．
8．（2022·广东·惠东县多祝中学七年级阶段练习）点在y轴上，则a的值为____．
【答案】﹣5
【分析】根据在y轴上的点的坐标的特点：横坐标为0，即得出，解出a即可．
【详解】∵点在y轴上，
∴，
解得：．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查在坐标轴上的点的坐标的特点．掌握在y轴上的点的坐标的特点：横坐标为0是解题关键．
9．（2022·广东·八年级单元测试）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝2，y2＝25．则点P的坐标是_____．
【答案】（﹣2，5）
【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x=±2、y=±5，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x=-2，y=5，然后可直接写出P点坐标．
【详解】解：∵|x|=2．y2=25，
∴x=±2，y=±5，
∵第二象限内的点P（x，y），
∴x＜0，y＞0，
∴x=-2，y=5，
∴点P的坐标为（-2，5）．
故答案为：（-2，5）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内的坐标特点是解答本题的关键．
10．（2022·新疆·库车县乌尊镇中学七年级阶段练习）第二象限的点P（x，y），满足 =3，=16，则点P的坐标是___________．
【答案】（−3，4）
【分析】点在第二象限内，那么其横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据所给的条件判断具体坐标．
【详解】∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵|x|＝3，，
∴x＝−3，y＝4，
∴点P的坐标是（−3，4）．
故答案为：（−3，4）．
【点睛】此题考查了绝对值的性质和有理数的乘方以及平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号．
11．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）若点M(a-1，3a)在x轴上，则点M的坐标为____________
【答案】（-1，0）
【分析】由题意点在x轴上，则其纵坐标为0而计算得到点的坐标．
【详解】解：由题意得：点M纵坐标为0，即3a=0，得a=0，
代入横坐标得：a-1=-1．
所以点M的坐标是（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．
【点睛】本题考查的是坐标轴上的点的坐标的特征，注意x轴上的点的纵坐标为0．
12．（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，若点P(,)在第一象限，则m的值可以是________．（写出一个）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数．
【详解】∵点P（m+3，m-1）在第一象限，
∴可得，
解得：．
故答案是：2（答案不唯一）．
【点睛】主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点，熟记各象限内点的坐标特点是解题的关键，第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）．
13．（2022·海南·白沙黎族自治县白沙中学七年级期中）在轴上，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据点在x轴上的特征，纵坐标为0可得a-3=0，求出a=3，即可求解.
【详解】解：∵点P(a+5，a−3)在x轴上，
∴a-3=0，解得：a=3，
∴P(8，0)，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查点在x轴上的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点在x轴上的特征．
14．（2022·福建·福州现代中学七年级期中）在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，m＋3）在x轴上，则m＝______．
【答案】-3
【分析】由x轴上点的纵坐标为0得到m+3=0，求出m即可．
【详解】解：∵点M（m﹣1，m＋3）在x轴上，
∴m+3=0，
解得m=-3，
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
15．（2022·天津红桥·七年级期末）在平面直角坐标系中，如果点在第四象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据定在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：∵点点在第四象限，
∴，
解得：，
即的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标与解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
16．（2022·江西赣州·七年级期中）在平面直角坐标系中，有一点，试求满足下列条件的值．
(1)点在轴上；
(2)点在第一、三象限的角平分线上．
【答案】(1)2(2)-8
【分析】（1）根据轴上的点横坐标为，可得，然后进行计算即可解答；
（2）根据第一、三象限的角平分线上的点，横，纵坐标相等，可得，然后进行计算即可解答．
（1）
解：由题意得：
，
，
的值为；
（2）
解：由题意得：
，
，
的值为．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
考点5：平面直角坐标系内点的规律探究
典例：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3……已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(3，3)，A3(4，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是_________，B4的坐标是_________ ；
(2)若按第(1)题的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：An的坐标是_________，Bn的坐标是_________．

【答案】（1）（16，3），（32，0），（2）（2n，3），（2n+1，0）．
【分析】（1）对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律．
（2）根据第一问得出的A4的坐标和B4的坐标，再此基础上总结规律即可知A的坐标是（2n，3），B的坐标是（2n+1，0）．
【详解】解：（1）因为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…纵坐标不变为3，
同时横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，3）；
因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，
同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；
（2）由上题第一问规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，
∴An的坐标是（2n，3），Bn的坐标是（2n+1，0）．
方法或规律点拨
本题主要考查了平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．
巩固练习
1．（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴、y轴垂直的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度． 在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（    ）

A．（44，3） B．（45，3） C．（44，4） D．（4，45）
【答案】A
【分析】根据现有点(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，然后利用这个结论算出第2020分钟时点的坐标．
【详解】粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：(1，1)运动了2=1×2分钟，方向向左，
位置：(2，2)运动了6=2×3分钟，方向向下，
位置：(3，3)运动了12=3×4分钟，方向向左，
位置：(4，4)运动了20=4×5分钟，方向向下；
…
总结规律发现，设点(n，n)，
当n为奇数时，运动了n(n+1)分钟，方向向左；
当n为偶数时，运动了n(n+1)分钟，方向向下；
∵44×45=1980，45×46=2070
∴到(44，44)处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，
故到2021分钟，须由(44，44)再向下运动20211980=41，
4441=3，到达(44，3)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．
2．（2022·江西上饶·七年级期中）如图，在坐标平面上，小七从点出发，每天都是先向右走个单位，再向上走个单位．小七第一天由点走到点，第二天由点走到点，…，那么小七第二十九天走到的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：序数增加1，则横坐标增加1，纵坐标增加3，得出规律，即可求解．
【详解】解：由题意可知：，，，，
∴ ，即，
小七第二十九天走到的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是点的坐标规律，根据题意找出各点坐标之间的关系是解答此题的关键．
3．（2022·广东惠州·七年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个点按如下规律排列：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）…，则第50个点的坐标为（　　）

A．（7，6） B．（8，8） C．（9，6） D．（10，5）
【答案】D
【分析】设横坐标为n的点的个数为，横坐标的点的个数为（n为正整数），结合图形找出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，再罗列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律，依次变化规律解不等式即可得出结论．
【详解】解：设横坐标为n的点的个数为，横坐标的点的个数为（n为正整数），
观察，发现规律：，，，…，
∴，，，，…，
∴，
当，即，
解得：（舍去），或，
∵，
∴第50个点的横坐标为10，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出、的值，再根据数值的变化找出变化规律是关键．
4．（2022·湖南湘潭·八年级期末）我们把这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，，得到螺旋折线（如图），已知点，则该折线上的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图象，推出 的位置，即可解决问题．
【详解】解：观察发现：
（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到（−1，0）；
（−1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到（0，−1）；
（0，−1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到（2，1）；
（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到（−1，4）；
（−1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到（−6，−1）；
（−6，−1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到（2，−9）；
（2，−9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到（15，4）；
（15，4）先向左平移21个单位，再向上平移21个单位得到（－6，25）
故选：B．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定的位置．
5．（2022·河南安阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（－2，－2），B（4，－2），C（4，2），D（－2，2），一蚂蚁从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A…循环爬行，问第2022秒蚂蚁在（    ）处

A．（－2，－2） B．（2，－2） C．（0，－2） D．（－2，0）
【答案】B
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（4，2），D（﹣2，2），
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
蚂蚁转一周，需要的时间是（秒），
，
按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2022秒相当于从A点出发爬了2秒，路程是：个单位，，所以在AB上，且距离B点2个单位处，即蚂蚁的坐标为，故B正确．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022秒蚂蚁爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
6．（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(﹣1，1)，B(﹣1，﹣2)，C(3，﹣2)，D(3，1)，一只瓢虫从点出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（    ）处．

A．(3，1) B．(1，1) C．(1，﹣2) D．(3，﹣2)
【答案】B
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）
∴ ，，
∴
瓢虫爬一圈，需要的时间是秒
，
按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2022秒相当于从A点出发爬了6秒，路程是：个单位，12=3+4+3+2，
∴瓢虫此时在AD上，距离D为2个单位长度
∴瓢虫在（1，1）处．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
7．（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…根据这个规律，则点的坐标是（    ）

A．（1348，-1） B．（1348，2） C．（674，-1） D．（674，2）
【答案】A
【分析】观察可知，，，，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，据此求解即可．
【详解】解：∵动点从点出发，由跳动至点，依次跳动至点，点，点…
∴，，，，每三个点为一组，纵坐标为0，2，-1循环，每个循环内横坐标增加2，
∵，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为-1，点横坐标为，
∴点的坐标为（1348，-1）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
8．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2022次运动后，动点P的坐标是（    ）

A．（2021，1） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2022，2）
【答案】C
【分析】根据题意可得每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，据此求解即可．
【详解】解：∵第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），第6次接着运动到点（6，0），第7次接着运动到点（7，2），第8次接着运动到点（8，0），第9次接着运动到点（9，1），
∴由此可知每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，
∵，
∴第2022次运动后，点P的纵坐标与第二次运动后的纵坐标相同为0，横坐标为，
∴点P的坐标为（2022，0），
故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点的坐标规律是解题的关键．
9．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(细线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ）

A．(﹣1，2) B．(﹣1，1) C．(0，1) D．(0，2)
【答案】A
【分析】根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，计算2022÷20，看余数判断即可．
【详解】因为ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，
根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，
确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，
所以2022÷20＝101…2，
与B点重合，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标的特点和坐标的规律，熟练掌握坐标的特点，准确计算出循环节是解题的关键．
10．（2022·湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，点A1的坐标为（1，1），将点先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点；将点先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点；将点先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点……按这个规律平移下去得到点，（n 为正整数），则点的坐标是（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】探究规律，利用根据解决问题即可．
【详解】解：由题意知，（1，1），
（3，2），即（，），
（7，4），（，），
（15，8），（，），
…
（，）．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是学会探究规律的方法．
11．（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第1次跳动至点，第2次向右跳动3个单位至点，第3次跳动至点，第4次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系规律，列出点坐标，进而观察横坐标和纵坐标特征，得出答案．
【详解】解：由题可知
∵，，，，，……
∵2022÷2=1011，
∴纵坐标为1011，
又，，，
可知横坐标比纵坐标大1，
∴的横坐标为1012，
∴点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的规律探究，找到坐标的规律及周期是解决问题的关键．
12．（2022·广东·湛江市初级实验中学七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点（0，0），点（2，1），点（4，2），点（6，3），……，按照这样的规律下去，点的坐标为 _____．

【答案】（4042，2021）
【分析】根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标为（2n-2，n-1），然后求得点的坐标即可．
【详解】观察发现：点（0，0），点（2，1），点（4，2），点（6，3），…（2n﹣2，n﹣1），
∵2×2022-2=4042，2022-1=2021，
∴的坐标为（4042，2021），
故答案为：（4042，2021）．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是找到点的坐标的变化规律，难度不大．
13．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿……的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，，，，，，，……，则点的坐标是__________．

【答案】
【分析】根据坐标点的变化规律可知每8个点的位置一循环，由此先确定点与位置类似，再由类似位置点的坐标变化规律确定点的坐标即可.
【详解】解：∵，，，，，，，，，......
2022÷8=252......6，
即点循环了252次后又移动了6个单位，所以其与位置类似，
与位置类似的一系列点的坐标分别为， ，......，
可推断出与位置类似的一系列点为，其坐标为 ，
∴，其坐标为即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中动点的规律探索，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键．
14．（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转100次，点依次落在点，，，，…，的位置，则的坐标是______．

【答案】
【分析】根据题意得：……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：……，
∴，
∵100÷4=25，
∴的坐标是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律问题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
15．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级阶段练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外，它们的边长依次为3，5，7，9，…，顶点依次为，则顶点的坐标是 _____．

【答案】（，）
【分析】观察图象，每四个点一圈进行循环，每一圈第一个点在第三象限，根据点的脚标与坐标寻找规律．
【详解】解：观察图象，每四个点一圈进行循环，每一圈第一个点在第三象限，第二个点在第二象限，第三个点在第一象限，第四个点在第四象限，
∵2018=4×504+2，
∴点在与点同在第二象限，
根据图形中的规律可知，点在的横坐标为负值，纵坐标为正值，且纵坐标与横坐标的值互为相反数，
∵第二象限的下标第一个数为2，往后间隔4为下一个点的坐标的下标，
∴点是第505个正方形在第二象限的顶点，
∵所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外，它们的边长依次为3，5，7，9，…，
∴第505个正方形的边长为1011，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，数式规律问题，根据点所在的象限发现规律是解答本题的关键．
16．（2022·广东·东莞市翰林实验学校七年级期中）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，的坐标______，经过次翻滚后点对应点的坐标为______．

【答案】         
【分析】先根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，然后据此解答即可．
【详解】解：如图所示：

的坐标为，
观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，
，
点，长方形的周长为：，
经过次翻滚后点对应点的坐标为，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平面直角坐标系中点的翻折变化等知识点，解题的关键是画出相应的图形，找出一般的规律．
17．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点依次排列下去，则点的横坐标为____________．

【答案】
【分析】根据题意可知，点A平移的规律是4次为一个循环，由10÷4=2···2，可知点的坐标与点的坐标规律相同，再根据点，的坐标得出答案即可．
【详解】根据题意可知点向左平移3各单位长度得到点，再向下平移3个单位长度得到，向右平移6个单位长度得到，再向上平移6个单位长度得到点···，
点A平移时每4次一个循环．
由10÷4=2···2，
∴点的坐标与点（n为大于等于0的整数）的坐标的规律相同．
∵，，
∴点，
所以点的横坐标为-8．
故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，掌握坐标变化规律是解题的关键．
18．（2022·河北·广平县第二中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从处出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，其行走路线如图所示．

(1)在图中补出y轴，并写出点，，的坐标；
(2)写出点的坐标（n为正整数）；
(3)蚂蚁从点到点的移动方向是 （填“向上”“向右”或“向下”）．
【答案】(1)（-2，1），（0，1），（2，1）
(2)（2n-4，1）
(3)向右

【分析】（1）根据点即可得到y轴，观察图形可知，，，都在x轴上方，求出的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出点的坐标即可写出其他各点的坐标；
（3）根据2021是4×506-3，可知从点到点的移动方向与从点到的方向一致．
（1）
解：如图，建立直角坐标系，

∵按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动距离为1个单位长度，
∴，⊥x轴，⊥x轴，⊥x轴，
∴（-2，1），（0，1），（2，1）；
（2）
当n=1时，为（-2，1），
当n=2时，为（0，1），
当n=3时，为（2，1），
当n=4时，为（4，1），
，
∴的横坐标为2（n-2）=2n-4，纵坐标为1，即（2n-4，1）；
（3）
由（2）可知，每四个点以循环，
∵4×506-3=2021，
∴从点到点的移动方向与从点到的方向一致，即向右，
故答案为：向右．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出的坐标是解题的关键．
19．（2022·全国·八年级专题练习）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，的坐标为，的坐标为．

(1)的坐标为______，的坐标为______（用含n的代数式表示）；
(2)若护栏长为2020，则需要小正方形______个，大正方形______个．
【答案】(1)（8，2）；（3n﹣1，2）
(2)674；673

【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，横坐标依次比前一个增加3，继而即可求解；
（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020包含多少这样的长度，进而便可求出结果．
（1）
∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），
∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，
∵小正方形的边长为1，
∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次比前一个增加3，
∴A3（5+3，2），An（，2），
即A3（8，2），An（3n﹣1，2），
故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；
（2）
由已知可得，所有小正方形和大正方形之间的直角三角形是全等的等腰直角三角形
∴直角三角形的直角边长等于小正方形边长，长度是1，
∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：1+1+1=3，
∵2020÷3＝673…1，
∴需要小正方形673+1=674（个），大正方形673个．
故答案为：674；673．
【点睛】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
考点6：图形与坐标
典例：（2022·四川·泸州市梓橦路学校七年级期中）在平面直角坐标系中，，且，点为轴上一动点．

(1)求点、的坐标；
(2)当点在线段上运动时，试问是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)不论点点运动到直线OM上的任何位置（不包括点，M），、、三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请写出来并请选择其中一种结论进行证明；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)存在，理由见详解

【分析】（1）利用非负数的性质，求出、、即可解决问题；
（2）设．根据，构建方程即可解决问题；
（3）分四种情形，分别画出图形解决问题即可；
（1）
解：，
又，，，
，，．
，，；
（2）
解：设．
，四边形是直角梯形，
，
，
；
（3）
解：①如图中，当点在线段上时，结论：；

理由：作，则，
，，
，
即，
；
②如图中所示，当点在的延长线上时，结论：．

理由：，
，
，
．
③如图中，当点在的延长线上时，结论：．

理由：，
，
，
．
④如图4，理由：，
，
，
．

【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
方法或规律点拨
本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．
巩固练习1．（2022·广东·八年级单元测试）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）.

(1)求△ABC的面积；
(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)4
(2)P（10，0），P（-6，0）

【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E，由根据三角形面积公式计算即可；
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|，根据三角形面积公式，列出关于x的方程，解出方程即可得出结果．
（1）
解：过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．


＝3×42×41×22×3
＝12﹣4﹣1﹣3
＝4．
（2）
设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴1×|x﹣2|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．
【点睛】本题考查直角坐标系，三角形面积计算，方程思想，分类讨论思想，熟练运用三角形面积公式是解题的关键．
2．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，平面直角坐标系中有一个长方形OABC，OA在x轴上，OC在⊙O上，B的坐标为（8，6），将△ABC沿OB折叠，使点A与点D重合，OD与BC交于点E.

(1)求证：△OCE≌△BDE；
(2)求点E的坐标.
【答案】(1)见解析
(2)E（，6）

【分析】（1）由矩形及翻折的性质得∠D=∠OCE，∠CEO=∠DEB，OC=BD，即可证明△OCE≌△BDE（AAS）；
（2）由全等的性质得EO=EB，设CE=x，则，根据勾股定理解方程即可．
（1）
∵四边形OCBA为矩形，
∴CO=AB，∠OAB=∠OCE．
由翻折的性质可知∠D=∠OAB，BD=AB，
∴OC=BD，∠D=∠OCE．
∴在△OCE和△BDE中，∠D=∠OCE，∠CEO=∠DEB，OC=BD，
∴△OCE≌△BDE．
（2）
∵△OCE≌△BDE，
∴EO=EB．
设CE=x，则．
在Rt△OCE中，OC=6，根据勾股定理得，，
∴，，
∴x=，
∴E（，6）．
【点睛】本题考查了矩形的性质及翻折的性质，利用勾股定理解决折叠问题，合理设立未知数并构建等式是解题的关键．
3．（2022·广东·八年级单元测试）（1）在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：
A(0，3)；B(5，0)；C(3，−5)；D(−3，−5)；E(3，5)；
（2）A点到原点的距离是 ．
（3）连接CE，则直线CE与y轴是什么位置关系？
（4）点D分别到x、y轴的距离是多少？

【答案】（1）见解析；（2）3；（3）平行；（4）点D到x轴的距离是5，点D到y轴的距离是3．
【分析】（1）首先根据点的坐标确定点的位置；
（2）根据A点坐标可得A点到原点的距离是3；
（3）根据坐标系可得CE与y轴平行；
（4）根据D点坐标可得到x轴的距离是5，点D到y轴的距离是3．
【详解】解：（1）如图：
；
（2）A点到原点的距离是3，
故答案为：3；
（3）∵CE的横坐标都是3，
∴直线CE与y轴平行；
（4）点D到x轴的距离是5，点D到y轴的距离是3．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及点的平移，关键是正确利用坐标系确定点的位置．结合坐标系可直观的解决问题．
4．（2022·广东·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式，

(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，

【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到，分别解一元一次方程得到；
（2）根据三角形的面积公式和四边形的面积= 进行计算；
（3）可求，是已知量，根据题意，列出方程求解即可．
（1）
由已知，
可得：
∴，，；
（2）
由（1）知，a=2，b=3，
∴A（0，2），B（3，0），
∴OA=2，OB=3，
，，

（3）
由（1）知，a=2，b=3，c=4，
∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），
∴BC=4，
∴，
∵四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，
∴S=6，
由（2）知，S=m+3，
∴m+3=6，
∴m=3，
∴
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
5．（2022·广东·八年级单元测试）已知点P(3m+6，m−3)是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．
(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为 ．
(2)若点P的纵坐标比横坐标大3，则点P的坐标为 ．
(3)若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为 ．
(4)若点在过A(2，−3)点且与x轴平行的直线上，则点P的坐标为 ．
【答案】(1)（0，-5）
(2)（-12，-9）
(3)，
(4)（6，-3）

【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据点P的横坐标与纵坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可；
（3）根据第一、三象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可；
（4）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可．
（1）
解：∵点P（3m+6，m-3）在y轴上，
∴3m+6=0，
解得m=-2，
所以，m-3=-2-3=-5，
所以，点P的坐标为（0，-5）；
故答案为：（0，-5）；
（2）
解：∵点P的纵坐标比横坐标大3，
∴（m-3）-（3m+6）=3，
解得m=-6，
∴3m+6=3×（-6）+6=-12，
m-3=-6-3=-9，
∴点P的坐标为（-12，-9）；
故答案为：（-12，-9）；
（3）
解：∵点P在一、三象限角平分线所在直线上，
∴3m+6=m-3，
解得m=-，
∴3m+6=3×（-）+6=-，
∴点P的坐标为（-，-）；
故答案为：（-，-）；
（4）
解：∵点P在过A（2，-3）点且与x轴平行的直线上，
∴m-3=-3，
解得m=0，
∴3m+6=6，
∴点P的坐标为（6，-3）．
故答案为：（6，-3）．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握坐标轴上点的坐标特征，平面直角坐标系中象限角平分线上点的坐标特征以及平行于x轴的直线上的点的坐标特征是解决问题的关键．
6．（2022·湖北·沙洋县纪山中学七年级期中） 如图，平面直角坐标系中，已知两点A(0，10)，B(15，0)，ACx轴，点D是线段AO上的一点，点P以每秒2个单位的速度在射线AC上运动，连接DP，DB，设点P运动时间为t秒．

(1)若∠PDB=65°，∠DBO=25°，求∠APD的度数？
(2)当AOBP时，求点P运动的时间是多少？
【答案】(1)40°
(2)

【分析】（1）如图1，过D作DE∥x轴，根据两直线平行内错角相等，∠EDB=∠DBO，∠PDE=∠APD，得出∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD，得出∠PDB=∠DBO+∠APD，进而求得∠APD=40°；
（2）如图2，连接OP、BP，作PG⊥OB于G．根据A、B的坐标求得OB=15，PG=10，根据，列出关于时间t的方程，解这个方程即可．
（1）
如图1，过D作DEx轴，

∴∠EDB=∠DBO
∵ACx轴
∴ACDE
∴∠PDE=∠APD
∴∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD
∴∠PDB=∠DBO+∠APD
∵∠PDB=65°，∠DBO=25°，
∴65°=25°+∠APD
∴∠APD=40°；
（2）
如图2，连接OP、BP，作PG⊥OB于G．

∵A（0，10），B（15，0），ACx轴，
∴OB=15，PG=OA=10，
∵，
∴，
即，
解得t=．
【点睛】本题考查了平行线的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．
7．（2022·河南·漯河市第三中学七年级期中）已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B．

(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)如图1，若点M在x轴上，连接MA，使，求出点M的坐标；
(3)如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，OE平分∠PON，交直线AB于点E，作，当点P在直线AB上运动过程中，请探究∠OPE与∠FOP的数量关系，并证明．
【答案】(1)（3，2），（3，0）
(2)（5，0）或（1，0）
(3)，详见解析

【分析】（1）根据非负性的性质得a＝3，b＝2，则点A的坐标为（3，2），根据轴得OB＝3，即可得点B的坐标为（3，0）；
（2）设点M的坐标为（m，0），由题意得，，进行就是即可得m＝4或m＝2，即可得；
（3）根据角平分线的性质得，根据平行线的性质得，即可得，根据得，则，即．
（1）
：∵，
∴a＝3，b＝2，
∴点A的坐标为（3，2），
∵轴，
∴OB＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
（2）
解：设点M的坐标为（m，0）

∵
∴，或1
∴点M的坐标为（5，0）或（1，0）．
（3）

理由如下：设
∵轴，y轴轴
∴
∴轴
∴
∴
∵OE平分
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．（2022·山西临汾·七年级期末）如图，四边形放置在平面直角坐标系中，，，点，，的坐标分别为（5，8），（5，0），（-2，5）．

(1)与轴的位置关系是______（填“平行”或“相交”），点的坐标为______；
(2)是线段上一动点，则距离的最小值______，距离最小时，点的坐标是______；
(3)，分别是线段，上的动点，从出发向点运动，速度为每秒个单位长度，从出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，几秒后、两点距离恰好为？
【答案】(1)平行,（-2，-3）
(2)7，（5，-5）
(3)经过秒时，，两点的距离为

【分析】（1）由A，两点横坐标相同可判断轴，根据，从而求得点坐标；
（2）当时，之间的距离最小，进一步求得结果；
（3）当点，两点的纵坐标相同时，，进一步求得结果．
（1）
解：，
，两点的横坐标相同，
轴，
轴轴，
轴，
，，，
，
，
点，
故答案为：平行，；
（2）
当时，d最小，此时，
此时点的横坐标和点A的横坐标相同，纵坐标与点的纵坐标相同，
，
故答案为，；
（3）
当，之间距离等于时，点和点的纵坐标相同，
，
，
经过秒时，，两点的距离为．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点与线段的位置之间关系等知识，解决问题的关键是根据点的坐标来确定线段之间的关系．
9．（2022·湖北·沙洋县纪山中学七年级期中）将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足．  

(1)求B点的坐标
(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
(3)若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
【答案】(1)B点坐标为（8，4）；
(2)D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；
(3)四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．

【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a-2b=0，b-4=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
（2）分类讨论：当点D在AB上，和点D在BC上，根据题意列方程，解方程即可得到D点坐标；
（3）设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），则可根据三角形面积公式和计算得到=16，即四边形BQOP的面积在运动中不发生变化．
（1）
解：∵，
∴a-2b=0，b-4=0，
∴a=8，b=4，
∴B点坐标为（8，4）；
（2）
解：当点D在AB上，如图，

设D（m，4），则AD=m，BD=8-m，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴（4+m）：（8-m+4+8）=2：3，
解得m=5.6，
∴D点坐标为（5.6，4）；
当点D在BC上，如图，

设D（8，n），则CD=n，BD=4-n，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴（8+n）：（4-n+4+8）=2：3，
解得m=1.6，
∴D点坐标为（8，1.6），
综上所述，D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）；
（3）
解：四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．
如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），


=4×8-×8×（4-t）-×8×t
=16；
∴四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
10．（2022·安徽·芜湖市第二十九中学七年级期中）如图，在长方形中，，，以O为原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系坐标系．动点P从点A出发，沿A→O→C→B路线运动到点B停止，速度为4个单位长度/秒；动点Q从点O出发，沿O→C→B路线运动到点B停止，速度为2个单位长度/秒；当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t．

(1)写出A、B、C三点的坐标；
(2)当点P恰好追上点Q时，求此时点P的坐标；
(3)当点P运动到线段上时，连接、，当的面积是3时，求t的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)或

【分析】（1）根据长方形的性质和平面直角坐标系中点的坐标的写法写出即可；
（2）设x秒后点P恰好追上点Q，此时根据点P运动的路程减去点Q运动的路程等于OA的长，列出方程并解出，再根据图形即可得出点P的坐标；
（3）根据题意，分点Q在点P的前面和点P在点Q的前面两种情况，再根据三角形的面积列出方程解出即可．
（1）
解：∵，，以O为原点，为x轴，为y轴，
∴；；；
（2）
解：设x秒后点P恰好追上点Q，
∴，
解得，
∴点P运动的路程为，
∵，，
∴点P在BC上，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）
解：①当点Q在点P的前面时，
∴，
又∵，
∴，
解得；
②当点P在点Q的前面时，
∴，
又∵，
，
解得：．
综上可得：当的面积是3时，或．
【点睛】本题考查了坐标与图形、一元一次方程的实际应用，解本题的关键在找出追及问题的等量关系，以及（3）中的分情况讨论．
11．（2022·广东·东莞市翰林实验学校七年级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点．

(1)直接写出点和点的坐标：______，______、______，______；
(2)取点，连接，在轴上存在点，使，求点的坐标；
(3)若点从点以个单位长度秒的速度沿方向移动到点停止运动，同时点从点以个单位长度秒的速度沿方向移动到点停止运动，设移动的时间为秒，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出四边形的面积．若变化，求出变化的范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)四边形的面积不变，是

【分析】（1）根据坐标系直接写出点的坐标即可求解；
（2）根据题意分情况讨论，当在上时，当点在的延长线上时，当点在轴的负半轴上时，分别根据，列出方程，进而求得点的坐标；
（3）根据题意，表示出线段，，根据四边形的面积等于长方形的面积减去2个三角形的面积列出代数式，化简后即可求解．
（1）
解：轴于，轴于，点，
，
，，
，，
故答案为：，；
（2）
分三种情况：
当在上时，如图，

，
，
，
；
当点在的延长线上时，如图，

，
不符合题意，舍去；
当点在轴的负半轴上时，如图，

，
设
∴

解得
；
综上，点的坐标为或；
（3）
由题意得：，，
，
四边形的面积，
四边形的面积不变，是．
【点睛】本题考查了坐标与图形，动点问题，列代数式，整式的加减应用，解一元一次方程，数形结合是解题的关键．
考点7：平面直角坐标系中的综合问题
典例：（2020·广东汕头市·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（0，a），B（b，0）满足|a﹣3|+＝0．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点是C，点B的对应点是D，且C、D两点也在坐标轴上，过点O作直线OM⊥AB，垂足为M，交CD于点N，请在图1中画出图形，直接写出点C、D的坐标，并证明MN⊥CD．
（3）如图2，将AB平移到CD，点A对应点C（﹣2，m），连接AC、BC，BC交y轴于点E，若△ABC的面积等于13，求点E的坐标及m的值．
【答案】（1）（0，3），（4，0）；（2）C（﹣4，0），D（0，﹣3）；（3）-2
【详解】解：（1）∵|a﹣3|+＝0．
∴a＝3，b＝4，
∴A、B两点的坐标为：（0，3），（4，0）；
（2）如图，

根据平移的性质可知：
AB∥CD，AB＝CD，
∵OM⊥AB，
∴OM⊥CD．
∴C（﹣4，0），D（0，﹣3）．
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，

∵△ABC的面积等于13，
即S△ACE+S△ABE＝13，
∴×AE×CF+×AE×OB＝13，
∴（3+OE）×2+×（3+OE）×4＝13，
解得OE＝，
所以点E的坐标为（0，﹣）．
设直线BE解析式为y＝kx+b，
∴4k﹣＝0，
解得k＝，
所以直线BE的解析式为y＝x﹣，
当x＝﹣2时，y＝﹣2．
所以m的值为﹣2．
方法或规律点拨
本题考查了作图-平移变换、非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握平移的性质．
1．（2020·辽宁大连市·七年级期末）定义：已知点，若点，我们称点是点的关联点．如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，其对应的关联点分别为点、点．

（1）当时，写出点、点的坐标：________、_________；
（2）求当为何值时，线段上的点都在第二象限；
（3）点是平面直角坐标系内一点．
①当点在轴上且三角形的面积是三角形的面积的2倍时，求点的坐标；
②当时，若点在直线之间(含在这两条直线上)，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②．
【详解】
（1）
（2）由定义可知，,
的纵坐标相同,
与平行且点在点的右侧,
,
解得：,
（3）①由坐标特征可知，与平行且相等,
,
点到的距离等于点到的距离的2倍,
(i)当点在直线和之间时,
点到的距离为2,
,
(ii)当点在直线上方时,
同理，;
② .
当点P在AC上时，连接AP并延长，此时C点坐标为（0，3），
∵，
∴t=-1；
当点P在BD上时，连接BP并延长，此时D点坐标为（-2，3），
∵，
∴t=-5，
∴t的取值范围为：.
2．（2019·江西抚州市·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点，.
（1）若点在轴上，求点的坐标；
（2）若轴，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）∵在轴上
∴即
∴
（2）∵∥轴
∴即.
3．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，．请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题：

（1）画出三角形ABC；
（2）将三角形ABC先向下平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的三角形（点，，分别是点A，B，C移动后的对应点）请画出三角形；并判断线段AC与位置与数量关系．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；位置关系是：平行；数量关系是：相等．
【详解】
解：1）如图所示，△ABC即为所求；

（2）如图所示，A1B1C1即为所求，AC与A1C1平行且相等．
4．（2019·甘肃庆阳市·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D．连接AC，BD．
(1)写出点C，D的坐标及四边形ABDC的面积.
(2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S三角形PAB＝S四边形ABDC？若存在，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由；
(3)点Q是线段BD上的动点，连接QC，QO，当点Q在BD上移动时(不与B，D重合)，给出下列结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求值.

【答案】（1）C(0，2)，D(4，2)，S四边形ABCD＝8；（2）存在，点P的坐标为(0，4)或(0，－4)；（3）结论①正确，=1.
【详解】
(1)∵将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，
∴C(0，2)，D(4，2)，AB∥CD且AB=CD=4，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴S四边形ABCD＝4×2＝8.
(2)存在，
设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得×4×|y|＝8.
解得y＝4或y＝－4.
∴点P的坐标为(0，4)或(0，－4).
(3)结论①正确.
过点Q作QE∥AB，交CO于点E.
∵AB∥CD，
∴QE∥CD.
∴∠DCQ＝∠EQC，∠BOQ＝∠EQO.
∵∠EQC＋∠EQO＝∠CQO，
∴∠DCQ＋∠BOQ＝∠CQO.
∴＝1.

5．（2020·珠海市文园中学七年级期中）如图所示，A(2，0)，点 B 在 y 轴上，将三角形 OAB 沿 x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形 DEC，且点 C 的坐标为(-6，4) ．
(1)直接写出点 E 的坐标 ；
(2)在四边形 ABCD 中，点 P 从点 B 出发，沿“BC→CD”移动．若点 P 的速度为每秒 2 个单位长度， 运动时间为 t 秒，回答下列问题：
①求点 P 在运动过程中的坐标，(用含 t 的式子表示，写出过程)；
②当 3 秒＜t＜5 秒时，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，试问 x，y，z 之间的数量关系能否确定？若能，请用含 x，y 的式子表示 z，写出过程；若不能，说明理由．

【答案】（1） （2）1）点P在线段BC上时， ，2）点P在线段CD上时， ； （3）能确定，，证明见解析
【详解】
（1）∵点B的横坐标为0，点C的横坐标为-6，
∴将A(2，0)向左平移6个单位长度得到点E
∴；
（2）①∵
∴1）点P在线段BC上时，
；
2）点P在线段CD上时，
；
②能确定
如图，作P作交于AB于E，则
∴
∴
∴．

6．（2019·洛阳外国语学校七年级月考）如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．
（1）请写出点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　，S四边形ABDC　 　；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．

【答案】（1）（0，2），（4，2），8；（2）Q(0，4)或Q(0，﹣4)；（3）∠CPO＝∠DCP+∠BOP，证明见解析
【详解】
解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，
且A（﹣1，0），B（3，0），
∴C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝4，OC＝2，
∴S四边形ABDC＝AB×OC＝4×2=8；
故答案为：（0，2）；（4，2）；8；
（2）∵点Q在y轴上，设Q（0，m），
∴OQ＝|m|，
∴S△QAB＝×AB×OQ＝×4×|m|＝2|m|，
∵S四边形ABDC＝8，
∴2|m|＝8，
∴m＝4或m＝﹣4，
∴Q（0，4）或Q（0，﹣4）．
（3）如图，

∵线段CD是线段AB平移得到，
∴CD∥AB，
作PE∥AB交 y 轴 于 点 E，
∴CD∥PE，
∴∠CPE＝∠DCP，
∵PE∥AB，
∴∠OPE＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠CPO＝∠DCP+∠BOP．
7．（2021·全国八年级）如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为，，连接交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）线段可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出，的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究与的数量关系，给出结论并说明理由．

【答案】（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，，；（2）24；（3）见解析
【详解】
解：（1）点，，
又将线段进行平移，使点刚好落在轴的负半轴上，点刚好落在轴的负半轴上，
线段是由线段向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
，．
（2）．
（3）连接．
，，
的中点坐标为在轴上，
．
，
轴，
同法可证，
，
，
，
同法可证，，
，，
当点在点的下方时，
，，
，
，
当点在点的上方时，．

8．（2020·云南昆明市·七年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接
问题提出:
（1）请直接写出点的坐标 ， ，及四边形的面积 ﹔
拓展延伸:
（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.

迁移应用:
（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.

【答案】（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）结论①正确，
【详解】
解：（1）由题意可知：C点坐标为，D点坐标为（4，2）
∴AB=4，OC=2
S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8
故答案为：（0，2）；（4，2）；8
（2）存在
，且

①当点在轴上时，令

或
此时点的坐标为
②当点在轴上时，令

或b=1
此时点的坐标为
综上，点M的坐标为
（3）结论①正确
过点作交与点
∵AB∥CD




9．（2020·湖北武汉市·七年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，其中A(－2，1)．现将沿AA′的方向平移，使得点A平移至图中的A′(2，－2)的位置
(1)在图中画出△A′B′C′，写出点B′的坐标为_________，点C′的坐标为_________
(2)求线段AC扫过的面积
(3)直接写出线段AC与y轴交点坐标是__________

【答案】（1）图详见解析，（6，1），（8，-1）；（2）22；（3）
【详解】
解：（1）如图，

△A′B′C′即为所求，点B′的坐标为（6，1），点C′的坐标为（8，-1）．
故答案为：（6，1），（8，-1）．
（2）线段AC扫过的面积=4×102××1×6-2××3×4=22．
（3）设AC交y轴于F，连接OA，OC．
∵S△AOC=2×6×1×2×1×6×4×2=×6×OF，
∴OF=，
∴F（0，）．
10．（2020·陕西延安市·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）(0，2)，(4，2)，8；（2）存在，(1，0)或(5，0)
【详解】
解：（1）依题意得：，，
；
（2）存在，当时，三角形的面积是三角形面积的2倍．

，，
，．
，
或．
11．（2020·江西宜春市·七年级期末）如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是
（1）在平面直角坐标系中画出，并求的面积：
（2）如果将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．画出，并试求出的坐标．
（3）若点的位置不变，当点在什么位置时，使
（4）若点的位置不变，当点在轴上什么位置时，使

【答案】（1）S△ABC=6,图见解析；（2）A1（4，-2）、B1（1，1）、C1（0，-2），图见解析；（3）点P在直线y=3或y=-3；（4）点Q（-1，0）或（-5，0）
【详解】
解：（1）如图所示：

SΔABC= =6；
（2）如（1）图所示，A1坐标为（4，-2） ，B1坐标为（1，1）, C1坐标为（0，-2）;
(3)如图所示，点P到AC的距离与点B到AC的距离相等的直线上，即点P在直线y=3或y=-3；

（4）如图所示，

设CQ=x，
∵SΔABC= 2SΔQBC；
∴=6
解得x=2.
∴Q的坐标为（-1，0）或（-5，0）.
能力提升

一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·八年级单元测试）点，所在的象限是（   ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据非负数的性质，即可判断出点的横坐标与纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点所在象限即可．
【详解】解：，
∴，
∵为非负数，
∴，
∴
∴点的符号为，
∴点在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，象限内符号的特征，解题的关键是掌握非负数的性质，牢记象限内坐标的符号特征．
2．（2022·全国·八年级课时练习）在某游乐场，以中心广场为观测点，若有序数对表示图中“太阳神车”的位置，有序数对表示图中“雪域金翅”的位置，则与图中“天地双雄”位置对应的有序数对为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“太阳神车”与“雪域金翅”的位置结果找到位置的表示方法，即可求解．
【详解】∵“太阳神车”的位置为(500,20°)，“雪域金翅”的位置为(400,340°)，
∴可知有序数对的第一个值为：目标距离观测点中心广场的距离，第二个值为：目标与观测点中心广场的连线与正东方向的旋转角度度数，
∴根据图形可知，“天地双雄”距离观测点中心广场的距离为：500，天地双雄”与观测点中心广场的连线与正东方向的旋转角度度数为120°，
即有序数对为(500,120°)，
故选：B．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置的知识，理解题意是解答本题的关键．
3．（2022·山东·滨州市沾化区古城镇中学七年级期中）如图是某动物园的平面示意图，若以猴山为原点，向右的水平方向为轴正方向，向上的竖直方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则熊猫馆所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】首先以猴山为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后再根据熊猫馆的位置确定象限．
【详解】解：如图所示，

熊猫馆、百草园都在第二象限； 驼峰、大门在第三象限，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是正确建立坐标系，明确平面直角坐标系中四个象限的分布．
4．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循坏爬行，向第2022秒瓢虫在（    ）处．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得AB，AD的长，从而求出矩形ABCD的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要7秒，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：∵A（-1，1），B（-1，-2），C（3，-2），D（3，1），
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=14，
∵14÷2=7（秒），
∴瓢虫爬行一周需要7秒，
∴2022÷7=288……6，
∴6×2=12，
∴12-3-4-3=2，
∴第2022秒瓢虫在（1，1）处．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标规律：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．
5．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，小明从家到学校要穿过一个居民小区．小区的道路均是正南或正东方向，小明走下面哪条线路不能到达学校（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的坐标确定位置来解答．
【详解】解：根据题意可得：小颖从家到达莲花中学需要向南（沿y轴负方向）走4个单位，向东（x轴正方向）走4个单位．
观察选项，满足此点的为A、B、C，按D走不能到达学校．
故选：D
【点睛】本题考查了类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，利用图形结合实际操作一下能更直观地得到答案．
6．（2022·全国·八年级课时练习）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列：
，，3，，，
，，，，，6
……
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（　　）
A．（5，2） B．（5，3） C．（6，2） D．（6，5）
【答案】B
【分析】根据题意可以得到每行6个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置，本题得以解决．
【详解】解：一组数，，3，，，……，中最大的有理数是，
由题意可得，每6个数为一行，
81÷3＝27，27÷6＝4……3，
故9位于第5行第3个数，记为（5，3），
故选：B．
【点睛】本题考查有序实数对表达位置及有理数的概念，熟练掌握有序实数对的定义及表示位置的方法是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·重庆永川·七年级期末）七年级一班座位有7排8列，张艳的座位在2排4列，简记为（2，4），班级座次表上写着王刚（5，8），那么王刚的座位在___．
【答案】5排8列
【分析】根据题意可知，横坐标代表排数，纵坐标代表列数，即可进行解答．
【详解】∵（2，4）代表2排4列，
∴（5，8）代表5排8列，
故答案为：5排8列．
【点睛】本题主要考查了有序数对的实际应用，理解题意，分清楚横坐标和纵坐标表示的意义是解题的关键．
8．（2022·四川·测试·编辑教研五九年级阶段练习）已知点A（a，b）在平面直角坐标系中的一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是______．
【答案】a=b##b=a
【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标和纵坐标相等解答即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中的一、三象限的角平分线上的点的横坐标和纵坐标相等，
∴a=b．
故答案为：a=b．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握第一、三象限的角平分线上的点的特征是解答本题的关键．
9．（2022·北京市上地实验学校七年级期中）如图是老北京城一些地点的分布示意图，在图中，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为，那么坐标原点所在的位置是__________．

【答案】天安门
【分析】根据表示东直门的点的坐标和表示宣武门的点的坐标确定原点的位置即可．
【详解】解：∵表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为，
∴坐标原点所在的位置是天安门．
故答案为：天安门．
【点睛】本题考查在平面直角坐标系中确定点的位置，熟练掌握该知识点是解题关键．
10．（2022·宁夏固原·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：
①；②；③，按照以上变换，例如，则____________．
【答案】（-2，3）
【分析】根据规定变换进行计算即可求解．
【详解】解：由题意得：O（Ω（2，3））=O（2，-3）=（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．
【点睛】本题考查了新定义，读懂题目信息，理解变换规则是解题的关键．
11．（2022·江苏·搬经初中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标是_____．

【答案】（1，5）．
【分析】先证明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD＝CE，DC＝EB，然后再根据点A的坐标为（−7，3），点C的坐标为（−2，0），即可得到点B的坐标．
【详解】解：作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，如图所示，

则∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，DC＝EB，
∵点A的坐标为（−7，3），点C的坐标为（−2，0），
∴OD＝7，AD＝3，OC＝2，
∴CE＝3，BE＝OD−OC＝7−2＝5，
∴OE＝CE−OC＝3−2＝1，
∴点B的坐标为（1，5），
故答案为：（1，5）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2022·江西·定南县教学研究室七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴或轴上，若三角形的面积等于6则符合条件的点的坐标是______．
【答案】（3，0）或（-3，0）或（0，4）或（0，-4）
【分析】先进行分类，分P在x轴上时和y轴上时，利用三角形的面积公式和坐标与图形分别求解即可．
【详解】解：当P在x轴上时，设P（x，0），
则有：，
解得：，
∴此时点P的坐标为（3，0）或（-3，0）；
当P在y轴上时，设P（0，y），
则有：，解得：，
∴此时点P的坐标为（0，4）或（0，-4）；
综上所述，符合条件的点的坐标是（3，0）或（-3，0）或（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（3，0）或（-3，0）或（0，4）或（0，-4）
【点睛】本题考查了坐标与图形——三角形面积的求法，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，若点的位置用数对表示．

(1)请用数对表示点的位置．
(2)若关于直线的轴对称图形为，请画出并用数对表示点的位置．
【答案】(1)
(2)图见解析，

【分析】（1）根据点的位置用数对表示，即可求解；
（2）先作出点A关于直线的对称点，在顺次连接，即可求解．
（1）
解：∵点的位置用数对表示，
∴点的位置用数对表示；
（2）
解：如图，即为所求，

点的位置用数对表示．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，有序数对表示位置，首先确定一条对称轴，将图形的关键点作关于对称轴的对称点，依次连接各个点，得到轴对称图形是解题的关键．
14．（2022·山东·昌乐县教学研究室七年级期末）已知，点．
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2)若点P的纵坐标比横坐标大9，试判断点P在第几象限，并说明理由；
(3)若点P，Q都在过点且与x轴平行的直线上，，求点P与点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)第二象限；理由见解析
(3)；或

【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，列出等式算出m的值，即可；
（2）由点P的纵坐标比横坐标大9，可知，解得：，则点P的坐标为，则点P在第二象限；
（3）由点、Q都在过点且与x轴平行的直线上，可知P、Q两点的纵坐标都是3，可得，解得，从而点P的坐标是，则，则点Q的横坐标为或，即为6或，由此可得点Q的坐标为或．
（1）
解：∵点P在y轴上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）
解：∵点P的纵坐标比横坐标大9，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴点P在第二象限；
（3）
解：∵点、Q都在过点且与x轴平行的直线上，
∴P、Q两点的纵坐标都是3，即：，
∴，从而点P的坐标是，
又∵，
∴点Q的横坐标为或，即为6或，
∴点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系中的点的特点，熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解决问题的关键．
15．（2022·广东·暨南大学附属实验学校七年级期中）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应、点O与点C对应，a、b满足．

(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　　）、B（ 　　）、C（ 　　）；
②直接写出三角形AOH的面积 　　．
(2)如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【答案】(1)①1，4；3，0；2，-4；②2
(2)t＝1.2时，P(0.6，0)；t＝2时，P(-1，0)

【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论；②利用三角形面积公式求解即可；
（2）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．
（1）
解：①∵，
又∵≥0，，
∴a＝4，b＝3，
∴A(1，4)，B(3，0)，
∵B是由A平移得到的，
∴A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到B，
∴点C是由点O向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的，
∴C(2，-4)．
故答案为：1，4；3，0；2，-4．
②．
故答案为：2．
（2）
解：①当点P在线段OB上，
由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：
OP·=OQ·，
∴×(3﹣2t)×4＝×2t，
解得t＝1.2．
此时P(0.6，0)．
②当点P在BO的延长线上时，
由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：
OP·=OQ·，
×(2t-3) ×4＝×2×t，
解得t＝2，
此时P(-1，0)，
综上所述，t＝1.2时，P(0.6，0)；t＝2时，P(-1，0)．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．