【同步讲义】人教版数学七年级下册：第九章 不等式与不等式组卷（单元测试）

第九章 不等式与不等式组卷单元测试

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2023春·八年级课时练习）下列解集中，包括2的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式表示的解集范围进行判断即可．

【详解】解：A．表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意；

B．表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意；

C．表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意；

D．表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式解集的定义．

2．（2023春·全国·七年级专题练习）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的计量范围是，则的值分别为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数．

【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用，

同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用.

∴x=10，y=30，

故选：D.

【点睛】本题考查一元一次不等式不等式，关键是理解题意，用最小的药品除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品除以最小的次数得到每次最大的服用量．

3．（2023春·全国·七年级专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（　　）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】由题意知，，根据不等式的性质，对各选项进行判断即可．

【详解】解：∵，

∴，，，不能判断，

∴A、C、D错误，故不符合题意；B正确，故符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．

4．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的解集在数轴上表示为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先计算出解集，再根据题意画出数轴表示即可．

【详解】解：，

，

，

，

在数轴上表示为：

．

故选：C．

【点睛】本题考查了解不等式及其解集数轴表示，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．

5．（2023·全国·九年级专题练习）

如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列哪一个不等式表示（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】根据小丽进入电梯未超重而小欧进入电梯超重，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．

【解答】解：依题意得：，

解得：．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知点P（1－2m，m－1），则不论m取什么值，该P点必不在（  ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】解：①1-2m＞0时，m＜，

m-1＜0，

所以，点P可以在第四象限，一定不在第一象限；

②1-2m＜0时，m＞，

m-1既可以是正数，也可以是负数，

点P可以在第二、三象限，

综上所述，P点必不在第一象限．

故选：A．

7．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案．

【详解】解：∵解方程组，

得，

∴①x与y互为相反数，则x=-y，

m+2=2m

m=2，故①正确；

②，

则m+2-2m=2-m

m＜，则m的最大整数值为3，故②错误．

③x=y，

则m+2=-2m

m=，故③错误；

故选：B．

【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键．

8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考阶段练习）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【答案】B

【分析】设购买甲、乙、丙树苗各为、、棵，且均不为0，则由题意得，，然后代入不同值，求解即可．

【详解】解：设购买甲、乙、丙树苗各为、、棵，且均不为0，

则由题意得，，

化简得，

令，则，或，或，共3种；

令，则，共1种；

∴共有种，

故选B．

【点睛】本题考查了三元一次方程的应用与一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．

9．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解．

【详解】解不等式，得，

解不等式，得，

∵不等式组至少有4个整数解，

∴，

解得，

解关于x的一元一次方程，得，

∵方程有正整数解，

∴，

则，

∴，

其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，

故选：B．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．

10．（2023秋·山东东营·七年级统考期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．

【详解】解：∵[]=2，

∴由题意得2≤＜3，

解得5≤x＜7，

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）如右图，四人去公园玩跷跷板，设和两人的体重分别为，

则______（填＞，＝或＜）.

【答案】

【分析】设两人的体重分别为，根据题意列出等式与不等式，即可求解．

【详解】设两人的体重分别为，

由图可知，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了不等式的性质，理解题意是解题的关键．

12．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）某学校医务室采购了一批水银温度计和额温枪，其中有支水银温度计，若干支额温枪．已知水银温度计每支元，额温枪每支元，如果总费用不超过元，那么额温枪至多有______支．

【答案】4

【分析】设购进额温枪支，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论．

【详解】解：设购进额温枪支，

由题意得，

解得

为正整数

的最小值为

故答案为．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

13．（2023春·全国·八年级专题练习）对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是______．

【答案】0

【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出．

【详解】∵，

∴

解得：

∴最大整数解是0．

【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键．

14．（2023春·全国·七年级专题练习）当__时，不等式的解集是

【答案】

【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变，得出，求出即可．

【详解】解：不等式的解集是，

，

．

故本题答案为：．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变是解题的关键．

15．（2023春·全国·八年级专题练习）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由输出结果可得出不等式，解出即可．

【详解】解：依题意得：第一次的结果为：，没有输出，

则，解得：；

第二次的结果为：，输出，

则，解得：；

综上可得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，解出不等式．

16．（2023春·安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考阶段练习）若的解集为，则关于x的不等式的解集为_____．

【答案】

【分析】先解不等式，根据解集为，求得且，进而解关于x的不等式，即可求解．

【详解】解：∵的解集为，

，

∴，

，

，

即，

解得，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的基本性质，求得且是解题的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是小明解不等式的过程：

①去分母，得，

②移项、合并同类项，得，

③两边都除以，得．

先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．

(1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号　　；

(2)用正确的方法解这个不等式．

【答案】(1)①

(2)

【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；

（2）按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．

【详解】（1）解：小明的解题过程从第①步出现错误，误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2．

故答案为：①；

（2）正确解答为：，

去分母，得 ，

移项、合并同类项，得 ，

系数化为1，得．

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解不等式的方法和步骤是解题关键．

18．（2023·山东济南·统考二模）解不等式组：，并写出的所有整数解．

【答案】；0，1，2

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．

【详解】解：

解不等式①，得，

解不等式②，得.

∴原不等式组的解集为，

则的所有整数解为0，1，2.

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

19．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）点A、B是一个不完整数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是．

(1)若A、B两点到原点的距离相等，求x的值；

(2)若点B在点A的左侧，求x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点A、B是一个不完整数轴上的两点，且A、B两点到原点的距离相等列出方程求解即可；

（2）根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数列出不等式求解即可．

【详解】（1）、B是一个不完整数轴上的两点，且A、B两点到原点的距离相等

解得

（2）在数轴上，点在点的左侧

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意找出数量关系是解答本题的关键．

20．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值．

【答案】

【分析】求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值．

【详解】解：不等式，

去括号得：，

移项合并得：，

解得：，

则不等式最小的整数解为，

又不等式最小整数解是方程的解，

将代入方程得：，

解得：，

则．

【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．

21．（2023春·七年级课时练习）已知关于，的方程组．

(1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；

(2)若原方程组的解，满足，

①求的取值范围；

②求不等式组的解集．

【答案】(1)m=2

(2)①m＜；②若m≤-2，则不等式组无解，

若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．

【分析】（1）解方程组得出a=3m+2、b=m+1，代入方程2a-3b=7，解之可得；

（2）将a、b代入a+2b＜12得出m的范围，再解不等式组，根据解集分类讨论可得．

【详解】（1）解方程组得，

根据题意知2（3m+2）-3（m+1）=7，

解得：m=2；

（2）由题意知3m+2+2（m+1）＜12，

解得：m＜，

②解不等式x-m＜0，得：x＜m，

解不等式4x+3＞2x-1，得：x＞-2，

若m≤-2，则不等式组无解，

若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．

【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据题意得出关于m的方程或不等式是解答此题的关键．

22．（2023春·全国·八年级专题练习）某自行车专卖店销售A，B两种型号的自行车，其进价与售价如表

(1)一季度，自行车专卖店购进这两种型号的自行车共30辆，用去了5600元，并且全部售完，该自行车专卖店在该买卖中赚了 ___________元；

(2)为了满足市场需求，二季度自行车专卖店决定用不超过9000元的资金采购A、B两种型号的自行车共50辆，且自行车A的数量不少于自行车B的数量的，问自行车专卖店有哪几种进货方案？并说明理由；

(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖店赚钱最多？

【答案】(1)1400

(2)三种方案，见解析

(3)当时，W最大，此时购进自行车A、自行车B各25台

【分析】（1）设自行车专卖店购进自行车Ax辆，自行车By辆，根据购进这两种型号的自行车共30辆，用去了5600元列出方程求解即可；

（2）设购买自行车Aa台，则购买自行车B台，根据用不超过9000元的资金采购A、B两种型号的自行车共50辆，且自行车A的数量不少于自行车B的数量的列出不等式组，求解即可；

（3）结合（2）中的数据，根据总利润等于这两种自行车的利润之和进行求解即可．

【详解】（1）设自行车专卖店购进自行车Ax辆，自行车By辆，依题意得

，

解得，

所以，（元）．

答：自行车专卖店在该买卖中赚了1400元；

故答案为：1400；

（2）设购买自行车Aa台，则购买自行车B台，依题意得

，

解得 ．

又∵a为正整数，

∴a可取23，24，25．

故有三种方案：①购买自行车A23台，则购买自行车B27台；

②购买自行车A24台，则购买自行车B26台；

③购买自行车A25台，则购买自行车B25台．

（3）设自行车专卖店赚钱数额为W元，

当时，；

当时，；

当时，；

综上所述，当时，W最大，此时购进自行车A、自行车B各25台．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组，二元一次不等式组的应用及有理数混合运算的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．

23．（2022春·贵州遵义·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，连接OA，将线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB，连接OC，AB．

(1)直接写出B，C的坐标：B（______，______），C（______，______）；

(2)如图1，点D是y轴上的一动点，且位于直线BC上方，若，求的度数；

(3)如图2，点M，N分别是x轴和线段BC上的两个动点，点M从点O出发，以每秒2个单位长度向右运动，同时，点N从点B出发，以每秒0.5个单位长度的速度向C点运动．设运动时间为t秒（），在运动过程中，记三角形ACM的面积为，记三角形ABN的面积为，是否存在一段时间，使得，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)7，5；1，5；

(2)60°

(3)当或时，，理由见详解

【分析】（1）根据“线段OA先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到对应线段CB”即可得出结果；

（2）延长BC交y轴于点E，可得∠DCE=30°，即可求出∠ODC的度数；

（3）分别用含t的式子表示出，根据列出不等式即可求解．

（1）

解：由题意，点C、B分别由点O、A向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，

∵，

∴B（7，5），C（1，5）

故答案为：B（7，5），C（1，5）；

（2）

延长BC交y轴于点E

∴∠CED=90°

∵∠DCB=150°

∴∠DCE=180°-∠DCB=180°-150°=30°

∴∠ODC=90°-∠DCE=90°-30°=60°；

（3）

存在t使得，理由如下

由题意，BN=0.5t

∴

当时，

此时，若

则

解得

∴

当时，

此时，若

则

解得

∴

∴当或时，．

【点睛】本题考查平移，直角坐标系中的动点问题，涉及分类讨论思想，解题的关键是表示出三角形面积，根据题意列出不等式．