初中数学第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数优秀课后测评

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第22章《二次函数》
章节达标检测
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022•开福区校级二模）四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x＝2时，y＝3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：若甲、丙的结论正确，设抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+3＝6，所以乙的结论错误；
当x＝2时，y＝x2﹣2x+3＝3，所以丁的结论正确．
故选：B．
2．（2分）（2022•开福区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣，下列结论中，正确的是（　　）

A．abc＞o B．b2﹣4ac＜0 C．2b+c＞0 D．4a﹣2b+c＜0
解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＜0，b＞0，∴abc＞0，错误；
B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，错误；
C、∵﹣＝﹣，
∴b＝a，
∵x＝1时，a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，错误；
D、∵图象与x轴交于左边的点在﹣2和﹣3之间，
∴x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，正确；
故选：D．
3．（2分）（2022•雨花区校级二模）如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，那私么y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
解：由题意得，y＝（30﹣x），S＝xy＝﹣x2+15x，
所以y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系．
故选：A．
4．（2分）（2022•开福区三模）将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2，那么平移前抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2﹣2
C．y＝2（x+1）2+2 D．y＝2（x+1）2﹣2
解：∵一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2，
∴平移前抛物线的解析式是：y＝2（x﹣1）2+2．
故选：A．
5．（2分）（2021秋•望城区期末）要将抛物线y＝x2+4x+1平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
解：y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3，该抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y＝x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位．
故选：C．
6．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2．
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），﹣4＜﹣2＜＜1，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
7．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（　　）
A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）
B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．当x＝1时，y有最大值是1
解：令x＝0，则y＝（0﹣1）2+1＝2，
∴二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象与y轴的交点坐标为（0，2），
故A不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故B不符合题意；
当x＝0时，y＝2，当x＝2时y＝（2﹣1）2+1＝2，
故C符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，
故D不符合题意．
故选：C．
8．（2分）（2022春•长沙期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④正确，
故选：D．
9．（2分）（2021秋•长沙期中）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（，），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．﹣＜m≤﹣2 C．﹣4≤m≤﹣2 D．﹣≤m＜﹣
解：令ax2﹣4x+c＝x，即ax2﹣5x+c＝0，
由题意，△＝（﹣5）2﹣4ac＝0，即4ac＝25，
又方程的根为＝﹣，
解得a＝﹣1，c＝﹣，
故函数y＝ax2﹣4x+c+＝﹣x2﹣4x﹣6，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∴函数图象开口向下，顶点为（﹣2，﹣2），与y轴交点为（0，﹣6），由对称性，该函数图象也经过点（﹣4，﹣6）．
由于函数图象在对称轴x＝﹣2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2﹣4x﹣6的最小值为﹣6，最大值为﹣2，
∴﹣4≤m≤﹣2，
故选：C．

10．（2分）（2020秋•岳麓区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，即4a+b＝0，所以（1）正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以（2）错误；
∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，且对称轴为直线x＝2，
∴点A离对称轴最远，点C离对称轴的距离近，
∴y1＜y2＜y3，故（3）正确．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣3的交点横坐标x1＜﹣1，x2＞5，如图，
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．故（4）正确．
故选：B．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•长沙期中）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　x＝1　．
解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
12．（2分）（2021•开福区校级开学）若将抛物线y＝2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为　y＝2（x﹣5）2+2　．
解：y＝2x2先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝2（x﹣5）2+2，
故答案是：y＝2（x﹣5）2+2．
13．（2分）（2018•岳麓区校级开学）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为　x1＝1，x2＝﹣3　．

解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
14．（2分）（2018秋•宁乡市期中）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　①③②　．

解：①y＝3x2，
②y＝x2，
③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，
∵3＞1＞，
∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
15．（2分）（2022春•长沙期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；
③二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；④若y2＞y1，则x2＞4；
⑤一元二次方程bx2+cx﹣a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确结论的是 　①③⑤　（填序号）．

解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；

当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，所以②错误；

∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以③正确；

∵点C（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以④错误；

∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程bx2+cx﹣a＝0化为﹣2ax2﹣3ax+a＝0，
整理得2x2+3x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣，所以⑤正确．
故答案为：①③⑤．
16．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣m的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 　y3＞y2＞y1　．
解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2﹣m，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∵点A（，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在二次函数y＝2（x﹣1）2﹣m的图象上，且|﹣2﹣1|＞|2﹣1|＞|﹣1|，
∴y1、y2、y3的大小关系为：y3＞y2＞y1．
故答案为：y3＞y2＞y1．
17．（2分）（2019秋•岳麓区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝　﹣1　．

解：函数的对称轴为：x＝1，则另外一个交点在：（﹣1，0），
故答案为：﹣1；
18．（2分）（2021春•天心区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣2，则x2的最大值是 　3　．

解：∵点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，
∴当点P的坐标为（﹣1，﹣1）时，x1取得最小值﹣2，此时x2的值为0，
∴x2离对称轴的距离是1，
∴当点P的坐标为（2，﹣1）时，此时x2的最大值2+1＝3，
故答案为：3．
19．（2分）（2021•雨花区校级模拟）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在X轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 　﹣　．

解：连接OB，
∵旋转75°，
∴x轴正半轴与OA的夹角为75°，
∵∠AOB＝45°，
∴OB与x轴正半轴夹角为75°﹣45°＝30°，
过B作BD⊥x轴于D，
∵BC＝OC＝1，∴OB＝，
∴BD＝，
∴OD＝，
∴B（，），
把B点坐标代入y＝ax2中得：，
解之得：a＝．

20．（2分）（2019•岳麓区校级开学）若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝　﹣1　．

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．
故答案为﹣1．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2021春•天心区期末）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
22．（6分）（2019春•雨花区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣4
0
8
…
（1）试确定该抛物线的对称轴及当x＝﹣3时对应的函数值；
（2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
解：（1）由图表中的数据知，当x＝﹣1与x＝0所对应的函数值相等，则其对称轴方程x＝＝﹣，由图象的对称性质知当x＝﹣3与x＝2时所对应的函数值相等，即当x＝﹣3时对应的函数值是8；

（2）根据表格中的数据知，抛物线与x轴的两交点坐标是（﹣2，0）、（1，0），故设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1）（a≠0），
将点（0，﹣4）代入，得a（0+2）（0﹣1）＝﹣4
解得a＝2
故该抛物线解析式是：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4，即y＝2x2+2x﹣4．
23．（6分）（2019春•天心区校级期末）关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•（0+1）（0﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）．
24．（6分）（2019•岳麓区校级开学）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x部，
（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？
（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？
解：（1）根据题意，（50+x）（160﹣2x）＝8400，
解得x1＝10，x2＝20，
所以第二期甲种手机售完后的利润为8400元，甲种手机应该增加10或20部；
（2）W＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+8450，
当x取15时，第二期进的甲手机售完后获得的总利润W最大，最大总利润是8450元．
25．（6分）（2019•岳麓区校级开学）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如表：
x
10
12
14
16
y
300
240
180
m
（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值．
（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为　75　个，此时，获得日销售利润是　862.5　．
（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），
，
解得：，
∴y＝﹣30x+600，
当x＝16时，m＝120；
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600，m的值为120；

（2）﹣30×17.5+600
＝﹣525+600
＝75（个）；
（17.5﹣6）×75
＝11.5×75
＝862.5（元）．
故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；
故答案为：75，862.5；

（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，
解得x≥15．
w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600，
w＝﹣30x2+780x﹣3600的对称轴为：x＝﹣＝13，
∵a＝﹣30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x＝15时，w最大＝1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
26．（6分）（2022•长沙模拟）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．当销售单价定为46元时，每天可售出400个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于50%．设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
解：（1）设当每个纪念品的销售单价是x元时，商家每天获利4800元，
由题意得：（x﹣40）[400﹣10×（x﹣46）]＝4800，
解得，x1＝70，x2＝56，
当x＝70时，利润率为×100%＞50%不符合题意，故舍去；
当x＝56时，利润率为×100%＜50%符合题意，
答：当每个纪念品的销售单价是56元时，商家每天获利4800元；
（2）由题意得：
w＝（x﹣40）[400﹣10×（x﹣46）]
＝﹣10x2+1260x﹣34400
＝﹣10（x﹣63）2+5290，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，且当x＝63时，利润率为×100%＞50%，当x＝60时，利润率为×100%＝50%，
∴当40＜x＜60时，w随x的增大而增大，
故当x＝60时，符合题意，且利润最大，最大利润为w＝﹣10（60﹣63）2+5290＝5200元．
答：将纪念品的销售单价定为60元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是5200元．
27．（7分）（2021秋•雨花区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．

∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点为（0，2），
∴c＝2．
28．（8分）（2021春•开福区校级月考）如图，已知直线与二次函数y＝ax2的图象交于A（﹣1，1）、B（2，4）两点，与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）试判断△OAB的形状并证明．

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
直线AB的解析式为y＝x+2，
将A（﹣1，1）代入y＝ax2，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）令x＝0，则y＝2，
∴D（0，2），
∴OD＝2，
∴S△ABO＝×2×（2+1）＝3；
（3）∵A（﹣1，1）、B（2，4），
∴AB2＝32+32＝18，OA2＝12+12＝2，OB2＝22+42＝20，
∴AB2+OA2＝OB2，
∴△OAB是直角三角形．
29．（9分）（2021•天心区模拟）定义：与坐标轴不重合的直线l交x，y轴于A、B两点（A、B不重合），若抛物线L过点A和点B，则称此抛物线L为直线l的“和谐线”，如图L1，L2均为直线l的“和谐线”．
（1）已知直线的解析式为y＝﹣x+4，则下列抛物线是直线l的“和谐线”的有　①③　．①y＝x2﹣5x+4
②y＝2x2﹣7x﹣4
③
（2）已知直线y＝kx+b的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点M，N，求线段MN的长．
（3）已知直线y＝﹣cx+c（c≠0）的“和谐线”为y＝ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求该“和谐线”在x轴上所截线段长d的取值范围．

解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴交点坐标（4，0），与y轴交点坐标（0，4），
把两点坐标代入①②③函数关系式，得到①③函数都经过这两点，
∴抛物线①③是直线l的“和谐线”，
故答案为①③；
（2）令x＝0，得y＝﹣1；
令y＝0，得＝0，
解得，x＝2，
∴抛物线与x，y轴的交点分别为（2，0）及（0，﹣1），
把两点坐标代入y＝kx+b，
得，
∴直线为：，
联立直线与双曲线的解析式，
解方程组得 或，
∴两交点坐标为（﹣2，﹣2）及（4，1），
∴MN＝＝；
（3）令y＝0，得ax2+bx+c＝0，
设方程两根为x1，x2，
∴d＝|x1﹣x2|＝，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴，
∵直线y＝﹣cx+c（c≠0）过点（1，0），
代入y＝ax2+bx+c中，
得a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
代入d中得＝＝＝||＝|2+|，

∵a+b+c＝0，a＞b＞c，
∴a＞b＞﹣a﹣b，a＞0，
则，
∴＜2+＜3，
∴