人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀课后复习题

2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第21章《一元二次方程》

21.2 解一元二次方程

知识点1：解一元二次方程-直接开平方法

【典例分析01】（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 　m＜0　．

解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，

故答案为：m＜0．

【变式训练1-1】（2021秋•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（　　）

A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25

【变式训练1-2】（2022春•玄武区期末）方程（x﹣1）2＝6的解是                               

【变式训练1-3】（2022•清镇市模拟）（1）化简；（m+1）（m﹣1）﹣m2．

（2）小华在解方程（x+6）2﹣9＝0，解答过程如下；

解，移项，得（x+6）2＝9……第一步

两边开平方，得x+6＝3………第二步

所以x＝﹣3……第三步

小华的解答从第 　         　步开始出错，请写出正确的解答过程．

【变式训练1-4】（2021秋•双流区期末）（1）计算：（）﹣1﹣（﹣1）2022+（1﹣π）0﹣；

（2）解方程：（x+1）2＝3（x+1）．

知识点2：解一元二次方程-配方法

【典例分析02】（2021秋•慈利县期末）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）

A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10

解：∵x2﹣6x﹣1＝0，

∴x2﹣6x＝1，

∴（x﹣3）2＝10，

故选：B．

【变式训练2-1】（2022春•天桥区期末）（1）因式分解：a2b﹣8ab+16b；

（2）解方程x2﹣2x﹣6＝0．

【变式训练2-2】（2022春•慈溪市期末）将一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为 　          

【变式训练2-3】（2022•宁阳县一模）当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是    

【变式训练2-4】（2022•安次区一模）已知方程2x﹣1＝3的解为k，请用配方法解关于x的方程x2+kx﹣3＝0．

知识点3：解一元二次方程-公式法

【典例分析03】（2022•沂南县二模）方程x（x﹣1）＝2的两根为（　　）

A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2

解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，

a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2

△＝1+8＝9＞0

∴x＝

解得x1＝﹣1，x2＝2．故选：D．

【变式训练3-1】（2021秋•六盘水期中）以x＝为根的一元二次方程可能是（　　）

A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0

【变式训练3-2】（2022•海曙区一模）代数式x2﹣2x与4x的值相等，则x的值为 　               

【变式训练3-3】（2021秋•青山区校级月考）方程2y2+4y＝y+2的解为 　                    

【变式训练3-4】（2022春•江汉区期末）（1）计算：；

（2）解方程：x2﹣3x+1＝0．

知识点4：解一元二次方程-因式分解法

【典例分析04】（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“＜”或“＞”填空：a　＜　b，ab　＜　0；

（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．

①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．

解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，

∴a＜b，ab＜0．

故答案为：＜，＜．

（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，

Δ＝22﹣4×1×（﹣1）

＝4+4

＝8，

∴x＝

＝

＝

＝﹣1±．

∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；

②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，

∴x（x﹣3）＝0．

∴x1＝0，x2＝3；

③利用配方法：x2﹣4x＝4，

两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，

∴（x﹣2）2＝8．

∴x﹣2＝±2．

∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；

④利用因式分解法：x2﹣4＝0，

∴（x+2）（x﹣2）＝0．

∴x1＝﹣2，x2＝2．

【变式训练4-1】（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）

A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 

C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3

【变式训练4-2】（2022春•雁塔区校级期末）一元二次方程3x2＝6x的根 　              

【变式训练4-3】（2022•德城区一模）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则该直角三角形的面积是                       

知识点5：换元法解一元二次方程

【典例分析05】（2021•三台县模拟）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为 　1　．

解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．

整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．

解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．

即x2﹣2x+1的值为1．

故答案为：1．

【变式训练5-1】（2019秋•孝南区月考）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（　　）

A．±2 B．0或﹣4 C．0 D．2

【变式训练5-2】（2021秋•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝　       ．

【变式训练5-3】（2021秋•潍坊期中）解下列关于x的方程：

（1）3x2﹣54＝0；

（2）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）；

（3）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝8．

知识点6：根的判别式

【典例分析06】（2022春•余姚市期末）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．

（2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，

故不论k取何实数，该方程总有实数根；

（2）解：依题意有Δ＝（k﹣3）2＝0，则k＝3，

将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．

解得x1＝x2＝3．

故△ABC的周长是2+3+3＝8．

【变式训练6-1】（2022春•西湖区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≤I B．m≥1 C．m≥﹣1 D．m≤﹣1

【变式训练6-2】（2022春•包河区期末）已知一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的

值为             ．

【变式训练6-3】（2022•青浦区模拟）如果关于x的方程2x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围

是 　                

知识点7：根与系数的关系

【典例分析07】（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　2　．

解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，

∴x12＝2x1﹣k+1，

∵+＝x12+2x2﹣1，

∴＝2（x1+x2）﹣k，

∴＝4﹣k，

解得k＝2或k＝5，

当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；

当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；

∴k＝2，

故答案为：2．

【变式训练7-1】（2021秋•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5

【变式训练7-2】（2022春•拱墅区期末）若方程x2﹣ax+b＝0（a，b为常致，且a≠0）的一个解是x＝a，则另一个解是        　．

【变式训练7-3】（2022春•肇源县期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝36求m的值．

知识点8：配方法的应用

【典例分析08】（2021•鼓楼区校级开学）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：依题意得：，

解得，

∵x≤y，

∴a2≤6a﹣9，

整理，得（a﹣3）2≤0，

故a﹣3＝0，

解得a＝3．

故选：C．

【变式训练8-1】（2022春•金水区校级期末）在学习中小明发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．

（1）小明的猜想正确吗？请举例说明．

（2）如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时n2﹣6n不是负数？请说明理由．

【变式训练8-2】（2022春•南京期末）代数式x2﹣6x+25的最小值是           　．

【变式训练8-3】（2021•永吉县二模）把x2﹣6x+11变形为（x﹣3）2+m的形式，则m的值为 　     　．

【变式训练8-4】（2022春•南京期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．

例如，求代数式x2+2x+3的最小值

解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．

∵（x+1）2≥0，

∴（x+1）2+2≥2．

∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．

（1）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值．

（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．