人教版九年级上册22.1.1 二次函数优秀测试题

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第22章《二次函数》
章节达标检测
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021•雨花区一模）下列关于二次函数y＝4（x﹣3）2﹣5的说法，正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣3
B．当x＝3时有最小值﹣5
C．顶点坐标是（3，5）
D．当x＞3时，y随x的增大而减小
解：由二次函数y＝4（x﹣3）2﹣5可得对称轴为直线x＝3，顶点为（3，﹣5），当x＞3时，y随x的增大而增大，
则A、C、D错误，
故选：B．
2．（2分）（2021•天心区开学）已知x＝t﹣1，y＝t+3，且﹣2≤t≤2，令S＝xy，则函数S的取值范围是（　　）
A．﹣4≤S≤5 B．﹣3≤S≤5 C．﹣4≤S≤﹣3 D．﹣4≤S≤0
解：∵x＝t﹣1，y＝t+3，
∴S＝xy＝（t﹣1）（t+3）＝t2+2t﹣3＝（t+1）2﹣4，
∴当t＝﹣1时，有最小值﹣4，
∵﹣2≤t≤2，
∴当t＝2时，有最大值5，
∴函数S的取值范围是﹣4≤S≤5，
故选：A．
3．（2分）（2021•岳麓区模拟）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，
∵m≤﹣，
∴当m＝﹣时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣﹣）2﹣＝，
故选：B．
4．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
5．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4；
⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．
其中正确结论的个数是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确的．
故答案为：①②③④⑥．
故选：B．

6．（2分）（2021秋•长沙县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
①∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵b＝﹣2a，
∴4a+2b+c＝4a+2×（﹣2a）+c＝4a﹣4a+c＝c＞0．
故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．
∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．
故③正确；
④∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n），
∴当y＝n时，x＝﹣3或5．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．
故选：C．
7．（2分）（2021•天心区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝﹣（t﹣3）2+40，
解得t＝3±，故③错误；
④令t＝2，则h＝﹣（2﹣3）2+40＝m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
8．（2分）（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
9．（2分）（2021•望城区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）之间（包含端点），顶点D的坐标为（1，n）．则下列结论：其中结论正确的个数为（　　）
①3a+c＝0；
②＜a＜1；
③对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵顶点D的坐标为（1，n）．
∴对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是b＝﹣2a；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，将b＝﹣2a代入得；a+2a+c＝0，即3a+c＝0；因此①正确；
由a﹣b+c＝0得，c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a；
∵抛物线与y轴的交点B在点（0，﹣2）与点（0，﹣3）之间，
∴﹣3≤c≤﹣2，即：﹣3≤﹣3a≤﹣2，
∴≤a≤1，因此②不正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＝n，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，（m为任意实数），
∵（1，n）为顶点坐标，
∴a+b+c≤am2+bm+c，即：a+b≤am2+bm，因此③正确，
∵a＞0，顶点为（1，n），
当y＝n时，关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，即：x1＝x2＝1，
当y＝n+1时，关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
10．（2分）（2015•长沙县校级自主招生）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）

A．AD＝BE＝5cm
B．cos∠ABE＝
C．当0＜t≤5时，
D．当秒时，△ABE∽△QBP
解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故A正确；

又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，故B错误；

如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故C正确；

当秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：B．


二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•长沙县期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为 　　米．

解：建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（2，0）和（2，0）代入得，
，
解得：a＝﹣，c＝2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
把y＝1代入得：x＝±，
则水面的宽度是2米．
故答案为：2．
12．（2分）（2021•天心区开学）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有　①③④　．

解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴m＜﹣3，③正确；
∵a＞0，b＝﹣2a，
∴3a+b＝a＞0，④正确．
故答案为：①③④．
13．（2分）（2021•雨花区校级二模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝　3或　．
解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故答案为：3或．
14．（2分）（2021秋•望城区期末）已知二次函数y＝x2+（m﹣3）x+m+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m≥1　．
解：∵y＝x2+（m﹣3）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＞﹣时，y随x增大而增大，
∴1≥﹣，
解得m≥1，
故答案为：m≥1．
15．（2分）（2020秋•雨花区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：
①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．
其中所有正确结论的序号是　①②③④⑤　．

解：①x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确，符合题意；
②抛物线与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③对称轴在y轴右侧，则ab＞0，而c＞0，故abc＞0正确，符合题意；
④由函数的对称性知，x＝﹣2和x＝0对称，故x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，正确，符合题意；
⑤c＝1，a＜0，故c﹣a＞1，正确，符合题意．
故答案为：①②③④⑤．
16．（2分）（2019秋•宁乡市期末）如图，点A、B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点D的横坐标的最大值为8，则点C的横坐标的最小值为 　﹣3　．

解：∵抛物线的顶点在线段AB上运动，点D的横坐标的最大值为8，
∴抛物线的顶点为B（4，4），此时点D（8，0）．
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
∴a（8﹣4）2+4＝0，
解得：a＝﹣．
由题意可得当抛物线的顶点在点A处时，点C的横坐标取最小值．
∵抛物线平移过程中a的值不变，
∴抛物线的顶点移动到点A出时的抛物线的解析式为y＝﹣，
令y＝0，则﹣＝0，
解得：x＝﹣3或5．
∵C在D的左侧，
∴点C的横坐标的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
17．（2分）（2020秋•开福区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1且经过点（﹣1，0），则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．正确结论的是　①②③　（填序号）．

解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故结论①正确；
∵抛物线开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故结论②正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴，即b＝﹣2a，
由图象可知：当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＞0，
∴8a+c＞0，故结论③正确；
∵对称轴为直线x＝1，过点（﹣1，0），
∴抛物线过点（3，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，故结论④错误；
故答案为①②③．
18．（2分）（2019•开福区校级三模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
解：二次函数y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝﹣＝﹣＝2，
x1＜2＜x2，则A、B在对称轴两侧，
x1+x2＞4，则（x1+x2）＞2，即B离对称轴的距离比A离对称轴的距离远，
而a＝1＞0，抛物线开口向上，故y2大于y1，
故答案为：＜．
19．（2分）（2019•长沙县校级开学）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有　①③④⑤　（填写所有正确结论的序号）．

解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；

③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确

⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
20．（2分）（2019秋•开福区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④；⑤b＜c．其中正确结论有 　①④　．

解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；

②当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，故②错误；

③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴当＜﹣2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
∴4ac﹣b2＜8a，结论成立，
当≥﹣2，结论不成立，
∴③错误；

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∵x1x2＝＝﹣3，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴；
故④正确；

⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a＝b﹣c，
∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤错误；
综上所述，正确的有①④，
故答案为：①④．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（4分）（2021秋•长沙期中）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
所以y＝﹣x2+4x+5；

（2）因为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
则P点坐标为（2，9），
所以△ABP的面积＝×6×9＝27．
22．（5分）（2021秋•长沙期中）某商店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件80元的售价出售，一天可售出50件．后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低1元，其销售量可增加5件．
（1）该商店销售这种商品原来一天可获利多少元？
（2）若此商店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？
（3）当该商店的商品每件售价为多少元时，一天所获利润最大？求出最大利润．
解：（1）∵某店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件80元的售价出售，一天可售出50件，
∴该店销售该商品原来一天可获利润为：（80﹣60）×50＝1000（元），
∴该商店销售这种商品原来一天可获利1000元；
（2）设该商品降价x元，则有：（80﹣60﹣x）（50+5x）＝1080，
整理得：x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
又∵尽量多增加销售量，
∴x＝8．
∴每件商品的售价应降价8元；
（3）设该商店一天的利润为y元，
由题意，得：y＝（80﹣60﹣x）（50+5x）
＝﹣5x2+50x+1000
＝﹣5（x﹣5）2+1125，
∵﹣1＜0，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为1125，
此时售价为80﹣5＝75（元），
答：该商品每件售价为75元时，该店一天所获利润最大，最大利润为1125元．
23．（6分）（2021•天心区开学）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
24．（6分）（2020•雨花区二模）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，设AE＝x，BF＝y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由．

解：（1）把点A（﹣2，0）和C（0，）代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
∴y＝x2+x+；
（2）当y＝0时，x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0）、B（6，0），
∴AB＝8，
∴对称轴为直线x＝＝2，
当x＝2时，y＝×22+×2+＝3，
∴D（2，3），
∴AD＝5，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠DEB是△ADE的外角，
∴∠DEB＝∠DAE+∠ADE，
∴∠DEF+∠FEB＝∠DAB+∠ADE，
∵∠DEF＝∠DAB，
∴∠FEB＝∠ADE，
∴△BEF∽△ADE，
∴，
∵AE＝x，BF＝y，
∴，
∴y＝﹣x2+x；
（3）可能，
∵A（﹣2，0）、B（6，0），D（2，3），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立，
当DE＝EF时，
∵△BEF∽△ADE，
∴△BEF≌△ADE，
∴BE＝AD＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，
∴BF＝AE＝3，
∴DF＝BD﹣BF＝5﹣3＝2，
当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠BDA，
∴△FDE∽△DAB，
∴，
∴，
∵△BEF∽△ADE，
∴，
∴EB＝AD＝，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣＝，
∴BF＝AE＝×＝，
∴DF＝BD﹣BF＝5﹣＝，
综上所述，DF的长为2或．
25．（6分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．
（1）求线段BD的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．

解：（1）当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，则（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴D（﹣1，0），B（3，0），
∴BD＝4；故答案为：4．
（2）连接AO，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴S△CAB＝S△OAB+S△OCA﹣S△OCB＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．
（3）连接BC交对称轴与点P，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵B点与D点关于对称轴x＝1对称，
∴DP＝PB，
∴PC+PD＝PC+BP≥BC，
∴当P、B、C三点共线时，PC+PD的值最小，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，
∴PC+PD的最小值即BC＝．

26．（6分）（2021•开福区校级二模）在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y＝ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标；
（2）若抛物线L1：y＝ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y＝ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为　y＝﹣ax2+bx　；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．

解：（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，
得，解得：．
∴抛物线L的解析式为y＝+2x，
∴它的特征点为（，2）．
（2）①∵抛物线L1：y＝ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，
∴抛物线L2的解析式为﹣y＝a（﹣x）2+b（﹣x），即y＝﹣ax2+bx．
故答案为：y＝﹣ax2+bx．
②∵抛物线L2的对称轴为直线：x＝﹣＝．
∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a＝，
∴a与b的关系式为b＝2a2．
③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，
∴在抛物线L1：y＝ax2+bx中，令y＝0，即ax2+bx＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝0（舍去），
即点M（﹣，0）；
在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx中，令y＝0，即﹣ax2+bx＝0，
解得：x1＝，x2＝0（舍去），
即点N（，0）．
∵b＝2a2，
∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）．
∴MN＝2a﹣（﹣2a）＝4a，MC＝，NC＝．
因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：
（i）MC＝MN，此时有：＝4a，即9a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±，
∵a＜0，
∴a＝﹣；
（ii）NC＝MN，此时有：＝4a，即a2+4a4＝16a2，
解得：a＝0，或a＝±，
∵a＜0，
∴a＝﹣；
（iii）MC＝NC，此时有：＝，即9a2＝a2，
解得：a＝0，
又∵a＜0，
∴此情况不存在．
综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为﹣或﹣．
27．（8分）（2022•雨花区校级二模）在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为雅对称，其中一点叫做另一点的雅点．如点（﹣2，4），（1，﹣4）互为雅对称，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）直线y＝x﹣1上是否存在点A的雅对称点？若存在，求出点A的雅点，若不存在，请说明理由．
（2）若点A的雅点B恰好落在反比例函数的图象上，且△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A互为雅对称，且这两个点之间的距离不超过6，请求出a的取值范围．
解：（1）存在，
由雅对称点的定义可得，点A（2，1）的雅对称点的纵坐标为﹣1．将y＝﹣1代入y＝x﹣1得，﹣1＝x﹣1．
解得x＝0，
∴存在，点A的雅点为（0，﹣1）；

（2）由题意得，点B的纵坐标为﹣1，
设B（m，﹣1），
当k＞0时，
分别过点A、B作AM⊥x轴，作BN⊥y轴，AM、BN交于点M，

由题意得，BN＝﹣m，AM＝2，ON＝1，NM＝2，
∴S△AOB＝S△ABM﹣S△OBN﹣S梯形AMNO，
即×2（2﹣m）﹣×1×（﹣m）﹣×（2+1）×2＝3．
解得m＝﹣8，
∴B（﹣8，﹣1），
代入反比例函数y＝得k＝8；
当k＜0时，
分别过点A、B作AM⊥y轴于M，作BN⊥y轴于N，

由题意得，OM＝ON﹣1，AM＝2．BN＝m，
∴S△AOB＝S梯形AMNO﹣S△OBN﹣S△AOM，
即×2×（2+m）﹣×1•m﹣×1×2＝3，
解得m＝4，
∴B（4，﹣1），
代入反比例函数y＝得k＝﹣4．
综上，k的值为8或﹣4；

（3）令y＝﹣1，则ax2﹣2ax﹣3a＝﹣1，
∴ax2﹣2ax﹣3a+1＝0，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上恰有两个点与点A关于x轴纵对称，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+1）＝16a2﹣4a＞0，
∴4a2﹣a＞0，
设两个点的横坐标分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|≤6，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2≤36，
∴4﹣4×≤36，
∴1﹣≤9，
①当a＞0时，
1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，
解得a≥﹣，且a＞，
∴a＞；
∵与点A（2，1）关于x轴纵对称，
∴这两个点不能是（2，﹣1），
将（2，﹣1）代入ax2﹣2ax﹣3a＝0得，
4a﹣4a﹣3a＝﹣1，解得a＝，
∴a≠，
∴a＞且a≠；
②当a＜0时，
1﹣≤9，且4a2﹣a＞0，
解得a≤﹣，且a＜，
∴a≤﹣；
综上，a的取值范围为a＞且a≠或a≤﹣．
28．（9分）（2022•岳麓区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）Q为y轴上一点，当△APQ周长最小时，求点Q的坐标及△APQ周长的最小值；
（3）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标．
解：（1）∵顶点P的坐标为（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
将点（0，0）代入，4a﹣1＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣x；
（2）作P点关于y轴的对称点P'，连接P'A交y轴于点Q，点Q即为所求点，
∵PQ＝P'Q，
∴△APQ周长＝AP+AQ+PQ＝AP+AQ+P'Q≥AP+AP'，
∴当点A、P'、Q三点共线时，△APQ周长最小，
∵P（2，﹣1），
∴P'（﹣2，﹣1），
令y＝0，则x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AP'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），
∵AP＝，AP'＝，
此时△APQ周长的最小值为+；
（3）∵点B的横坐标与纵坐标相等，B点在抛物线上，
∴x2﹣x＝x，
解得x＝8或x＝0，
∴B（8，8）或B（0，0），
当B（0，0）时，如图2，过点C作CE⊥x轴交于点E，过点P作PQ⊥x轴交于点Q，
在Rt△APQ中，PQ＝1，AP＝2，
∴tan∠PAQ＝，
∵∠ABC＝∠OAP，
∴tan∠ABC＝，
设C（t，t2﹣t），
∴＝，
解得t＝2（舍）或t＝6，
∴C（6，3）；
当B（8，8）时，如图3，过点A作AB⊥AD交BC于点D，
∴tan∠ABD＝，
∴＝，
∵A（4，0），B（8，8），
∴AB＝4，
∴AD＝2，
过B点作BF⊥x轴交于F点，过D点作DG⊥x轴交于G点，
∴△ABF∽△DAG，
∴＝＝，
∴AG＝4，DG＝2，
∴G点与O点重合，
∴D（0，2），
设直线BD的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝x+2，
联立方程组，
解得或（舍），
∴C（﹣1，）；
综上所述：C点坐标为（6，3）或（﹣1，）．



29．（10分）（2022•长沙县一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（O，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，点F为线段BE的中点，点P，Q分别为x轴，y轴上的动点，当四边形EFPQ的周长取最小值时，求P，Q两点的坐标．


解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵抛物线经过点C（O，6），
∴4a+8＝6．
∴a＝﹣．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+8＝﹣+2x+6．
（2）△BCE的形状是直角三角形，理由：
令y＝0，则﹣+2x+6＝0．
解得：x＝6或﹣2．
∴B（6，0），A（﹣2，0）．
∴OB＝6．
∵C（O，6），
∴OC＝6．
∴BC＝＝6．
过点E作ED⊥OB于点D，过点C作CF⊥ED与点F，如图，
则四边形OCFD为矩形．
∴FD＝OC＝6．

∵E（2，8），
∴OD＝2，DE＝8，CF＝2．
∴EF＝DE﹣DF＝2，
BD＝OB﹣OD＝4．
∴CE2＝CF2+EF2＝8，BE2＝DE2+DB2＝82+42＝80．
∵BC2＝72，
∴BC2+CE2＝BE2．
∴∠ECB＝90°．
∴△BCE的形状是直角三角形．
（3）作点E关于y轴的对称点E′，点F关于x轴的对称点F′，连接E′F′，分别交x轴，y轴于点P，Q，如图，

则此时四边形EFPQ的周长取最小值；
令y＝0，则﹣+2x+6＝0．
解得：x＝6或﹣2．
∴B（6，0），A（﹣2，0）．
∵E（2，8），
∴F（4，4）．
∴F′（4，﹣4）．
∵E（2，8），
∴E′（﹣2，8）．
设直线E′F′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线E′F′的解析式为y＝﹣2x+4．
令x＝0，则y＝4，
∴Q（0，4）．
令y＝0，则x＝2．
∴P（2，0）．
综上，当四边形EFPQ的周长取最小值时，求P，Q两点的坐标分别为（2，0），（0，4）