初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课后测评

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第21章《一元二次方程》
21.3 实际问题与一元二次方程

一．选择题
1．（2022春•慈溪市期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这（1+x）名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了，根据以上情景，可列方程为（　　）
A．x+（x+1）x＝36 B．1+x+（1+x）x＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36
解：根据题意，得1+x+（1+x）x＝36，
故选：B．
2．（2022•衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（　　）
A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000
B．（40+x）（500﹣10x）＝8000
C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000
D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000
解：设这种商品每件涨价x元，则销售量为（500﹣10x）件，
根据题意，得：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
故选：C．
3．（2022•海口二模）某商品经过两次降价，每件零售价由25元降为16元，则平均每次降价的百分率是（　　）
A．20% B．25% C．30% D．36%
解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或x＝1.8（不合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为20%，
故选：A．
4．（2022•浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　）

A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm
解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，
根据题意，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，
解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6，
∴这张长方形纸板的长为30厘米，
故选：B．
5．（2022•淅川县一模）以2008年我国第一条设计时速350千米的京津城际铁路建成运营为标志，一大批高铁相继建成投产，“高铁里程世界第一”支撑起一个充满繁荣与发展活力的“流动中国”．据统计，从2019年至2021年我国高铁的运营总里程由3.5万千米增加到4万千米．设我国2019年至2021年高铁总里程的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3.5（1+x）2＝4
B．3.5（1+2x）＝4
C．3.5×2（1+x）＝4
D．3.5+3.5（1+x）+3.5（1+x）2＝4
解：设我国2019年至2021年高铁总里程的年平均增长率为x，
由题意得：3.5（1+x）2＝4．
故选：A．
6．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　）

A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
解：∵AD＝AC＝，
∴AB＝AD+BD＝+BD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（）2+b2＝（+BD）2，
∴+b2＝+aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
7．（2022春•福州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．20% B．25% C．30% D．35%
解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：2000（1+x）2＝3380，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故选：C．
8．（2021秋•薛城区期末）骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2018年到2020年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是（　　）
A．10% B．20% C．30% D．40%
解：设我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是x，
由题意得：18（1+x）2＝30.42，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去），
答：我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是30%，
故选：C．
9．（2021秋•綦江区期末）某市某楼盘准备以6000元/m2的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以4860元/m2的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．11% B．10% C．9% D．8%
解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2＝4860，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：B．
二．填空题
10．（2022•山西模拟）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为xcm，则根据题意可列方程 　（3﹣x）（5﹣2x）＝6　．

解：设剪去的正方形的边长为xcm．则列出的方程是（3﹣x）（5﹣2x）＝6，
故答案为：（3﹣x）（5﹣2x）＝6．
11．（2022•市南区一模）某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为 　4+2.6（1+x）2＝7.146　．
解：由题意，得
4+2.6（1+x）2＝7.146，
故答案为：4+2.6（1+x）2＝7.146．
12．（2022•沈阳模拟）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为 　55　元．
解：设每件工艺品售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天的销售量为100﹣2（x﹣50）＝（200﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（200﹣2x）＝1350，
整理得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．
∴每件工艺品售价应为55元．
故答案为：55．
13．（2022•阳信县一模）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 　4　人．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝25，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了4人．
故答案为：4．
14．（2022•山西模拟）2021年7月29日，山西省政府新闻办举行新闻发布会，2020年山西省教育经费支出首次突破700亿元，达到733.4亿元，成为继社会保障支出后的第二大支出．据有关资料显示，2018年山西省教育经费支出为668.96亿元．若2019，2020这两年山西省教育经费支出的年平均增长率相同，求这两年的年平均增长率，若设这两年的年平均增长率为x，则根据题意，可列方程为 　668.96（1+x）2＝733.4　．
解：根据题意，可列方程为：668.96（1+x）2＝733.4，
故答案为：668.96（1+x）2＝733.4．
15．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 　2　．
解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，
依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x1＝4+，x2＝4﹣，
当x＝4+时，2×（3+1）﹣x＝4﹣＜4+，符合题意；
当x＝4﹣时，2×（3+1）﹣x＝4+＞4﹣，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为＝2．
故答案为：2．
16．（2022•市中区二模）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 　10%　．
解：设年平均增长率为x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2420，
解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
即：年平均增长率为10%．
故答案是：10%．
17．（2021秋•泗阳县期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．则二月份、三月份营业额的平均增长率为 　20%　．
解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2＝288，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故答案是：20%．
三．解答题
18．（2022•五通桥区模拟）某蔬菜店以每千克2元的价格购进某种绿色蔬菜若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种蔬菜每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出260千克，蔬菜店决定降价销售．若将这种蔬菜每千克售价降低x元．
（1）每天的销售量是 　（100+200x）　千克（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种蔬菜要想每天盈利300元，每千克的售价需降低多少元？
解：（1）依题意得：若将这种蔬菜每千克售价降低x元，每天的销售量是100+20×＝（100+200x）千克．
故答案为：（100+200x）；
（2）依题意得：（4﹣x﹣2）（100+200x）＝300，
整理得：2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝1．
当x＝0.5时，100+200x＝100+200×0.5＝200＜260，不符合题意，舍去；
当x＝1时，100+200x＝100+200×1＝300＞260，符合题意．
答：每千克的售价需降低1元．
19．（2022•沈阳二模）某种服装，平均每天可销售15件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，该店采取了降价措施，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每降低1元，平均每天可多售出3件，如果每天要赢利1050元，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可销售（15+3x）件，
依题意得：（40﹣x）（15+3x）＝1050，
整理得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：每件应降价5元．
20．（2022•靖西市模拟）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．
解：（1）设B产品的销售单价为y元，则A产品的销售单价为（y+100）元，由题意得：
y+100+y＝300，
解得：y＝100，
∴y+100＝200．
答：A产品的销售单价为200元，B产品的销售单价为100元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，由题意得：
200（1+a%）t+100（1+2a%）（1﹣a%）t＝300（1+a%）t，
设a%＝n，则原方程可化简为2n2﹣n＝0，
解得：n1＝，n2＝0（不合题意，舍去），
∴n＝，
∴a＝50．
答：a的值为50．
21．（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学教杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864平方步，宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上问题）
解：设矩形田地的宽为x步，则长为（x+12）步，
依题意得：（x+12）x＝864，
整理得：x2+12x﹣864＝0，
解得：x1＝24，x2＝﹣36（不合题意，舍去），
∴x+12＝24+12＝36．
答：矩形田地的长为36步，宽为24步．
22．（2022•九龙坡区模拟）重庆地铁18号线一共设站29座，总投资约102亿元．其中，杨家坪与石坪桥区间标段隧道总长1000米，由于此标段经过商圈和高层密集区域，隧道挖掘难度大．为了协助九龙坡区争创“全国文明城区”，尽快完成标段的施工，施工单位加快了此标段隧道挖掘速度．
（1）若施工单位将挖掘速度提升到了原速度的倍，则比原计划提前50天完成隧道挖掘任务．求原计划每天挖掘隧道多少米？
（2）2021年初工程队开始进行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖据隧道的费用为40万元．隧道挖通后，施工单位进行其他项目的施工，到2021年底，其他项目施工总费用为2000万元．为了尽快完成所有工程，施工单位计划在2021年总投资额（即挖掘隧道总费用和其他项目总费用之和）基础上继续增加投资额，预计从2021年初到2023年底，三年累计共完成4.75亿元的投资额．设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，求m的值．
解：（1）设原计划每天挖掘隧道x米，则加快挖掘速度后每天挖掘隧道x米，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天挖掘隧道4米．
（2）施工单位在2021年总投资额为40×（﹣50）+2000＝10000（万元），
10000万元＝1亿元．
设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，则2022年的总投资额为（1+m）亿元，2023年的总投资额为（1+m）2亿元，
依题意得：1+（1+m）+（1+m）2＝4.75，
整理得：m2+3m﹣1.75＝0，
解得：m1＝0.5＝50%，m2＝﹣3.5（不合题意，舍去）．
答：m的值为50%．
23．（2022•南京模拟）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．
（1）第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？
（2）该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
解：（1）设第一次每盒医用外科口罩进价x元，则第二次进价（x+5）元，
根据题意，得，
解得x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒医用外科口罩的进价是35元．
（2）设降价m元，
第二次进价为35+5＝40（元），
根据题意，得（60﹣40﹣m）（300+30m）＝6480，
解得m＝8或m＝2，
∵为了便民利民，
∴m＝8，
∴300+30×8＝540（盒），
答：该网店这星期销售该款口罩540盒．
24．（2022春•江汉区期末）某中学计划租用客车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示．设租车总费用为y元，租用甲型客车x辆．

甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）共需租 　8　辆客车；
（2）若学校计划租车总费用在3200元的限额内，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）因燃油价格上涨，甲型客车每辆租金上调m元，乙型客车每辆租金上调2m元（m＞0），若租车的最低费用是3200元，求m的值．
解：（1）如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝7（辆），
如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝10（辆），
∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，
∴共需租8辆汽车．
故答案为：8；
（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆，
则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240，
∵，
解得5≤x≤8，
∵x为整数，
∴x＝6或7或8．
故y关于x的函数解析式是y＝120x+2240，自变量x的取值范围是x＝6或7或8；
（3）依题意有：（400+m）x+（280+2m）（8﹣x）＝3200，
解得x＝8﹣，
∵x为整数，
∴m＝24或40或56．
故m的值为24或40或56．
25．（2022•贵阳模拟）2021年某园林绿化公司购入一批香樟树，全部售出后利润率为20%．
（1）求2021年每棵香樟树的售价与成本的比值；
（2）2022年，该公司购入香樟树的数量增加的百分数与每棵香樟树的成本降低的百分数均为a，经测算，若每棵香樟树的售价不变，则总成本将比2021年的总成本减少8万元；若每棵香樟树的售价提高的百分数也为a，则销售这批香樟树的利润率将达到4a，求a的值及相应的2022年购买香樟树的总成本．
解：（1）设2021年每棵香樟树的成本为x万元，则每棵树的售价为（1+20%）x万元，
∴每棵香樟树的售价与成本的比值为＝1.2；
（2）设2021年，该公司购入香樟树的数量为m棵，每棵香樟树的成本为x万元，则每棵树的售价为1.2x万元，总成本为mx万元，2022年，该公司购入香樟树的数量为m（1+a）棵，每棵香樟树的成本为x（1﹣a）万元，则每棵树的售价为1.2x万元，总成本为mx（1+a）（1﹣a）万元，
由题意得：mx﹣mx（1+a）（1﹣a）＝8①，1.2x（1+a）＝x（1﹣a）（1+4a）②，
整理①得：mxa2＝8，
整理②得：20a2﹣9a+1＝0，
解得：a＝或a＝，
当a＝时，mx＝128，2022年购买香樟树的总成本为128﹣8＝120（万元），
当a＝时，mx＝200，2022年购买香樟树的总成本为200﹣8＝192（万元），
答：a的值为或，相应的2022年购买香樟树的总成本为120万元或192万元．
26．（2022•公安县模拟）某影院在国庆档期上映了两部最火的国产影片《长津湖》与《我和我的父辈》，在国庆档第一周，已知买3张《长津湖》的钱可以买4张《我和我的父辈》，买2张《长津湖》和3张《我和我的父辈》一共需要170元．
（1）在国庆档第一周，一张《长津湖》的票价和一张《我和我的父辈）的票价分别是多少元？
（2）在国庆档第一周《长津湖》卖出了5000张电影票，《我和我的父辈》卖出了4000张电影票．在国庆档第二周，长津湖的每张票价在第一周的基础上降低了a%，卖出电影票的数量也比第一周降低了a%，《我和我的父辈》的票价不变，数量比第一周减少a%，国庆档的第二周两部电影的票房总价比第一周两部电影的票房总价减少了2a%，其中a＞0，求a的值．
解：（1）设一张《长津湖》的票价是x元，一张《我和我的父辈）的票价是y元，
由题意得，，
解得，
答：一张《长津湖》的票价是40元，一张《我和我的父辈）的票价是30元；
（2）由题意得，
解得a＝0或10．
答：a的值是10．（2）由题意得，
40（1﹣a%）×5000（1﹣a%）+30×4000（1﹣a%）＝（5000×40+4000×30）×（1﹣2a%），
解得a＝0（舍去）或20．
答：a的值是20．
27．（2022•襄城区模拟）端午节前后，某商场推广一种新式粽子出售，市场调查发现：在端午节前后各一周粽子的销售情况如图中折线ABC表示销量y（个）与销售时间第x天的函数关系．线段BC表示每增加一天，销量减少40个；
（1）第14天的销量为 　400　个？
（2）直接写出y与x的函数关系式，并写出对应的x的取值范围；
（3）若粽子的固定成本为1元/个，固定售价为3元/个；
①这些天的销售中，日利润是800元的出现在第几天？
②端午节过后的连续2天内，第1天捐款当天总利润的a%，第2天捐款当天总利润的2a%，为保证捐款后这两天的平均日利润不低于730元，求a%的最大值．

解：（1）∵线段BC表示每增加一天，销量减少40个，
∴第14天比第十五天多40个，
∴360+40＝400（个），
故答案为：400；
（2）设AB段函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵AB段经过（1，200），（3，300），
则，
解得：，
∴AB段函数解析式为y＝50x+150；
设BC段函数解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵BC段经过（14，400），（15，360），
则，
解得：，
∴BC段函数解析式为y＝﹣40x+960；
∵50x+150＝﹣40x+960，
∴x＝9．
∴y与x的函数关系式为y＝；
（3）①设每天利润为w元，
根据题意得：w＝（3﹣1）y＝，
当w＝800时，100x+300＝800或﹣80x+1920＝800，
解得x＝5或x＝14，
∴日利润是800元的出现在第5天和第14天；
②由题意得，端午节在第8天，端午节过后的2天为x＝9和x＝10，
当x＝9时，w＝﹣80×9+1920＝1200，
当x＝10时，w＝﹣80×10+1920＝1120，
∵第1天捐款1200×a%，第2天捐款1120×2a%，
∴（1200+1120﹣1200×a%﹣1120×2a%）÷2≥730，
解得：a%≤25%，
∴a%的最大值为25%