人教版九年级上册22.1.1 二次函数精品课堂检测

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第22章《二次函数》
22.1 二次函数的图像和性质

知识点01：二次函数
1．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（　　）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【完整解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.

【思路引导】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
2．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【答案】A
【完整解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【思路引导】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
3．（2021九上·齐河月考）如果函数 是关于 的二次函数，那么 的值是（　　）
A．1或2 B．0或3 C．3 D．0
【答案】D
【完整解答】∵函数 是关于 的二次函数，
∴
解得：
∵k−3≠0，
∴k≠3，
∴k=0.
故答案为：D.
【思路引导】根据二次函数的定义可以得到且k−3≠0，求出k的值即可。
4．（2021九上·淮北月考）若是关于x的二次函数，则m=　 　．
【答案】1
【完整解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．

【思路引导】根据二次函数的定义可得，解得：即可。
5．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AECF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长工的函数解析式是　 　(不用写出x的取值范围)

【答案】y=16-x2
【完整解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【思路引导】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
6．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝ （x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则 ＝　 　.

【答案】3-
【完整解答】设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x= ，
∴点B（ ，a），
=a，
则x= ，
∴点C（ ，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为 ，
∴y1= 2=3a，
∴点D的坐标为（ ，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴ =3a，
∴x=3 ，
∴点E的坐标为（3 ，3a），
∴DE=3 - ，
∴ .
【思路引导】设A点坐标为（0，a），（a＞0），根据AB∥x轴，可将A点纵坐标分别代入 y1＝x2（x≥0）与y2＝ （x≥0） 求得B、C两点坐标，由CD∥y轴知点D的横坐标与点C的横坐标相同，将点C的横坐标代入 y1＝x2 求出点D的坐标为（ ，3a），同法再求出点E的坐标，即可得出DE、AB的长，代入即可得出答案。
7．（2019九上·乐山月考）某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件.若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？
【答案】解：设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得
(40−x)(20+2x)=1200，
解得：x =20,x =10，
∵要扩大销售，减少库存，
∴每件衬衫应降价20元；
设商场每天的盈利为W元，由题意，得
W=(40−x)(20+2x)，
W=−2(x−15) +1250
∴a=−2<0，
∴x=15时，W最大=1250元.
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元.
【思路引导】（1）设衬衫应该降价x元，根据每天的销售量，结合题意由每天盈利为1200元，即可得到答案。
（2）可以设每天的盈利为w，根据盈利的公式计算得到公式，得到答案即可。
8．（2018九上·铁西期末）小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】解：设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000.
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000.
答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元.
【思路引导】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.
9．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式.
【答案】解：销售价每件定为x元，则每件利润为（x-8）元，销售量为[100-10（x-10）]件，
根据利润=每件利润×销售量，
可得销售利润y=（x-8）•[100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600.
【思路引导】利用销售利润y=每件利润×销售量，列出y与x的函数解析式。
10．若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围。
【答案】解：①b+1=2，解得b=1，a-1+1≠0，解得a≠0；②b+1≠2，则b≠1，∴b=0或-1，a取全体实数．③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数．
【思路引导】分情况讨论：①b+1=2；②b+1≠2；③当a=1，b为全体实数时。分别求解。
知识点02：二次函数y=ax²的图像和性质
11．（2022九上·东阳期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
【答案】B
【完整解答】解：∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，
∴二次函数 的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故答案为：B.
【思路引导】由于二次函数 的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，可得k=a-1＞0，据此解答即可.
12．（2021九上·朝阳期末）若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：由抛物线可知抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线经过，
∴点关于y轴的对称点也在抛物线上，
∴它也经过点．
故答案为：B．
【思路引导】求出抛物线的对称轴为y轴，再求出关于y轴的对称点，由于在抛物线上，可得关于y轴的对称点也在抛物线上.
13．（2019九上·武汉月考）设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是（　　）
A．x3＝x1＋x2. B．x3＝ ＋ .
C．x1x2＝x2x3＋x3x1. D．x1x3＝x2x3＋x1x2.
【答案】C
【完整解答】解：由题意得 和 为方程 的两个根，即 ，
， ；
；
直线与 轴交点的横坐标为： ，
.
.
故答案为： .
【思路引导】将直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再求出直线解析式求出与x轴的交点横坐标，进行比较即可得出答案。即可得出答案．


14．（2021九上·通州期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是　 　．

【答案】2
【完整解答】解：，则解得，即
解得，即

故答案为：2

【思路引导】根据二次函数的图象分析即可得出答案。
15．（2021九上·拱墅月考）已知抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），则当x≤0时，y随x的增大而 　 　.
【答案】减小
【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），
∴4＝4a，
即a＝1；
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴x＝0，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小..
故答案为：减小.
【思路引导】将（-2，4）代入y＝ax2中可得a的值，然后判断出开口方向，进而确定出函数的增减性.
16．（2021九上·杭州期中）给出下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝ ；③y＝﹣x2中，符合条件“当x＞0时，函数值随x增大而减小”的函数是 　 　（填序号）.
【答案】②③
【完整解答】解：①y＝2x﹣1中k=2＞0，函数图象经过第一、三象限，函数值y随自变量x增大而增大，所以当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项不符合题意；
②y＝ 中k=1＞0，函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内函数值y随自变量x增大而减小，所以当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项符合题意；
③y＝﹣x2，a=-1＜0，图象开口向下，对称轴是直线x=0，当x＜0时，函数值y随自变量x增大而增大，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项符合题意.
故答案为：②③.
【思路引导】y=kx+1，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
y=，当k>0时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；
y＝ax2，当a>0、x＞0时，y随x的增大而增大；当a>0、x<0时，y随x的增大而减小；当a<0、x＞0时，y随x的增大而减小；当a<0、x<0时，y随x的增大而增大.
17．（2021九上·海淀期中）已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是　 　．
【答案】a≥1或a≤-1
【完整解答】解：∵ ， 为抛物线 （ ）上任意两点，
∴ ， ，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 恒成立，
∴要使 恒成立则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【思路引导】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
18．（2019九上·乐山月考）某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200kg，出油率为50％（即每100kg花生可加工成花生油50kg）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg.其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的 .求新品种花生亩产量的增长率.
【答案】解：设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200(1+x)⋅50%(1+ x)=132，
解得x =0.2=20%,x =−3.2(不合题意,舍去)，
答：新品种花生亩产量的增长率为20%.
【思路引导】设新品种亩产量的增长率为x，根据题意列出等量关系，得到答案即可。
19．（2020九上·湖里月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x﹣y|），则称点Q为点P的“关联点”．
（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；
（2）如果点P在函数y＝x﹣1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y＝x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．
【答案】（1）解：∵|2﹣2|＝0，
∴点（2，2）的“关联点”的坐标为（2，0）
（2）解：∵点P在函数y＝x﹣1的图象上，
∴P（x，x﹣1），则点Q的坐标为（x，1），
∵点Q与点P重合，
∴x﹣1＝1，解得：x＝2，
∴点P的坐标为（2，1）．
（3）解：∵点M（m，n），
∴点N（m，|m﹣n|）．
∵点N在函数y＝x2的图象上，
∴|m﹣n|＝m2．
（i）当m≥n时，m﹣n＝m2，
∴n＝﹣m2+m，
∴M（m，﹣m2+m），N（m，m2）．
∵0≤m≤2，
∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣m2+m﹣m2|＝m|2m﹣1|．
①当0≤m≤ 时，MN＝﹣2m2+m＝﹣2（m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，MN取最大值，最大值为 ．
②当 ＜m≤2时，MN＝2m2﹣m＝2（m﹣ ）2+ ，
当m＝2时，MN取最大值，最大值为6．
（ii）当m＜n时，n﹣m＝m2，
∴n＝m2+m，
∴M（m，m2+m），N（m，m2）．
∵0≤m≤2，
∴MN＝|yM﹣yN|＝|m2+m﹣m2|＝m，
当m＝2时，MN取最大值2．
综上所述：当0≤m≤2时，线段MN的最大值为6．
【思路引导】（1）根据“关联点”的定义结合点的坐标即可得出结论；（2）根据点P在函数y＝x﹣1的图象上，即可得出P（x，x﹣1）、Q（x，1），再根据点P、Q重合即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）根据“关联点”的定义找出点N的坐标，分m≥n和m＜n两种情况考虑，根据点N在函数y＝x2的图象上，即可用含m的代数式表示出n，再根据两点间的距离公式即可找出MN的关系式，利用一次（二次）函数的性质即可求出线段MN的最大值．
20．（2019九上·天台月考）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”。

（1）①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；　 　
②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y=x2+1的“完美三角形”全等　 　；
（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y=mx2+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n−5的最大值为−1，求m，n的值。
【答案】（1）过点B作BN⊥x轴于N，如图2， ∵△AMB为等腰直角三角形，∴∠ABM=45∘，∵AB∥x轴，∴∠BMN=∠ABM=45∘，∴∠MBN=90∘−45∘=45∘，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，设B点坐标为(n,n),代入抛物线y=x2，得n=n2，∴n=1,n=0(舍去)，∴B(1,1)∴MN=BN=1，∴MB= ∴MA=MB= 在Rt△AMB中,AB= ,∴抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB=2.；如y= x2+2
（2）解： ∵抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同，
∴抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等，
∵抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，
∴抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为(2,2)或(2,−2)，
把点B代入y=ax2中，
得出a=± ；
（3）解：∵y=mx2+2x+n−5的最大值为−1，
∴ =−1，
∴mn−4m−1=0，
∵抛物线y=mx2+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为( , )，
∴代入抛物线y=mx2,得( )2⋅m=− ，
∴mn=−2或n=0(不合题意舍去)，
∴m=− ，
∴n=
【完整解答】（1）②答案不唯一，开放性的命题，∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”应该全等.
故答案为：y=x2+2；
【思路引导】（1）①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN=∠ABM=45°，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线求解并检验得出n的值，从而得出点B的坐标，根据勾股定理算出BM的长度，进而根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求出AB的长；
②因为抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，所以抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”应该全等；
（2）根据抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同，所以抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，-2），把点B代入y=ax2中，得到a=±；
（3）根据抛物线的最值公式，由最大值是-1列出方程 mn−4m−1=0， 由于 抛物线y=mx2+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n， 所以 抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n， 从而就可用含n的式子表示出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线y=mx2求解并检验即可求出m、n的值.
知识点03：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质
21．（2021九上·海曙期末）已知抛物线 ， 其对称轴是(　　)
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【完整解答】解：抛物线y=2（x-3）2-5的对称轴为直线x=3.
故答案为：B.
【思路引导】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；据此可求解.
22．（2021九上·商河期末）二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向下、直线x=、（，5） B．向上、直线x=、（，5）
C．向上、直线x=4、（4，） D．向上、直线x=4、（4，5）
【答案】D
【完整解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上；对称轴为x=4，顶点坐标为（4，5）．
故答案为：D

【思路引导】根据二次函数y=a(x-h)2+k的图象性质可得。
23．（2021九上·陵城期末）下列关于二次函数（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而增大；④该函数的图象与函数的图象的对称轴相同．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【完整解答】解：由二次函数可知：，抛物线的对称轴为直线，
①由函数可知：，所以该函数的图象与函数的图象形状相同，故符合题意；
②把代入该函数解析式得：，所以该函数的图象一定经过点，故符合题意；
③由抛物线的对称轴为直线，开口向下，所以当时，y随x的增大而增大，故不符合题意；
④由函数可知对称轴为直线，所以该函数的图象与函数的图象的对称轴相同，故符合题意；
∴综上所述：正确的结论有①②④；
故答案为：B．
【思路引导】利用 二次函数的图象与性质计算求解即可。
24．（2021九上·舟山期末）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2-4ax＋2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（　　）
A．t≥1 B．t≤0 C．t≥1或t≤Q D．t≥1或t≤-1
【答案】C
【完整解答】解：∵y＝ax2-4ax＋2 =a(x2-4x+4)+2-4a=a(x-2)2+2-4a，
∴二次函数的对称轴是直线x=2，
对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2， 分两种情况：
①当t+1<2时，需满足x=t+3时的函数值不大于x=t+1时的函数值，如图，

∴a(t+3)2-4a(t+3)＋2 ≤ a(t+1)2-4a(t+1)＋2，
解得t≤0；
②当t+1>2时，需满足x=t+2时的函数值不小于x=t时的函数值，

∴a(t+2)2-4a(t+2)＋2 ≥ at2-4at＋2，
解得t≥1；
综上，对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t≤0或t≥1.
故答案为：C.

【思路引导】先把函数式化成顶点式，求出抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：①当t + 1 < 2时，需满足x = t+3时的函数值不大于x = t + 1时的函数值，②当t+1>2时，需满足x=t+2的函数值不小于x = t的函数值，根据二次函数的性质分别列出不等式求解，然后总结求出t的范围即可.
25．（2021九上·虹口期末）已知点、为函数的图象上的两点，若，则　 　（填“>”、“=”或“<”）．
【答案】＜
【完整解答】解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线 ，
且开口向下，
∴在对称轴的左侧 随 的增大而增大，
∵，
∴ ．
故答案为：＜

【思路引导】根据题意得出抛物线的对称轴，且开口向下，得出在对称轴的左侧 随 的增大而增大，再根据，即可得出答案。
26．（2021九上·天河期末）已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝时，函数值为 　 　．
【答案】0
【完整解答】解：二次函数y＝3（x﹣5）2的顶点坐标为，对称轴为
x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
对称轴
当x＝时，函数值为0
故答案为：0

【思路引导】根据二次函数y＝3（x﹣5）2的顶点坐标及对称轴，即可得出答案。
27．（2021九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(a、k为常数)与x轴交于点A、B，与x轴交于点C，作轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为，则　 　．

【答案】5
【完整解答】解：∵抛物线为：(a、k为常数)，
∴该抛物线对称轴为：，
∵点A、点B关于对称轴对称，且点A坐标为(，0)，
∴点B坐标为(3，0)，
∴OB=3，
∵点C、点D关于对称轴对称，且点C坐标为(0，)，
∴点D坐标为(2，)，
∴CD=2，
∴，
故答案为：5.
【思路引导】由抛物线对称轴为，根据点A、点B关于对称轴对称及A（-，1），可得点B坐标为(3，0)，即得OB=3，由于CD∥x轴，可得点C、点D关于对称轴对称，求出C坐标为(0，)，从而得出点D坐标为(2，)，据此求出CD，从而求出结论.
28．（2021九上·路北期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是　 　．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为　 　．
【答案】y＝x+2；
【完整解答】解：∵y＝﹣（x﹣a）2+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝x+2；
在y＝﹣（x﹣a）2+a+2中，令x＝0可得y＝﹣a2+a+2，
∴OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a＝ ，
当﹣1≤a≤ 时，OC随a的增大而增大，当a＝﹣1时，OC＝0，当a＝ 时，OC＝ ，此时点C经过的路径长为 ；
当 ≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a＝ 时，OC＝ ，当a＝2时，OC＝0，此点C经过的路径长为 ；
∴当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 + ＝ ，
故答案为： ．
【思路引导】先求出OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，再分类讨论，计算求解即可。
29．（2020九上·广汉期中）如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论：①无论 取何值， 2的值总是正数；② ；③当 时， ；④ ．其中正确结论是　 　．

【答案】①④
【完整解答】解：①∵抛物线y2= （x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论符合题意；②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本结论不符合题意；③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1= （x+2）2-3，当x=0时，y1= （0+2）2-3=- ，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= + = ，故本结论不符合题意；④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论符合题意．
故答案为：①④．

【思路引导】①观察图象，抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，即可得出①正确；
②把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2-3，求出a=，即可得出②不正确；
③分别求出y1，y2的值，计算出y1-y2的值，即可得出③不正确；
④求出点B和点C的坐标，得出AB=6，AC=4，即可得出④正确.

30．（2021九上·余杭月考）已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.
【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4.
【思路引导】先把抛物线的解析式写成顶点式，再利用待定系数法求函数解析式即可.
31．（2019九上·江津期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积.

【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；

∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝ ＝8.
【思路引导】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；然后将解析式配成顶点式找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可.
32．（2019九上·港口期中）已知二次函数 ,将其配方成 的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.
【答案】解：
开口方向向上
顶点坐标是
对称轴是直线
【思路引导】根据二次函数配方的步骤对二次函数进行配方，再根据二次函数顶点式求开口方向，顶点坐标，对称轴.
33．在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），顶点为 .
（Ⅰ）当抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式.
【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为 .∵ ，∴顶点 的坐标为 .（Ⅱ）抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去.∴ .∴抛物线解析式为 .（Ⅲ）由 可知，当 时，无论 取何值， 都等于4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 .∵ ， ，∴ .∴ .∵ ，∴ .∴ .∴ ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 （舍）， .∴ .综上， 或 .故抛物线解析式为 或
【思路引导】（Ⅰ）由题意将A ( 1 ， 0 )代入抛物线的解析式即可求得m的值，把抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点P的坐标；
（Ⅱ）根据公式y=a将抛物线的解析式配成顶点式，可得顶点P（），过点P作PQ⊥x轴于点Q，由题意易得三角形POQ是等腰直角三角形，于是可得PQ=OQ，由此可得关于m的方程，解方程即可求解；
（Ⅲ）由题意求得定点H的坐标为（2，4）；过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G。由题意易证△ADE≅△HAG，所以可得DE=AG=1，AE=HG=4，则可得点D的坐标为 ( − 3 ， 1 ) 或 ( 5 ， − 1 )，根据点D的两种情况求解即可。

34．（2021九上·江干月考）已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．
【答案】（1）解：∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）解：由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：
mx2+2mx+m-1=mx+m-1，
mx2+mx=0，
mx（x+1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=-1．
∴抛物线与直线有两个交点．
（3）解：由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图1，

当-1≤t≤0时，PQ= ．
∵m＞0，
当 时，PQ有最大值，且最大值为 ．
∵0＜m≤3，
∴0＜ ≤ ，即PQ的最大值为 ．
②如图2，

当0＜t≤1时，PQ=
∵m＞0，
∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．
综上所述，PQ的最大值为6．
【思路引导】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标；
（2）令mx2+2mx+m-1=mx+m-1，化简可得mx(x+1)=0，求解可得x1=0，x2=-1，据此解答；
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，设P（t，mt2+2mt+m-1），则Q（t，mt+m-1），当-1≤t≤0时，根据PQ=yQ-yP表示出PQ，根据二次函数的性质可得最大值；当0＜t≤1时，同理可得此时PQ的最大值，据此解答.
35．（2021九上·南部月考）如图，直线 交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．

（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得 PAB的周长最小，并求出最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当x=0时，y=3，
∴点B坐标为（0，3），
∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)，
∴设抛物线的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ，
当y=0时， ，
解得： ， ，
∵点A在x轴负半轴，
∴A（-1，0），C（3，0），
把A（-1，0）代入 得：-k+3=0，
解得：k=3．
（2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P，

∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为直线x= ，
∵抛物线与x轴交于点A、C，
∴A、C关于对称轴对称，
∴PA=PC，
∴PA+PB=PB+PC=BC，
∴△PAB的周长的最小值为AB+BC，
∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴AB+BC= = ，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴点P坐标为（1，2）．
∴△PAB周长的最小值为 ，点P坐标为（1，2）．
（3）解：设点Q坐标为（1，m），
∵A（-1，0），B（0，3），
∴AB= = ，QA= = ，QB= = ，
①当QA=AB时，
∴ = ，
解得：m= ，
∴Q1（1， ），Q2（1， ），
②当QB=AB时，
∴ = ，
解得：m=6或m=0，
∵直线AB的解析式为y=3x+3，
∴x=1时，y=6，
∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，
∴Q3（1，0），
③当QA=QB时，
∴ = ，
解得：m=1，
∴Q4（1，1），
综上所述：存在点Q，使 ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，0），Q4（1，1）．
【思路引导】(1)令x=0， 可得点B坐标，根据顶点法设抛物线解析式为y= a(x- 1)2+4，把点B坐标代入求出a值，即可得出抛物线解析式，再令y=0可得点A坐标，代入y= kx+ 3求出k值即可；
(2)连接BC，交对称轴于P，根据(1)的抛物线解析式求出对称轴，则可求出点C坐标，根据二次函数图象的对称性得出PA=PC，可得PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，再利用勾股定理求出△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，再利用待定系数法求得直线BC解析式，令x=1求出点P坐标即可；
(3)设点Q坐标为(1， m)，分三种情况讨论，即QA=AB， QB=AB， QA=QB，分别根据两点间距离公式求出m的值，即可解答.
知识点04：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质
36．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：∵
∴抛物线 的顶点坐标是
故答案为：A.
【思路引导】首先将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标.
37．（2021九上·普陀期末）已知函数 的对称轴为直线 ．若 是方程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、由图象可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧， 是方程
的两个根，
∴x1x2＜0，故A不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线x=-4， ，
∴x2到对称轴的最大距离约为|-4-2|=6，最小距离约为|-4-1|=5，
∴x2的取值范围为-4-6＜x2＜-4-5即-10＜x2＜-9，故B符合题意；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c
∴b2-4ac＞0，故C不符合题意；
D、∵抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，交于y轴的负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故D不符合题意；
故答案为：B.
【思路引导】观察函数图象，可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧，可对A，C作出判断；再根据抛物线的对称性，对称轴和x2的取值范围，可得到x1的取值范围，可对B作出判断；然后根据抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，交于y轴的负半轴，可确定出a，b，c的取值范围，即可得到abc的取值范围，可对D作出判断.
38．（2020九上·惠城期末）若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
14
7
2
－1
－2
－1
则当时，y的值为（　　）
A．－1 B．2 C．7 D．14
【答案】C
【完整解答】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，
∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，
由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7，
∴x＝5时y的值为7．
故答案为：C．

【思路引导】由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，即可得到抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合表格可得当x＝﹣1时，y＝7，即可得到x＝5时y的值为7。
39．（2021九上·怀宁期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法不正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
【答案】B
【完整解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A不符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B符合题意；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C不符合题意；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【思路引导】利用表中函数值的变化情况，可判断抛物线的开口方向，可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x的函数值相等，可对B进行判断；利用x的函数值相等可得抛物线的对称轴方程，可对C进行判断；利用二次函数的性质对D进行判断。
40．（2021九上·廉江期末）已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是　 　．（填写序号）
【答案】①②④
【完整解答】①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论符合题意；
②对称轴为：．
故②结论符合题意；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论不符合题意；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论符合题意．
故答案是：①②④．

【思路引导】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答。
41．（2021九上·溧阳期末）若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第　 　象限.
【答案】一
【完整解答】解：抛物线变形得：y=ax2+bx= ，
∵直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ ，
∴y=ax2+bx的顶点坐标为 在第一象限.
故答案为：一.
【思路引导】首先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据直线不经过第三象限，可知a＜0，b＞0，然后判断出顶点的横纵坐标的符号，进而确定出顶点所在的象限.
42．（2021九上·东莞期末）若点（m，0）在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 　 　．
【答案】2025
【完整解答】解：∵ 点（m，0）在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，
∴
即；
∴2m2﹣6m+2029；
故应填2025．

【思路引导】将点（m，0）代入二次函数函数可得，再将代数式 2m2﹣6m+2029变形为，再计算即可。
43．（2021九上·龙凤期末）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像（如图所示），并写出下列结论：
①图像与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图像具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4；
⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中错误的结论是 　 　（填序号）．

【答案】⑤
【完整解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|=0，解得，，即图象与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，即图象与y轴的交点为(0，3)，即图象与坐标轴的交点（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①符合题意；
由或知，它们的对称轴为直线x=1，故②符合题意；
由图象知，③④均符合题意；由图象知函数没有最大值，故⑤不符合题意；
当时，即
当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
即当b=2时，可以得到四个不同的a的值，从而可以找到4个不同的点P，故⑥符合题意；
从而错误的为⑤；
故答案为：⑤

【思路引导】由（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当x<-1或x>3，函数值要大于当x=1时的y＝|x2﹣2x﹣3|=4，因此⑤是不正确的；⑥根据图形判断即可；逐个判断之后可得答案。
44．（2021九上·嘉兴期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号）。

【答案】③④
【完整解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵对称轴x=-=1，∴b=-2a>0，∵图象与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，故 ① 错误；当x=1+时，y=a(1+)2-2a(1+)+c=a+c，∵当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值，故 ② 错误；观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，∵-1到1的距离大于2到1的距离，∴y1＜y2， 故 ③ 正确；设x10，m-x1≥0，m-x2<0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，若m≥x2，则p<0，m-x1>0，m-x2≥0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，故 ④ 正确；
综上，正确是 ③④ .
故答案为 ③④ .

【思路引导】 ① 根据抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴x=1判断b的符号，根据图象与y轴的交点在x轴位置判断c的符号，从而可判abc的符号； ② 当x=1+时，y=a+c，由于当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值； ③观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，再比较-1到1的距离与2到1的距离的大小，即可作答； ④ 设x1 45．（2021九上·瑞安期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，抛物线 的顶点 在线段 上，与 轴相交于 ， 两点，设点 ， 的横坐标分别为 ， ，且 .若 是-1，则 的最大值是　 　.

【答案】13
【解析】解： ∵点A、B的坐标分别为（−2，−2）、（6，−2），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点P在线段AB上，
∴当点P的坐标为（−2，−2）时，x2最小，
当点P的坐标为（6，−2）时，x2最大，此时对称轴为直线x＝6，
∵x1是−1，
∴，
∴x2＝13，
故答案为：13．
【思路引导】根据题意，可知当点P在点A的位置时，x2取得最小值，当点P在B点时，x2取得最大值，然后即可得到x2的最大值．
46．（2021九上·拱墅期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④ ＜a＜ .其中正确的选项是　 　.（填序号）

【答案】①④
【完整解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝1＞0，a、b异号，
∴b＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣b2＜8a，
故③不正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
又∵x1•x2＝ ，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
因此 ＜a＜ ，
故④正确，
综上所述，正确的结论有三个：①④，
故答案为：①④.
【思路引导】由抛物线开口向上，可得a＞0，由对称轴为x＝1＞0可得b＜0，由抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，可得﹣2＜c＜﹣1＜0，据此判断①正确；根据抛物线的对称性可得
与x轴的另一个交点为（3，0），由图象知当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，据此判断②；由抛物线与x轴有两个不同交点，可得b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，而8a＞0，据此判断③；有抛物线与x轴的交点坐标，可得方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，由于x1•x2＝ ，可得c＝﹣3a，根据﹣2＜c＜﹣1即可判断④.
47．（2018九上·大庆期中）二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出不等式 的解集；
（2）当 时，写出函数值y的取值范围。
（3）若方程 有两个不相等的正实数根，写出 的取值范围。
【答案】（1）解：x＜-1或x＞3
（2）解：-4≤y≤0
（3）解：-4＜k＜-3
【完整解答】解：（1）在二次函数图象中，求 ax2+bx+c＞0的解集，即y＞0的取值范围，根据图象即可得出x＜-1或x＞3；
（2）在二次函数图象中，当-1≤x≤2时，读图可得y的范围为-4≤y≤0；
（3）因为方程有两个不相等的正实数根，在图象中，可以看出，当-4＜y＜-3时，二次函数有两个不相等的正实数根，
所以-4＜k＜-3。
【思路引导】（1）根据二次函数的图象，找出y＞0时，x的取值范围即可；
（2）根据二次函数的图象，找出-1≤x≤2时，y的取值范围即可；
（3）根据二次函数的图象，找出二次函数有两个不相等的实数根时，y的取值范围，即为k的取值范围。
48．（2021九上·镇平县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点.

（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值.
【答案】（1）解：将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4
在y＝－x2－3x＋4中，
令y＝0，即，解得x1＝－4，x2＝1，
∴A（－4，0）.
设直线AD的解析式为y＝kx＋b'.
∵D（0，2），
∴，
解得：
∴直线AD的解析式为.
（2）解：连接PD，作PGy轴交AD于点G，如图所示.

设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t，），
∴，
∴，
.
∵－4＜0，－4＜t＜0，
∴当时，S有最大值.
【思路引导】（1） 将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中 可列出关于b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而求出抛物线的解析式，然后令y=0代入求出对应的x的值，从而即可求出点A的坐标，接着利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（2）连接PD，作PG∥y轴交AD于点G，设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），PG可用含t的代数式表示出来，则平行四边形APED的面积S=2S△APD可用含t的代数式表示出来，再配成顶点式，根据二次函数的性质可求解.
49．（2021九上·商河期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）解：将B、C两点的坐标代入得
解得：
所以二次函数的表达式为：
（2）解：存在点P，使四边形为菱形．理由如下：
设P点坐标为，交CO于E
若四边形是菱形，则有．
连结，则于E，

，．

解得，（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为．
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设，
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为．



当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为
【思路引导】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2） 存在.理由：设P点坐标为，连接交CO于E.由菱形的性质可得，即得，将，即得，求出x值即可；
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设， 先求 直线BC的解析式为 ，可得Q点的坐标为，根据，利用三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可.
50．（2021九上·镇平县期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】解：∵A（4，0），B（0，－3），C（－2，0），
∴
解得：，，C＝－3，
∴二次函数解析式为：.
∵，
∴二次函数的图象开口向上；
∵，
∴二次函数的对称轴为x＝1；
将代入得：，
∴二次函数的顶点坐标为（1，）.
【思路引导】由题意把点A、B、C的坐标代入二次函数 y＝ax2＋bx＋c ，可得关于a、b、c的方程组，解方程组可求得二次函数的解析式，由a的符号可判断二次函数的图象开口向上；根据对称轴x=可求得二次函数的对称轴为x＝1；把对称轴x=1的值代入二次函数的解析式求得y的值，即为顶点坐标.