人教版九年级上册23.1 图形的旋转精品同步测试题

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第23章《旋转》
23.1 图形的旋转

知识点01：图形的旋转
1．（2021九上·汕尾期末）下列运动中，属于旋转运动的是（　　）
A．小明向北走了 4 米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼 D．小明在荡秋千
【答案】D
【完整解答】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，A不合题意；
B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，B不合题意；
C. 电梯从 1 楼到 12 楼，是平移，不属于旋转运动，C不合题意；
D. 小明在荡秋千，是旋转运动，D符合题意．
故答案为：D．

【思路引导】根据图形旋转的定义求解即可。
2．（2021九上·北京市月考）如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：A体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ABC， 故A不符合题意；
B体现的是把△ABC沿某条直线对折得到△ABC， 故B不符合题意；
C体现的是把△ABC沿某条直线对折得到△ABC， 故C不符合题意；
D体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ABC， 故D符合题意；
故答案为：D
【思路引导】根据旋转的性质对每个选项一一判断即可。
3．（2021九上·古冶期中）在图形的旋转中，下列说法错误的是（　　）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D．图形上可能存在不动的点
【答案】B
【完整解答】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B符合题意；
C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D不符合题意；
故答案为：B．
【思路引导】根据图形的旋转和旋转的性质对每个选项一一判断即可。
4．（2019九上·长白期中）如图， 为等边三角形， 为 边上一点， 经过逆时针旋转后得到 ，则旋转中心是点　 　，旋转角是　 　．

【答案】A；60°
【完整解答】解：（1）旋转过程中点A位置不变，
∴旋转中心是点A； （2）∵ 为等边三角形， 经过逆时针旋转后得到 ，
∴旋转角是 ；
故答案是：A；60°.
【思路引导】根据定义，旋转中心就是在旋转过程中位置不变的点，据此解答；根据旋转角定义以及等边三角形的每个角是60°即可求解；
5．（2019九上·长白期中）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转与△CBP'重合，若PB = 3，则PP' = 　 　

【答案】
【完整解答】根据旋转的性质可得: △APB≌△ ,所以BP=B ,∠ABP＝∠CB ,
因为∠ABP+∠PBC=90°,所以∠CB+∠PBC=90°,
连接P ,在Rt△P 中,由勾股定理可得: P .
故答案为 .

【思路引导】根据旋转的性质可得: ,由全等三角形的性质，连接P 可知，
∠PB=90°，在Rt△P 中,根据勾股定理，即可求解.
6．如图，四边形OABC绕点O旋转得到四边形ODEF，如果∠AOC＝40°，∠COD＝50°，那么：（1）这个图形的旋转中心是　 　；（2）旋转的角是　 　；（3）点A的对应点是　 　，线段OC的对应线是　 　．

【答案】O；90°；D；OF
【完整解答】四边形OABC绕点O旋转得到四边形ODEF，所以旋转中心是O；旋转角为∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°；点A的对应点为D点，点C的对应点为点F，所以线段OC的对应线是OF．
【思路引导】根据旋转的定义来解题．
7．（2019九上·洮北月考）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数

【答案】解：∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴OC=OF，∠COF=40°，
∴OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°，
∴∠OFA= （180°-130°）=25°．
故答案为25°．
【思路引导】本题的重点是求出∠AOF的度数，利用旋转的性质，可得AO=FO，在利用等腰三角形的性质既可以求出∠OFA的度数了。
8．画图题：（不写画法）

（1）如图①，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．请作出△ABC绕点P逆时针旋转90°的△A′B′C′；
（2）如图②，四边形A′B′C′D′是由四边形ABCD绕某一点旋转得到的，请通过作图确定这个点，并把它命名为点O，再把四边形ABCD关于点O的中心对称图形A″B″C″D″画出来．
【答案】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求；

（2）解：如图所示：四边形A″B″C″D″即为所求．

【思路引导】（1）根据旋转的定义，先找到旋转后的△ABC的点，再相连成△A′B′C′。
（2）根据中心对称图形的性质，找到O点，再画出关于点o的中心对称图形的A″、B″、C″、D″四个点，再相连。
9．（2021九上·南昌月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

⑴将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C．
⑵平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2．
⑶若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，△A2B2C2为所作，旋转中心P的坐标为（0，﹣1）．
【思路引导】 ⑴ 根据中心对称的性质写出A，B关于C的对称点画出图形即可；
⑵ 由 A2坐标 可知平移的距离和方向，依次画出B，C平移后的对应点即可画出图形；
⑶ 连接 A1A2 交 BB2 于P，则P为旋转中心。
知识点02：生活中的旋转现象
10．（2021九上·鼓楼月考）下列事件中，属于旋转运动的是（　　）
A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下
【答案】B
【完整解答】解：A、小明向北走了4米是平移，A选项不符合题意；
B、小明在荡秋千是旋转，B选项符合题意；
C、电梯从1楼到12楼是平移，C选项不符合题意；
D、一物体从高空坠下是平移，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【思路引导】在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，据此即可一一判断得出答案.
11．用数学的方式理解“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”和坐地日行八万里”(只考虑地球的转)，其中蕴含的图形运动是(　　)．
A．平移和旋转 B．对称和旋转 C．对称和平移 D．旋转和平移
【答案】A
【完整解答】解：根据平移和旋转定义：“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”是平移；“坐地日行八万里”是旋转．
故答案为：A
【思路引导】中国文化博大渊深诗句中常常蕴含着数学知识，根据生活中的平移和旋转现象可知：两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”是平移；“坐地日行八万里”是旋转。
12．下列现象属于旋转的是（　　）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．幸运大转盘转运的过程
C．飞机起飞后冲向空中的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】B
【完整解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，错误，此选项不符合题意；
B、幸运大转盘转运的过程是旋转，正确，此选项符合题意；
C、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，错误，此选项不符合题意；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，错误，此选项不符合题意．
故答案为：B
【思路引导】旋转即物体围绕一个点或一个轴做圆周运动，由此分析各个选项即可.
13．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的　 　.
【答案】旋转
【完整解答】根据钟表的指针绕一点旋转变化得到时间的变化，因此我们可以看作是数学上的旋转.
故答案为：旋转
【思路引导】钟表上的指针绕着表心按顺时针方向旋转变化得到时间的变化，其实质就是数学上的旋转。
14．时钟6点到9点，时针转动了　 　度．
【答案】90
【完整解答】时针6点到9点相距3份，
时针6点到9点，时针转动了
故答案为：90
【思路引导】时针由6点旋转到9点，表盘上时针每小时的转动为30°，所以即可求出3小时转动的角度。
15．（2016九上·乌拉特前旗期中）钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了　 　度．
【答案】60
【完整解答】解：∵钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360°，钟表上的时针匀速旋转一周需要12小时，
则钟表上的时针匀速旋转一小时的度数为：360°÷12=30°，
那么小时，时针旋转了2×30°=60°．
故答案为：60．
【思路引导】先求出钟表上的时针匀速旋转一小时的度数为30°，再求2小时时针旋转的度数．
16．现实生活中，你见过哪些图案用到了平移或旋转，请举两个例子说明．（不能使用本试卷中出现的例子）．
【答案】解：如图所示：

前者用到了平移，后者用到了旋转．
【思路引导】根据平移和旋转的性质，结合现实生活即可得出答案．
17．如图，钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，那么：

（1）它的旋转中心是什么？
（2）分针旋转一周，时针旋转多少度？
（3）上午8点整，时针和分针的夹角是多少？8点半呢？
【答案】（1）解：它的旋转中心是表盘中心
（2）解：分针旋转一周，时针旋转30度，因为一圈为360度，而一圈为12小时，所以一小时就是360度除以12，即一小时为30度
（3）解：8点整，时针指向8，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，因此8点整分针与时针的夹角正好是4×30°=120°；
8点半：时针与分针的夹角为：30°×8+0.5°×30-6°×30=75°
【思路引导】（1）观察钟面图可知：时针和分针都是绕着表盘的中心旋转的，故它的旋转中心是表盘中心；
（2）分针旋转一周即转动60分钟，刚好是一小时，由于钟面是一个圆周，一圈刚好是360º，而一圈为12小时，所以一小时就是360度除以12，即一小时时针转动30度；
（3）8点整，时针指向8，分针指向12，中间刚好间隔四个大格，而钟面是12个大格，每一个对应的圆心角是30度，故8点整分针与时针的夹角正好是4×30°=120°；8点半，时针指向8与9的正中间，分针指向6，两针之间间隔两个整大格，又半大格，故两针之间的夹角是30°×2+0.5°×30=75º。
知识点03：旋转的性质
18．（2021九上·大连期末）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【完整解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，
∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．
故答案为：B．
【思路引导】根据旋转的性质求出∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，再求出∠BCB′＝∠A′CA＝40°，最后求解即可。
19．（2021九上·鞍山期末）如图，将绕点O逆时针旋转55°得到，若，则的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．75°
【答案】C
【完整解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，
∴∠AOC=55°，
∵∠AOB=20°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=55°-20°=35°，
故答案为：C．
【思路引导】由旋转的性质可得∠AOC=55°，利用∠BOC=∠AOC-∠AOB即可求解.
20．（2021九上·原州月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB'，则∠BB′C′的度数是（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【完整解答】解：由旋转的性质知：
∴
在Rt△AB'C'中，
∵
∴
故答案为：A.
【思路引导】由旋转的性质得出有关线段相等及角相等，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠ABB'，在Rt△AB'C'中，根据余角的性质求∠AB'C'，最后根据角的和差关系求∠BB'C'的度数即可.
21．（2021九上·潮安期末）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是　 　．

【答案】70°
【完整解答】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴∠ABC=∠A′BC′=40°，AB=A′B，
∴△AA′B等腰三角形，
∴.
故答案为：70°．
【思路引导】根据旋转的性质可得∠ABC=∠A′BC′=40°，AB=A′B，推出△AA′B为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可.
22．（2021九上·硚口月考）如图，将Rt△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到△CDO，则点D的坐标是　 　

【答案】（-2，3）
【完整解答】解：由图易知DC＝AB＝2，CO＝AO＝3，∠OCD＝∠OAB＝90°，
∵点D在第二象限，
∴点D的坐标是（−2，3），
故答案为：（−2，3）.
【思路引导】根据旋转的性质结合点B的坐标可得DC＝AB＝2，CO＝AO＝3，∠OCD＝∠OAB＝90°，然后结合点的坐标与象限的关系进行解答.
23．（2021九上·长沙月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是　 　°.

【答案】40
【完整解答】解：

∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，
∵∠BAB'＝40°，
∴∠CAC′＝40°，
∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，
∴∠C′DC＝∠CAC′＝40°.
故答案为：40.
【思路引导】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，则∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，∠BAB'＝∠CAC′＝40°，接下来结合三角形内角和定理进行求解.
24．（2021九上·无棣期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，．将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是　 　．

【答案】(-2，)
【完整解答】过点作C⊥y轴，垂足为C，根据旋转的性质，

∴=30°，，
∴C=，
∴OC==，
∴点的坐标是(-2，)，
故答案是：(-2，)．

【思路引导】过点作C⊥y轴，垂足为C，根据旋转的性质可得=30°，，再利用含30°角的性质可求出OC的值，即可得到点B的坐标。
25．（2021九上·互助期中）如图将 绕点A逆时针旋转得到 ，点C和点E是对应点，若 ， ，求BD的长．

【答案】解：由旋转的性质得： ， ，
∴ ．
【思路引导】由旋转的性质得： ， ，再根据勾股定理即可求出BD。
26．（2021九上·庐江期末）如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．

【答案】解：连接B′B，作B′E⊥BC于E，

在矩形ABCD中，
∵∠AB′B=75°，
∴∠ABB′=15°，
∴∠CBB′=75°，
∵CB=CB′=4，
∴∠CBB′=∠CB′B=75°，
∴∠BCB′=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴B′E=CB′=2，
∴AB=2．
故旋转角是30°，AB长2．
【思路引导】 连接B′B，作B′E⊥BC于E， 利用矩形的性质得出 ∠CBB′=75°，∠CBB′=∠CB′B=75°， 再利用旋转的性质得出答案。
27．（2021九上·天河期末）在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，M是AC的中点，点N在边AB上（不与点A，B重合），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得到△BPM．
问：△BPN的面积能否等于3，请说明理由．
【答案】解：如图，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，M是AC的中点，

∴AM=BM，BM⊥AC，∠A=∠MBC=45°，
由旋转得∠NMP=90°，
∴∠AMN+∠NMB=∠NMB+∠BMP，即∠AMN=∠BMP，
∴△ANM≌△BPM（ASA），
∴△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，
∴AN=BP，
设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，
假设△BPN的面积能否等于3，则x(4－x)=3，
∴x2－4x+6=0，
∵△=42－4×1×6=－8＜0，
∴该方程无实数解，
∴△BPN的面积不能等于3，
【思路引导】根据旋转的性质得出∠AMN=∠BMP，再根据三角形全等的判定定理得出△ANM≌△BPM（ASA），设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，假设△BPN的面积能否等于3，则x(4－x)=3，由△=42－4×1×6=－8＜0，得出该方程无实数解，即可得出答案。
28．（2021九上·南充期末）如图，在等腰直角 中， ，点D，E在边BC上，且 ，将 绕点A逆时针旋转90°得到 ，连接EF.

（1）求证： .
（2）若 ， ，求CE.
【答案】（1）解：∵将 绕点A逆时针旋转90°得到 ，
∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∵ ， ，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°，
即∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠DAE，
∵AE=AE，
∴△DAE≌△FAE，
∴DE=EF；
（2）解：∵将 绕点A逆时针旋转90°得到 ，
∴∠B=∠ACF，CF=BD=4，
在等腰直角 中， ，
∴∠B=∠ACB=45°， ，
∴∠ACF=45°， ，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∵BD=4，
∴DE+CE=8，
∵DE=EF，
∴EF+CE=8，
∴EF=8-CE，
在 中， ，
∴ ，
解得： .
【思路引导】（1）根据旋转的性质可得∠BAD=∠CAF，AD=AF，根据角的和差关系可得∠BAD+∠CAE=45°，则∠CAF+∠CAE=45°，推出∠EAF=∠DAE，证明△DAE≌△FAE，据此可得结论；
（2）根据旋转的性质可得∠B=∠ACF，CF=BD=4，根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，AB=AC= ，利用勾股定理求出BC，然后在Rt△ECF中，利用勾股定理求解即可.
29．（2021九上·蓬江期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边BC中点，连结AD、EF．

（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）判断AD与EF有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：AD＝EF，理由如下：
∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，
∴∠BCE＝60°，BC＝CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，
∵点F是边BC中点，
∴BC＝2CF，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB，∠ABC＝60°＝∠BCE，
∴AB＝CF，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△FCE（SAS），
∴EF＝AC，
∴AD＝EF．
【思路引导】（1）由旋转的性质得出AC＝CD，∠ACD＝60°，即可得出结论；
（2）由SAS可证出△ABC≌△FCE，得出EF＝AC，即可得出结论。
知识点04：旋转对称图形
30．（2020九上·慈溪期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用。其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点。如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（　　）

A．60 B．90 C．120 D．180
【答案】C
【完整解答】解：由题意得
360°÷3=120°，
故答案为：C.
【思路引导】观察图形可知转子叶片是正三角形，因此可求出旋转角度。
31．（2020九上·鹿城月考）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】A、以圆心为旋转中心旋转90°能完全重合，不符合题意；
B、以圆心为旋转中心旋转120°能完全重合，符合题意；
C、以圆心为旋转中心旋转180°能完全重合，不符合题意；
D、以圆心为旋转中心旋转72°能完全重合，不符合题意；
故答案为：B.

【思路引导】 把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α(弧度)后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。据此分析可判断.
32．（2019九上·临洮期末）下列图形中，绕它的中心旋转60°后可以和原图形重合的是（　　）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
【答案】A
【完整解答】选项中的几个图形都是旋转对称图形，
A、正六边形旋转的最小角度是 =60°；
B、正五边形的旋转最小角是 =72°；
C、正方形的旋转最小角是 =90°；
D、正三角形的旋转最小角是 =120°．
故答案为：A．
【思路引导】选项中的几个图形都是旋转对称图形，根据正n边形的中心角=算出几个正多边形的中心角的度数，再与60°比较即可。
33．在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有　 　个旋转对称图形．
【答案】4
【完整解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为：4
【思路引导】旋转对称图形是旋转某个角度后还能与自身重合，根据定义求解。
34．（2021九上·莒县月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为　 　．

【答案】P（1，-1）
【完整解答】连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，

直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，
由题意：， ∴， ∴直线CC′为y=x+，
∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，）， ∴直线EF为y=﹣3x+2，
由得， ∴P（1，﹣1）．

【思路引导】连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．
35．（2021九上·曲阜期中）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐 标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是　 　．

【答案】（1，1）或（4，4）
【完整解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，

∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为（1，1）或（4，4）．

【思路引导】分两种情况：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，分别求出点E和M的坐标即可。
36．（2019九上·鼓楼期中）已知A(0，﹣1)，B(1，0)，C(0，1)，D(3，0)，若线段BD可由线段AC绕旋转中心P旋转而得（点A与点B重合），则点P的坐标是　 　．
【答案】(1,-1)
【完整解答】解：∵点A与点B重合，
∴A与B，C与D是对应点，
作线段AB，线段CD的垂直平分线交于点P，点P即为所求，此时P（1，-1）．
故答案为（1，-1）．

【思路引导】对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心.
37．（2021九上·甘井子期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（﹣2，1）和（1，2），将线段AB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段A′B′，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点A′，B′的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（﹣3，2）．

（1）点P的坐标是________（填写选项）；
A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣1，0）
（2）线段BA的延长线与线段A'B′相交于点M，连接AP，BP，A′P，B′P，请补全图形并求出∠BMA′的度数．
【答案】（1）C
（2）解：图形如图所示，

由旋转的性质可得， ， ，
∴
∴
∴
．
【完整解答】解：（1）如图，旋转中心P的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：C；
【思路引导】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标求解即可；
（2）根据题意作图，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
38．（2016九上·庆云期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）；

（2）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【思路引导】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
39．（2016九上·宜昌期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：旋转中心的坐标为：（ ，﹣1）

（3）解：∵PO∥AC，
∴= ，
∴ = ，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）
【思路引导】（1）延长AC到A1，使得AC=A1C，延长BC到B1，使得BC=B1C，利用点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），得出图象平移单位，即可得出△A2B2C2；（2）根据△△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2进而得出，旋转中心即可；（3）根据B点关于x轴对称点为A2，连接AA2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．
知识点05：作图—旋转
40．（2018九上·广州期中）如图，△ABC绕着点O逆时针旋转到△DEF的位置，则 旋转中心及旋转角分别是（　　）

A．点B, ABO B．点O, AOB C．点B, BOE D．点 O, AOD
【答案】D
【完整解答】解：由题给图形得：△ABC绕着点O逆时针旋转到△DEF的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和∠AOD．
故答案为：D．
【思路引导】图形旋转围绕的中心点即O,对应点与旋转中心的连线所夹的角即旋转角。
41．如图，在 的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点 为圆心，5为半径画圆，共经过图中　 　个格点（包括图中网格边界上的点）．

【答案】4
【完整解答】解：如图，

⊙O共经过图中 4个格点
故答案为：4．

【思路引导】以点O为圆心做圆，数交点个数即可。
42．（2021九上·渝中开学考）若点 的坐标为 ， 为坐标原点，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，则点 的坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由图知 点的坐标为 ，
根据旋转中心 ，旋转方向顺时针，旋转角度 ，画图，

点 的坐标是 .
故答案为：A.
【思路引导】作出图形，根据图形就可得到点A′的坐标.
43．（2018九上·孝感月考）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以原点 为中心，将点 逆时针旋转 得到点 ，则点 坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】做AB⊥X轴与点B，由A点为( − 1 , )可得OB=1，AB=,由勾股定理得OA=2，
∵∠OBA=90°，OB=OA;
∴∠A=30°
则∠AOB=60°
将点 A 逆时针旋转 150 ∘ 得到点 A '
A '在Y轴上，又∵OA=2
∴A '为( 0 , − 2 )

【思路引导】易由坐标和勾股定理得到OA=2，∠AOB=60°，所以可得A '在Y轴上，所以可得A '坐标为( 0 , − 2 )
44．（2019九上·海淀月考）在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为　 　．

【答案】(2，2)
【完整解答】如图，点P即为所求，P(2，2)．

故答案为：(2，2)．
【思路引导】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
45．（2016九上·北京期中）如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并直接写出点B1的坐标：
B1（　 　，　 　）；
C1（　 　，　 　）．

【答案】1；2；4；1
【完整解答】解：如图，△AB1C1为所作，B1点的坐标为（1，2），C1点的坐标为（4，1）．

故答案为（1，2），（4，1）．
【思路引导】利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1．
46．（2018九上·佳木斯期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求。

（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求。

（3）解：三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1= ，A1B=
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【思路引导】（1）由平移规律作图即可；
（2）由旋转规律作图即可;
（3）求出在坐标系中三角形的三边长，根据有等边判断出是等腰三角形，根据勾股定理可判断是直角三角形。
47．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．

【答案】解：如下图所示．
【思路引导】先找到该圆关于点O中心对称的圆心，再以相等的半径作圆即可．
48．（2021九上·密山期末）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求；A1（-1，-4）B1（-4，-2）C1（-3，-5）．

（2）如图所示，△A2B2C2为所求；
∵OB=
∴线段OB旋转到OB2扫过图形的面积为=．
【思路引导】（1）根据关于原点对称的点坐标的特征求出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点坐标即可；
（2）根据旋转的性质可得点A、B、C的对应点，再连接，然后利用扇形面积公式求解即可。