人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀课后练习题
展开2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义(人教版)基础
第28章《锐角三角函数》章节复习巩固
考试时间:100分钟 试卷满分:100分
一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)
1.(2分)(2022秋•招远市期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,AC=6,则AB等于( )
A.6 B. C.10 D.8
解:∵tanA=,
∴cosA=.
∴.
∴AB=10,
故选:C.
2.(2分)(2022秋•武侯区校级月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=,那么tanB的值是( )
A. B. C. D.
解:∵∠C=90°,
∴tanB===.
故选:D.
3.(2分)(2022秋•丰泽区校级期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,则sinA等于( )
A. B. C. D.
解:在△ABC中,∠C=90°,sinA=.
故选:B.
4.(2分)(2022秋•高新区期中)如图,小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α,塔顶点D的仰角为β,已知塔的水平距离AB=a,则此时塔高CD的长为( )
A.asinα+asinβ B.atanα+atanβ
C. D.
解:∵AB=a,AB⊥CD,
在Rt△ABD中有,BD=AB•tanβ=atanβ,
在Rt△ABC中有,BC=AB•tanα=atanα,
∴CD=BD+BC=atanβ+atanα.
故选:B.
5.(2分)(2022春•上虞区期末)已知AD是△ABC的中线,BC=6,且∠ADC=45°,∠B=30°,则AC=( )
A. B. C. D.6
解:如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
∵∠ADC=45°,∠B=30°,
∴AB=2AE,AE=ED,
∵BC=6,AD是△ABC的中线,
∴CD=BD=3,
设AE=DE=x,则AB=2x,
∴CE=x﹣3,BE=x+3,
在Rt△AEB中,根据勾股定理得,
(2x)2=x2+(x+3)2,
∴2x2﹣6x=9,
在Rt△AEC中,根据勾股定理得,
AC2=x2+(x﹣3)2,
∴AC2=2x2﹣6x+9,
∴AC2=18,
∴AC=3(负值舍去).
故选:B.
6.(2分)(2022秋•奉贤区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=α,AB=m,那么边BC的长为( )
A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα
解:如图,∠C=90°,∠B=α,AB=m,
则cosB=cosα=,
∴BC=AB•cosα=m•cosα.
故选:B.
7.(2分)(2022秋•牟平区期中)将Rt△ABC的各边长都缩小为原来的,则锐角A的正弦值( )
A.缩小为原来的 B.不变
C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=b,AB=c,BC=a,则sinA=.
将Rt△ABC的各边长都缩小为原来的后得到△A′B′C′,∠C′=90°,
则A′C′=b,A′B′=c,B′C′=a,
∴sinA′==,
∴锐角A的正弦值不变,
故选:B.
8.(2分)(2022秋•晋州市期中)如图所示,是由小正方形构成的4×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点O,A,P,C,D均在格点上,则∠AOB和∠COD的大小关系为( )
A.∠AOB>∠COD B.∠AOB=∠COD C.∠AOB<∠COD D.无法确定
解:如图,连接AP,过点A作AN⊥OP于N,
∴AP==,OD==,
S△OPA=S梯形OPFE﹣S△AOE﹣S△PAF
=×(1+2)×2﹣×2×1﹣×1×1
=3﹣1﹣
=,
又∵S△OPA=××AN,即××AN=,
∴AN=,
∴sin∠AOB===0.6,
∵sin∠COD==≈0.7,
∵0.6<0.7,即sin∠AOB<sin∠COD,
∴∠AOB<∠COD,
故选:C.
9.(2分)(2022秋•芝罘区期中)如图,已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上,则cosA的值为( )
A. B. C. D.
解:如图所示:连接CD,
可得:∠ADC=90°,CD=,AD=2,AC=,
所以cosA===.
故选:D.
10.(2分)(2021秋•叙州区期末)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则tan∠BAC的值为( )
A. B. C.2 D.3
解:由网格以及勾股定理可得,
AB==2,BC==,AC==,
∴AB2+BC2=8+2=10=AC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,
∴tan∠BAC==,
故选:B.
二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)
11.(2分)(2022秋•虎丘区校级期中)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α= 60° .
解:∵∠α为锐角,sinα=,
∴∠α=60°.
故答案为:60°.
12.(2分)(2022秋•徐汇区校级期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A的正切值等于2,直尺的一边与BC重合,另一边分别交AB,AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽BD的长为 1 .
解:∵tanA=,
∴AB=,
∴AB=,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴AD:AB=DE:BC,
∴AD:=1:3,
∴AD=,
∴DB=AB﹣AD,
∴BD=﹣=1,
故答案为:1.
13.(2分)(2022秋•工业园区期中)2022年,北京成功举办第24届冬季奥运会后,很多学校都开展了冰雪项目的学习活动.如图,一位同学乘滑雪板沿坡度为i=1:2的斜坡滑行30米,则他下降的高度为 6 米.
解:设他下降的高度AC为x米,
∵斜坡的坡度为i=1:2,
∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米,
由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,即x2+(2x)2=302,
解得:x=±6(负值舍去),
∴他下降的高度为6米,
故答案为:6.
14.(2分)(2022秋•奉贤区期中)如图,在平面直角坐标系内有一点P(5,12),那么OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值 .
解:过点P作PA⊥x轴于点A,
∵P(5,12),
∴OA=5,PA=12,
∴OP=13,
∴OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值为:sin∠POA==.
故答案为:.
15.(2分)(2022秋•钢城区期中)如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则sinC= .
解:如图,作△ABC的高AH.
∵∠H=90°,AH=2,CH=4,
∴AC===2,
∴sinC===.
故答案为:.
16.(2分)(2022秋•牟平区期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则sin∠DCA的值为 .
解:∵∠ACB=90°,点D为AB的中点,
∴CD=AB=AD,
∴AB=2CD=6,∠DCA=∠A,
∴sin∠DCA=sinA===.
故答案为:.
17.(2分)(2022秋•锦江区校级期中)如图所示,某河提的横断面是梯形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB长13米,且AB边的坡度为,则河堤的高BE为 12 米.
解:由已知斜坡AB的坡度,得:
BE:AE=12:5,
设AE=5x米,则BE=12x米,
在直角三角形AEB中,根据勾股定理得:
132=5x2+(12x)2,
即169x2=169,
解得:x=1或x=﹣1(舍去),
5x=5,12x=12
即河堤高BE等于12米.
故答案为:12.
18.(2分)(2022秋•武汉期中)如图,一条笔直铁路MN和一条笔直公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,在点A处有一栋居民楼,OA=200米,已知火车行驶时,周围200米以内都会受到噪声的影响,若火车在铁路MN上沿ON方向以每秒20米的速度行驶,那么居民楼受噪声影响的时间为 17.3 秒.(不考虑火车长度,结果保留小数点后一位,参考数据:≈1.414,≈1.732)
解:如图,过点A作AC⊥MN于C,以点A为圆心,以200米为半径画圆,则⊙A交MN于点O,设另一个交点为B,连接OB,
当火车行驶到点O时,开始影响居民楼A,当驶离点B时,结束影响居民楼A,
∵OA=200米,∠AOB=30°,
∴OC=OA=100(米),
∵AC⊥OB,
∴OB=2OC=200(米),
∴影响所持续的时间为200÷20=10≈17.3(秒),
故答案为:17.3.
19.(2分)(2022秋•巨野县期中)我市牡丹机场现已成功运营,给出了某型号客机的机翼示意图.其中m=1,,则AB的长为 2﹣ .
解:如图,延长BA与过点C、D且平行于BE的直线相交于点G、F,
在Rt△BDE中,∠DBE=30°,BE=n=,
∴DE=BE=1,
∴BG=CE=1+1=2,
在Rt△ACG中,∠ACG=45°,
∴AG=CG=BE=n=,
∴AB=BG﹣AG=2﹣,
故答案为:2﹣.
20.(2分)(2022秋•杨浦区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AF⊥CD,AF分别与CD、CB相交于点E、F,如果tanB=,那么的值是 .
解:∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=DB=AB,
∴∠B=∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵AF⊥CD,
∴∠CEA=90°,
∴∠ACD+∠CAE=90°,
∴∠CAE=∠DCB,
∴∠CAE=∠DCB=∠B,
∴tanB=tan∠DCB=tan∠CAE=,
在Rt△ACE中,tan∠CAE==,
设CE=2x,则AE=3x,
在Rt△CEF中,EF=CE•tan∠DCB=2x•=,
∴==,
故答案为:.
三.解答题(共9小题,满分60分)
21.(6分)(2022秋•姑苏区期中)计算:
(1)cos45°+3tan30°﹣2sin60°;
(2)tan45°﹣4sin30°•cos230°.
解:(1)原式=+3×﹣2×
=+﹣
=;
(2)原式=1﹣4××()2
=1﹣2×
=1﹣
=﹣.
22.(6分)(2022秋•临清市期中)如图,在△ABC中,∠C=30°,AC=12,sinB=,求BC长.
解:作AD⊥BC于D,
∵cosC=,
∴DC=AC•cosC,
∴DC=12cos30°=6,
∵∠C=30°,
∴AD=AC=6,
∵sinB=,
∴AB=,
∴AB=10,
∵BD2=AB2﹣AD2,
∴DB2=102﹣62,
∴DB=8,
∴BC=DB+DC=6+8.
23.(6分)(2022秋•二道区校级月考)如图,为了测量一条河流的宽度(河的两岸是平行的),一测量员在河北岸边的点M处,测得河南岸边的两根电线杆P和Q的位置,经测量发现,点P在点M的正南方向,点Q在点M南偏东53°的方向.已知两根电线杆P、Q之间的距离为190米,求河宽PM.(结果精确到1米)
【参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈】
解:由题意可得:tan53°==≈,
则PM=≈143(米),
答:河宽PM约为143米.
24.(6分)(2022•仁怀市模拟)小华在网上看到一个如图(1)的躺椅,他决定自己动手用木条制作一个简易的躺椅,如图(2)是简易躺椅的侧面,其中∠B=44°,∠ACB=17°,∠DEC=∠DCE=48°,AE=AC,若木条AB=5dm,请你计算木条AC,DE,DC的长.(相关数据:sin44°=0.69,cos44°=0.72,tan44°=0.97,sin17°=0.29,cos17°=0.96,tan17°=0.31,sin48°=0.74,cos48°=0.67,tan48°=1.11,结果保留一位小数)
解:过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥FC于点N,如图,
在Rt△ABM中,AB=5dm,∠ABC=44°,
∵,
∴AM=AB•sin∠ABM=5•sin44°=5×0.69=3.45dm,
在Rt△ACM中,∠ACM=17°,
∵
∴;
∵,
∴,
∵∠DEC=∠DCE=48°,
∴DE=DC,
∵DN⊥FC
∴,
在Rt△DEN中,EN=3,97dm,∠DEN=48°,
∵,
∴
答:AC的长为11.9dm,DE的长为5.9dm,DC的长为5.9dm.
25.(6分)(2022秋•沈河区校级期中)体温检测是疫情防控中的一项重要工作,某公司设计了一款红外线体温检测仪,该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测.如图,AC是水平地面,其中AB是测温区域,测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处,若该测温仪能识别体温的最大张角为60°(即∠ADC=60°),能识别体温的最小张角为30°(即∠BDC=30°)
(1)当设备安装高度CD为2米时,求测温区域AB的长度;(结果保留根号)
(2)为了达到良好的检到效果,该公司要求测温区AB的长不低于3.6米,则设备的最低安装高度CD约是 3.1 米.(结果保留1位小数,参考数据:≈1.41,≈1.73)
解:(1)由题意可知:∠C=90°,∠CDA=60°,DC=2米,
∴AC=DC•tan60°=2米,
∵∠BDC=30°,
∴BC=DC•tan30°=米,
∴AB=AC﹣BC=米.
答:测温区域AB的长度为米.
(2)∵∠C=90°,∠CDA=60°,
∴∠A=30°,
又∵∠CDB=30°,
∴∠ADB=∠A,
∴BD=BA=3.6米,
在Rt△BCD中,∵∠C=90°,∠CDB=30°,
∴DC=DB•cos30°=米≈3.1米,
答:最低安装高度为3.1米.
26.(6分)(2022秋•虎丘区校级期中)(1)在△ABC中,∠C=90°.已知c=8,∠A=60°,求∠B,a,b;
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,D为AC上一点,∠BDC=45°,CD=6.求AD的长.
解:(1)∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=90°﹣∠A=30°,
∴b=c=4,
∵tanA=,
∴a=btanA,
∴a=4×=12;
(2)∵∠C=90,∠BDC=45°,
∴△BDC是等腰直角三角形,
∴BC=CD=6,
∵sinA=,
∴AB==10,
∵AC2=AB2﹣BC2,
∴AC2=102﹣62,
∴AC=8,
∴AD=AC﹣DC=2.
27.(8分)(2022秋•鄞州区期中)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心,该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向移动,若在距离台风中心130km范围内都要受到影响.(结果精确到0.01)()
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
解:(1)该城市会受到这次台风的影响.
理由是:如图,过A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=30°,AB=220km,
∴AD=AB=110km,
∵110<130,
∴该城市会受到这次台风的影响;
(2)如图以A为圆心,130km为半径作⊙A交BC于E、F.
则AE=AF=130km.
∴台风影响该市持续的路程为:EF=2DE=2=80(km).
∴台风影响该市的持续时间t=80÷15=(小时),
∴台风影响该城市的持续时间有小时.
28.(8分)(2022秋•蓬莱区期中)如图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tan,tan,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,若水面上升1m,水面宽为多少?
解:过点P作PH⊥x轴于点H,如图所示.
设PH=3xm,则OH=6xm,AH=2xm,
∴OA=OH+HA=6x+2x=4,
解得:x=,
∴OH=6x=3,PH=3x=,
∴点P的坐标为(3,).
设拱桥所在抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
将点O(0,0)、B(4,0)、P(3,)代入y=ax2+bx+c,
,解得:,
∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2x.
当y=﹣x2+2x=1时,x=2±,
∴2+﹣(2﹣)=2(m).
答:水面上升1m,水面宽2m.
29.(8分)(2022秋•晋江市校级期中)八仙阁是八仙山公园里的一个主景区,八仙阁也是晋江的一个标志性建筑.在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景,甚至周围景观都能尽收眼底.小明想知道它的高度.于是走到点C处,测得此时塔尖A的仰角是37°,向前走了15.5米至点F处,测得此时塔尖A的仰角是45°,已知小明的眼睛离地面高度是1.5米,请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度.(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈)
解:由题意得∠DCB=∠FEB=∠GBE=∠BGD=90°,CD∥EF∥AB,
则四边形DCEF、FEBG、DCBG均为矩形.
所以BG=EF=CD=1.5米,CF=DE=15.5米,
在Rt△AGF中,∠AEG=∠EAG=45°,
则AG=EG.设AG=EG=x米,
在Rt△AGD中,tan∠ADG=,
则tan37°=,
∴≈,
解得:x=46.5,
所以AG=46.5米,
则AB=46.5+1.5=48(米).
答:八仙阁AB的高度为48米
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