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初中人教版27.1 图形的相似精品当堂达标检测题
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2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第27章《相似》
27.1 图形的相似
知识点01：比例的性质
1．（2022秋•青羊区校级期中）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴＝1+
＝1+
＝．
故选：C．
2．（2022秋•鄞州区校级期中）已知＝＝≠0，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝，
故选：A．
3．（2022秋•衡南县期中）已知3x＝2y，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．3x+2y＝0
解：∵3x＝2y，
∴．
故选：C．
4．（2022秋•涟源市期中）若＝，则＝ ．
解：两边都乘以b，得
a＝b．
＝＝，
故答案为：．
5．（2022秋•高邮市期中）若a：b＝3：4，b：c＝1：2，则a：c＝ ．
解：∵a：b＝3：4，
又∵b：c＝1：2＝4：8，
∴a：b：c＝3：4：8；
∴a：c＝．
故答案为：．
6．（2022秋•三元区期中）如果，那么＝ ．
解：∵＝，
∴5a＝7b，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
7．（2022秋•泗县期中）若＝＝，且3a﹣2b+c＝3，求4a+2b﹣3c的值．
解：设＝＝＝k，
∴a＝5k，b＝7k，c＝8k，
∵3a﹣2b+c＝3，
∴15k﹣14k+8k＝3，
解得：k＝，
∴a＝，b＝，c＝，
∴4a+2b﹣3c＝4×+2×﹣3×
＝+﹣8
＝，
∴4a+2b﹣3c的值为．
8．（2022秋•尤溪县期中）（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad＝bc，其变形根据是 等式的基本性质 ；反过来，如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），可以得出比例式，那么还可以得出其它哪些不同的比例式（直接写出其中三个正确的比例式即可）．
（2）如果（b﹣d≠0），那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
解：（1）∵，
∴根据等式的基本性质，ad＝bc，
由，还可以得到＝，＝，＝；
故答案为：等式的基本性质；
（2）成立，
理由：由（1）得ad＝bc，
∴ad﹣cd＝bc﹣cd，
即d（a﹣c）＝c（b﹣d），
∴（b﹣d≠0）．
9．（2022秋•大田县期中）已知a：b：c＝4：3：2．
（1）若c＝4，求a，b的值；
（2）若a+b﹣2c＝9，求a+b+c的值．
解：（1）设a＝4k，b＝3k，c＝2k．
∵c＝4，
∴k＝2．
∴a＝4k＝8，b＝3k＝6．
（2）由（1）得，a＝4k，b＝3k，c＝2k．
∵a+b﹣2c＝9，
∴4k+3k﹣4k＝3k＝9．
∴k＝3．
∴a+b+c＝4k+3k+2k＝9k＝27．
知识点02：比例线段
10．（2022秋•平桂区 期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于（ ）
A．1 B．10 C．2.5 D．7.5
解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝2，b＝4，c＝5，
∴a：b＝c：d，
∴2：4＝5：d，
∴d＝＝10，
故选：B．
11．（2022秋•鄞州区期中）已知两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是（ ）
A．100000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000
C解：∵10km＝700000厘米，
∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；
故选：C．
12．（2022秋•历下区校级月考）下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．2，3，4，5 B．1，2，3，6
C．1.5，2.5，2，3 D．1，1，2，3
解：A、2：3≠4：5，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例，故不符合题意；
B、1：2＝3：6，则a：b＝c：d．故a，b，d，c成比例，故符合题意；
C、1.5：2≠2.5：3，即b：a≠c：d，故b，a，c，d不成比例，故不符合题意；
D、1：1≠2：3，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例，故不符合题意．
故选：B．
13．（2022秋•青羊区校级期中）四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝4cm，d＝5cm，则a＝ 2.4 cm．
解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，ad＝bc
∵b＝3cm，c＝4cm，d＝5cm，
5a＝12
解得：a＝2.4cm．
故答案为：2.4．
14．（2022秋•紫金县期中）已知四条线段4，x，2，3成比例，若x为整数，则x＝ 6 ．
解：∵4，x，2，3成比例，
∴2x＝3×4或3x＝2×4或4x＝2×3，
解得x＝6或x＝或x＝，
∵x为整数，则x＝6．
故答案为：6．
15．（2022秋•大田县期中）将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为a，b，c，d，则a，b，c，d成比例的概率为 ．
解：将2，3，4，6这四个数随机排列，一共有4×3×2×1＝24种情况，
∵2×6＝3×4，
∴其中a，b，c，d成比例的有8种，
∴则a，b，c，d成比例的概率为＝．
故答案为：．
16．（2022秋•无为市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．
（2）已知线段a＝4cm，线段b＝9cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
解：（1）设＝k，
∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6k+5k﹣8k＝6，
∴k＝2，
∴a＝6k＝12，
∴a的值为12；
（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a＝4cm，b＝9cm，
∴c2＝ab＝36，
解得：c＝±6，
又∵线段长是正数，
∴c＝6cm．
17．（2022秋•双牌县校级月考）如图，已知点C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AB：BD＝3：2，AC：BC＝5：3，AC＝10，求AD的长．
解：∵AC：BC＝5：3，AC＝10，
∴BC＝×10＝6，
∴AB＝AC+BC＝16，
∵AB：BD＝3：2，
∴BD＝×16＝，
∴AD＝AB+BD＝，
故AD的长为．
18．（2021秋•邢台期末）如图，C是线段AB上的一点，AC：CB＝2：1．
（1）图中以点A，B，C中任意两点为端点的线段共有 3 条．
（2）若AC＝4，求AB的长．
解：（1）线段有：AC，AB，CB，共3条，
故答案为：3；
（2）∵AC＝4，AC：CB＝2：1，
∴CB＝2，
∴AB＝AC+CB＝4+2＝6．
知识点03：黄金分割
19．（2022秋•潜山市月考）已知线段AB＝10，点C是AB的黄金分割点，则AC＝（ ）
A．5﹣5 B．15﹣5
C．5﹣5或15﹣5 D．以上都不对
解：∵点C是AB的黄金分割点，AB＝10，
∴AC＝AB＝×10＝5﹣5，或AC＝AB＝×10＝15﹣5．
故选：C．
20．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴＝，
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
∴x＝﹣1≈1.24，
故选：B．
21．（2021秋•句容市期末）如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
解：S1＝S2．
理由如下：
∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2＝PB•AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
22．（2022•淮安区模拟）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列比例式能成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB•BP，
∴，
故选：C．
23．（2022秋•海淀区校级期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618：1，这时人的身长比例看上去更美观．妈妈的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度 偏高 ．（填“偏高、合适、偏低、无法判断”）
解：设这双高跟鞋的高度为xcm合适，
由题意得：
64：（102+x）＝0.618：1，
解得：x≈1.6，
∵6cm＞1.6cm，
∴这双高跟鞋的高度偏高，
故答案为：偏高．
24．（2022秋•奉贤区期中）已知线段MN＝6，点O是线段MN的黄金分割点，且MO＞NO，那么MO的长为 ．
解：∵点O是线段MN的黄金分割点，且MO＞NO，MN＝6，
∴OM＝MN＝×6＝3﹣3，
故答案为：．
25．（2022秋•奉贤区期中）已知点P是线段CD的黄金分割点（CP＜DP），若DP＝6厘米，那么CP＝ （3﹣3） 厘米．
解：∵点P是线段CD的黄金分割点（CP＜DP），DP＝6厘米，
∴＝，
∴CP＝DP＝×6＝（3﹣3）厘米，
故答案为：（3﹣3）．
26．（2022秋•武昌区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段AB的长为2，C为线段AB的黄金分割点，D为线段AC的黄金分割点，E为线段AD的黄金分割点，即，则ED的长为 7﹣3 ．
解：∵AB＝2，C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝﹣1，
同理：AD＝AC＝×（﹣1）＝3﹣，
AE＝AD＝×（3﹣）＝2﹣4，
∴ED＝AD﹣AE＝3﹣﹣（2﹣4）＝7﹣3，
故答案为：7﹣3．
27．（2022秋•诏安县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）求作：∠ABC的平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点D为线段AC的黄金分割点（即AD2＝CD•CA）．
（1）解：∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示：
（2）证明：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CBD＝∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC＝CD：BC，
∴AD：AC＝CD：AD，
∴AD2＝CD•CA，
∴点D为线段AC的黄金分割点．
28．（2022秋•历下区期中）如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成⊙A，熊猫的身体画成⊙B，⊙A与⊙B的直径的比按照黄金比画，若⊙B的直径为4，请计算⊙A的周长．
解：∵⊙A与⊙B的直径的比按照黄金比画，⊙B的直径为4，
∴⊙A的直径＝×4＝2﹣2，
∴⊙A的周长＝（2﹣2）π，
∴⊙A的周长为（2﹣2）π．
29．（2022•茂南区一模）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
解：（1）如图所示，BD即为所求；
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．
知识点04：相似图形
30．（2022秋•宝山区期中）下列各组图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个矩形
解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；
D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．
故选：C．
31．（2022秋•顺德区校级月考）△ABC与△A'B'C′是相似图形，且△ABC与△A'B'C′的相似比是1：2，则△ABC与△A'B'C′的面积比是（ ）
A．1：2 B．1： C．1：4 D．2：1
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′面积比是：1：4．
故选：C．
32．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是 a .（用a的代数式表示）．
解：如图，连接AC，交BD于O．
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，
∴OC＝OA＝AB＝a．
由题意，可得菱形ABCD∽菱形ECFA，
∴∠ECO＝∠ECF＝∠ABC＝30°，
∴CE＝＝＝a．
故答案为：a．
33．（2021秋•霞浦县期中）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 135° ．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
34．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为 100° ．
解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大内角度数为100°，
故答案为：100°．
35．（2019秋•贵阳期末）如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为 20 ；
②当菱形的“接近度”等于 0 时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
36．（2019秋•大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．
知识点05：相似多边形的性质
37．（2022秋•顺德区期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝80°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝80°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠E＝∠A＝8°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣80°﹣120°﹣90°＝70°，
故选：C．
38．（2022秋•即墨区期中）两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，若它们的面积和是78cm2，则较大五边形的面积是（ ）
A．42cm2 B．44.8cm2 C．52cm2 D．54cm2
解：∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，
∴这两个相似五边形的相似比为2：3，
设较大的五边形的面积为xcm2，则较小的五边形的面积为（78﹣x）cm2，
∴，
解得x＝54，
即较大的五边形的面积为54cm2．
故选：D．
39．（2021秋•惠州期末）若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
解：相似多边形的周长的比是1：2，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；
故选：A．
40．（2022秋•义乌市期中）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．
解：相似多边形的周长的比是2：3，
周长的比等于相似比，因而相似比是2：3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为4：9；
故答案为：4：9．
41．（2022秋•禅城区校级月考）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为 ．
解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴
解得a＝或﹣（舍去），
∴a＝，
故答案为：．
42．（2022春•桓台县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B＝ 65° ．
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠A＝∠E＝85°，∠C＝∠G＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣85°﹣120°﹣90°＝65°．
故答案为：65°．
43．（2022秋•固镇县校级期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB＝AD＝2，
∵四边形EFBA是矩形，
∴EF＝AB＝2，
∵矩形EFCD∽矩形AEFB，
∴＝，
∴＝，
解得：AE＝﹣1或AE＝﹣﹣1（舍去），
∴AE的长为﹣1．
44．（2022春•牟平区期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；
③两个大小不同的正方形相似，是真命题；
故答案为：假，假，真；
（2）证明：如图，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴，
∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第27章《相似》
27.1 图形的相似
知识点01：比例的性质
1．（2022秋•青羊区校级期中）若，则＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴＝1+
＝1+
＝．
故选：C．
2．（2022秋•鄞州区校级期中）已知＝＝≠0，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝，
故选：A．
3．（2022秋•衡南县期中）已知3x＝2y，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．3x+2y＝0
解：∵3x＝2y，
∴．
故选：C．
4．（2022秋•涟源市期中）若＝，则＝ ．
解：两边都乘以b，得
a＝b．
＝＝，
故答案为：．
5．（2022秋•高邮市期中）若a：b＝3：4，b：c＝1：2，则a：c＝ ．
解：∵a：b＝3：4，
又∵b：c＝1：2＝4：8，
∴a：b：c＝3：4：8；
∴a：c＝．
故答案为：．
6．（2022秋•三元区期中）如果，那么＝ ．
解：∵＝，
∴5a＝7b，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
7．（2022秋•泗县期中）若＝＝，且3a﹣2b+c＝3，求4a+2b﹣3c的值．
解：设＝＝＝k，
∴a＝5k，b＝7k，c＝8k，
∵3a﹣2b+c＝3，
∴15k﹣14k+8k＝3，
解得：k＝，
∴a＝，b＝，c＝，
∴4a+2b﹣3c＝4×+2×﹣3×
＝+﹣8
＝，
∴4a+2b﹣3c的值为．
8．（2022秋•尤溪县期中）（1）如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad＝bc，其变形根据是 等式的基本性质 ；反过来，如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），可以得出比例式，那么还可以得出其它哪些不同的比例式（直接写出其中三个正确的比例式即可）．
（2）如果（b﹣d≠0），那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
解：（1）∵，
∴根据等式的基本性质，ad＝bc，
由，还可以得到＝，＝，＝；
故答案为：等式的基本性质；
（2）成立，
理由：由（1）得ad＝bc，
∴ad﹣cd＝bc﹣cd，
即d（a﹣c）＝c（b﹣d），
∴（b﹣d≠0）．
9．（2022秋•大田县期中）已知a：b：c＝4：3：2．
（1）若c＝4，求a，b的值；
（2）若a+b﹣2c＝9，求a+b+c的值．
解：（1）设a＝4k，b＝3k，c＝2k．
∵c＝4，
∴k＝2．
∴a＝4k＝8，b＝3k＝6．
（2）由（1）得，a＝4k，b＝3k，c＝2k．
∵a+b﹣2c＝9，
∴4k+3k﹣4k＝3k＝9．
∴k＝3．
∴a+b+c＝4k+3k+2k＝9k＝27．
知识点02：比例线段
10．（2022秋•平桂区 期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于（ ）
A．1 B．10 C．2.5 D．7.5
解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝2，b＝4，c＝5，
∴a：b＝c：d，
∴2：4＝5：d，
∴d＝＝10，
故选：B．
11．（2022秋•鄞州区期中）已知两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是（ ）
A．100000：1 B．1000：1 C．1：100000 D．1：1000
C解：∵10km＝700000厘米，
∴比例尺＝10：1000000＝1：100000；
故选：C．
12．（2022秋•历下区校级月考）下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．2，3，4，5 B．1，2，3，6
C．1.5，2.5，2，3 D．1，1，2，3
解：A、2：3≠4：5，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例，故不符合题意；
B、1：2＝3：6，则a：b＝c：d．故a，b，d，c成比例，故符合题意；
C、1.5：2≠2.5：3，即b：a≠c：d，故b，a，c，d不成比例，故不符合题意；
D、1：1≠2：3，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例，故不符合题意．
故选：B．
13．（2022秋•青羊区校级期中）四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝4cm，d＝5cm，则a＝ 2.4 cm．
解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，ad＝bc
∵b＝3cm，c＝4cm，d＝5cm，
5a＝12
解得：a＝2.4cm．
故答案为：2.4．
14．（2022秋•紫金县期中）已知四条线段4，x，2，3成比例，若x为整数，则x＝ 6 ．
解：∵4，x，2，3成比例，
∴2x＝3×4或3x＝2×4或4x＝2×3，
解得x＝6或x＝或x＝，
∵x为整数，则x＝6．
故答案为：6．
15．（2022秋•大田县期中）将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为a，b，c，d，则a，b，c，d成比例的概率为 ．
解：将2，3，4，6这四个数随机排列，一共有4×3×2×1＝24种情况，
∵2×6＝3×4，
∴其中a，b，c，d成比例的有8种，
∴则a，b，c，d成比例的概率为＝．
故答案为：．
16．（2022秋•无为市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．
（2）已知线段a＝4cm，线段b＝9cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
解：（1）设＝k，
∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6k+5k﹣8k＝6，
∴k＝2，
∴a＝6k＝12，
∴a的值为12；
（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a＝4cm，b＝9cm，
∴c2＝ab＝36，
解得：c＝±6，
又∵线段长是正数，
∴c＝6cm．
17．（2022秋•双牌县校级月考）如图，已知点C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AB：BD＝3：2，AC：BC＝5：3，AC＝10，求AD的长．
解：∵AC：BC＝5：3，AC＝10，
∴BC＝×10＝6，
∴AB＝AC+BC＝16，
∵AB：BD＝3：2，
∴BD＝×16＝，
∴AD＝AB+BD＝，
故AD的长为．
18．（2021秋•邢台期末）如图，C是线段AB上的一点，AC：CB＝2：1．
（1）图中以点A，B，C中任意两点为端点的线段共有 3 条．
（2）若AC＝4，求AB的长．
解：（1）线段有：AC，AB，CB，共3条，
故答案为：3；
（2）∵AC＝4，AC：CB＝2：1，
∴CB＝2，
∴AB＝AC+CB＝4+2＝6．
知识点03：黄金分割
19．（2022秋•潜山市月考）已知线段AB＝10，点C是AB的黄金分割点，则AC＝（ ）
A．5﹣5 B．15﹣5
C．5﹣5或15﹣5 D．以上都不对
解：∵点C是AB的黄金分割点，AB＝10，
∴AC＝AB＝×10＝5﹣5，或AC＝AB＝×10＝15﹣5．
故选：C．
20．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴＝，
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
∴x＝﹣1≈1.24，
故选：B．
21．（2021秋•句容市期末）如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
解：S1＝S2．
理由如下：
∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2＝PB•AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
22．（2022•淮安区模拟）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列比例式能成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB•BP，
∴，
故选：C．
23．（2022秋•海淀区校级期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618：1，这时人的身长比例看上去更美观．妈妈的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度 偏高 ．（填“偏高、合适、偏低、无法判断”）
解：设这双高跟鞋的高度为xcm合适，
由题意得：
64：（102+x）＝0.618：1，
解得：x≈1.6，
∵6cm＞1.6cm，
∴这双高跟鞋的高度偏高，
故答案为：偏高．
24．（2022秋•奉贤区期中）已知线段MN＝6，点O是线段MN的黄金分割点，且MO＞NO，那么MO的长为 ．
解：∵点O是线段MN的黄金分割点，且MO＞NO，MN＝6，
∴OM＝MN＝×6＝3﹣3，
故答案为：．
25．（2022秋•奉贤区期中）已知点P是线段CD的黄金分割点（CP＜DP），若DP＝6厘米，那么CP＝ （3﹣3） 厘米．
解：∵点P是线段CD的黄金分割点（CP＜DP），DP＝6厘米，
∴＝，
∴CP＝DP＝×6＝（3﹣3）厘米，
故答案为：（3﹣3）．
26．（2022秋•武昌区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段AB的长为2，C为线段AB的黄金分割点，D为线段AC的黄金分割点，E为线段AD的黄金分割点，即，则ED的长为 7﹣3 ．
解：∵AB＝2，C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝﹣1，
同理：AD＝AC＝×（﹣1）＝3﹣，
AE＝AD＝×（3﹣）＝2﹣4，
∴ED＝AD﹣AE＝3﹣﹣（2﹣4）＝7﹣3，
故答案为：7﹣3．
27．（2022秋•诏安县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）求作：∠ABC的平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：点D为线段AC的黄金分割点（即AD2＝CD•CA）．
（1）解：∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示：
（2）证明：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CBD＝∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC＝CD：BC，
∴AD：AC＝CD：AD，
∴AD2＝CD•CA，
∴点D为线段AC的黄金分割点．
28．（2022秋•历下区期中）如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成⊙A，熊猫的身体画成⊙B，⊙A与⊙B的直径的比按照黄金比画，若⊙B的直径为4，请计算⊙A的周长．
解：∵⊙A与⊙B的直径的比按照黄金比画，⊙B的直径为4，
∴⊙A的直径＝×4＝2﹣2，
∴⊙A的周长＝（2﹣2）π，
∴⊙A的周长为（2﹣2）π．
29．（2022•茂南区一模）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
解：（1）如图所示，BD即为所求；
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．
知识点04：相似图形
30．（2022秋•宝山区期中）下列各组图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个矩形
解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；
D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．
故选：C．
31．（2022秋•顺德区校级月考）△ABC与△A'B'C′是相似图形，且△ABC与△A'B'C′的相似比是1：2，则△ABC与△A'B'C′的面积比是（ ）
A．1：2 B．1： C．1：4 D．2：1
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′面积比是：1：4．
故选：C．
32．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是 a .（用a的代数式表示）．
解：如图，连接AC，交BD于O．
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，
∴OC＝OA＝AB＝a．
由题意，可得菱形ABCD∽菱形ECFA，
∴∠ECO＝∠ECF＝∠ABC＝30°，
∴CE＝＝＝a．
故答案为：a．
33．（2021秋•霞浦县期中）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 135° ．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
34．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为 100° ．
解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大内角度数为100°，
故答案为：100°．
35．（2019秋•贵阳期末）如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为 20 ；
②当菱形的“接近度”等于 0 时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
36．（2019秋•大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积．
解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵＝，＝，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴＝＝，
同理＝＝＝，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：×9×12＝54．
知识点05：相似多边形的性质
37．（2022秋•顺德区期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝80°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝80°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠E＝∠A＝8°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣80°﹣120°﹣90°＝70°，
故选：C．
38．（2022秋•即墨区期中）两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，若它们的面积和是78cm2，则较大五边形的面积是（ ）
A．42cm2 B．44.8cm2 C．52cm2 D．54cm2
解：∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，
∴这两个相似五边形的相似比为2：3，
设较大的五边形的面积为xcm2，则较小的五边形的面积为（78﹣x）cm2，
∴，
解得x＝54，
即较大的五边形的面积为54cm2．
故选：D．
39．（2021秋•惠州期末）若两个相似三边形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
解：相似多边形的周长的比是1：2，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；
故选：A．
40．（2022秋•义乌市期中）两个相似多边形的周长之比为2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．
解：相似多边形的周长的比是2：3，
周长的比等于相似比，因而相似比是2：3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为4：9；
故答案为：4：9．
41．（2022秋•禅城区校级月考）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为 ．
解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴
解得a＝或﹣（舍去），
∴a＝，
故答案为：．
42．（2022春•桓台县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B＝ 65° ．
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠A＝∠E＝85°，∠C＝∠G＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣85°﹣120°﹣90°＝65°．
故答案为：65°．
43．（2022秋•固镇县校级期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长．
解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB＝AD＝2，
∵四边形EFBA是矩形，
∴EF＝AB＝2，
∵矩形EFCD∽矩形AEFB，
∴＝，
∴＝，
解得：AE＝﹣1或AE＝﹣﹣1（舍去），
∴AE的长为﹣1．
44．（2022春•牟平区期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；
③两个大小不同的正方形相似，是真命题；
故答案为：假，假，真；
（2）证明：如图，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴，
∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
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