【重难点讲义】人教版数学九年级下册-提高练 第27章《相似》章节巩固讲义

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2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第27章《相似》章节复习巩固
考试时间：100分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•上虞区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式不一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故A、D选项不符合题意，B选项符合题意；
∵DE∥BC，
∴，
故C选项不符合题意．
故选：B．
2．（2分）（2022秋•奉贤区期中）如果点C是线段AB的黄金分割点（且BC＞AC），那么下列结论错误的为（　　）
A．＝ B．BC是AC和AB的比例中项
C．＝ D．＝
解：∵点C是线段AB的黄金分割点（且BC＞AC），
∴BC是AC和AB的比例中项，＝＝，
∴＝＝，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
3．（2分）（2022秋•义乌市期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的最长边的比是1：2，
故选：A．
4．（2分）（2021秋•武义县期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（　　）

A．10m B．8m C．6m D．4m
解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝16，FD＝4；

在直角△EFC中，CD是斜边上的高，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴；
即DC2＝ED•FD，
代入数据可得DC2＝64，
∴DC＝8．
故选：B．
5．（2分）（2022秋•鹿城区校级期中）如图，Rt△AOB的顶点A（2，1），B（﹣2，n）分别在第一、二象限内，∠AOB＝90°，则n的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
解：过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示：

则∠AHO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAH+∠AOH＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOH+∠BOD＝90°，
∴∠OAH＝∠BOD，
∴△AHO∽△ODB，
∴AH：OD＝OH：BD，
∵Rt△AOB的顶点A（2，1），B（﹣2，n）分别在第一、二象限内，
∴AH＝1，OH＝2，OD＝2，BD＝n，
∴1：2＝2：n，
解得n＝4，
故选：C．
6．（2分）（2022秋•香坊区校级期中）如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AB，ED∥BC．
∵DF∥AB，
∴＝，＝，△EDF∽△EAB．
∴＝．
故选项A、B、D正确；
∵ED∥BC，
∴△EDF∽△BCF．
∴＝≠．
故选项C错误．
故选：C．

7．（2分）（2022秋•历下区期中）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（　　）

A．cm B．2cm C．cm D．3cm
解：如图：过O作ON⊥CD于N，交AB于M，
∵CD∥AB，
∴OM⊥AB，
∵OC＝OD，
∴CN＝CD＝3cm，
∴ON＝＝＝4（cm），
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝cm，
∴h＝4﹣＝（cm），
故选：A．

8．（2分）（2022秋•丰泽区校级期中）西周数学家商高总练了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（　　）

A． B． C．y＝2x+1.6 D．
解：由图2可得，
AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝ym，
∴EF＝（y﹣1.6）m，
∵CD⊥AF，EF⊥AF，
∴CD∥EF，
∴△ADC∽△AFE，
∴，
即，
∴，
化简，得y＝x+1.6，
故选：B．
9．（2分）（2022秋•临汾期中）如图，E是▱ABCD的边DA的延长线上的一点，连接CE，交边AB于点P．若，则△AEP与△BCP的周长之比为（　　）

A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AE∥BC，
∴△AEP∽△BCP，
∴＝＝，
故选：A．
10．（2分）（2022秋•龙华区期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，且AE＝AD，作DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：
①AF＝BE；
②DE为∠FDC的角平分线；
③若AD＝AB，则OF：BF＝CE：CG；
④若AE平分∠BAD，DE＝2，则矩形ABCD的面积为2+．
则正确结论的个数是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：①∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，
∴AD∥BC，∠AFD＝∠ABE＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵AD＝AE，
∴△ADF≌△AEB（AAS），
∴AF＝BE，
故①正确，符合题意；
②∵△ADF≌△AEB，
∴DF＝AB＝DC，∠AFD＝∠ABE＝90°，
∴∠DFE＝90°＝∠DCF，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠EDF＝∠EDC，
∴DE为∠FDC的角平分线，
故②正确，符合题意；
③连接CF，

∵AD＝AB，AB＝DF，
∴AD＝DF，
∴∠ADF＝45°，
∴∠DAF＝∠BAE＝∠AEB＝45°，AF＝AB＝BE，
∴∠CEF＝135°，∠ABF＝∠AFB＝67.5°，
∴∠CBF＝22.5°
∵△DEC≌△DEF，
∴CE＝EF，∠OEF＝∠OEC＝67.5°，
∴∠CEF＝∠EFC＝22.5°，
∴∠CBF＝∠ECF，∠CFG＝∠CBF+∠BCF＝45°，∠FCG＝90°﹣22，5＝67.5°，
∴BF＝CF，∠CGF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠FCG＝∠CGF，
∴CF＝FG＝BF，
∵∠OFE＝∠OFC+∠EFC＝67.5°＝∠OEF＝∠FCG＝∠FGC，
∴△OEF∽△FCG，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝BE＝CD＝x，
∴BC＝AD＝AE＝AB＝，
∴CE＝BC﹣BE＝（﹣1）x，
∵CE2+CD2＝DE2，DE＝2，
∴，
解得x2＝2+，
∴矩形ABCD的面积为：，
故④正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•金水区期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 　（30﹣10）　m．（结果保留根号）
解：如图，设主持人站立的位置离A点较近的点为C，
则点C是AB的黄金分割点，
∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）（m），
∴AC＝20﹣（10﹣10）＝（30﹣10）（m），
即主持人站立的位置离A点较近的距离为（30﹣10）m，
故答案为：（30﹣10）．

12．（2分）（2022秋•诏安县期中）经检测主播在播音台的黄金分割点处播音，效果最佳，如图所示播音台AB长4米，此时主播恰在A处，至少向右走 　1.53　米，播音效果最佳（精确到0.01米）．

解：设主播向右走x米，
根据题意，得≈0.618，
解得x≈1.53，
∴主播至少向右走1.53米，
故答案为：1.53．
13．（2分）（2022秋•泰兴市期中）在比例尺为1：20000的地图上，A、B两地的距离为2.5cm，则实际距离为 　500　m．
解：设实际距离为xcm，
根据题意得：＝，
解得：x＝50000，
∵50000cm＝500m，
∴实际距离为500m．
故答案为：500．
14．（2分）（2022秋•中原区校级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q，则＝　　．

解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴PB＝PR，PC：RE＝1：2，，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ，
又∵点R是DE中点，
∴DR＝RE，
∴PQ：QR＝PC：DR＝PC：RE＝1：2，
∴QR＝2PQ，
又∵BP＝PR＝PQ+QR＝3PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2，
故答案为：．
15．（2分）（2022秋•奉贤区期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，AB＝BD＝8，那么DE＝　2　．

解：∵C是线段BD的中点，BD＝8，
∴BC＝CD＝4，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90°，
∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2，
故答案为：2．
16．（2分）（2022•玉树市校级一模）如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，M、N分别为AD、BC上的点，若AM＝3，BN＝6，∠MEN＝90°，则正方形的边长为 　6　．

解：设正方形的边长为x，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AEM+∠AME＝90°．
∵∠MEN＝90°，
∴∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠AME＝∠BEN，
∴△AME∽△BEN，
∴，
∴，
∴＝18，
∵x＞0，
∴x＝6，
∴正方形的边长为6，
故答案为：6．
17．（2分）（2022•顺城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上，连接DE，DG，FG，当四边形DEFG是菱形时，发现菱形的个数随着点D的位置变化而变化，若存在两个菱形DEFG，则线段CD的长的取值范围是 　＜CD≤　．

解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
①当四边形DEFG是正方形时，
过点C作CH⊥AB于点H，CH与DG交与点M，如图，

∵AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝．
设正方形的边长为x，则HM＝x，
∴CM＝CH﹣HM＝﹣x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴x＝．
∴DG＝．
∵△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴CD＝，
观察图形可知：当0≤CD＜时，菱形的个数为0，当CD＝时，菱形的个数为1；
②当四边形DAEG是菱形时，如图，

设菱形的边长为m，则CD＝3﹣m，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴m＝，
∴CD＝3﹣＝，
观察图形可知：当＜CD≤时，菱形的个数为2；
③当四边形DABG是菱形时，如图，

设菱形的边长为n，则CG＝4﹣n，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝．
∵△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴CD＝，
观察图形可知：当＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤3时，菱形的个数为0，
综上，当＜CD≤时，菱形的个数为2，
故答案为：＜CD≤．
18．（2分）（2022秋•铁西区期中）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①CF＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DF＝DH；④DH2＝PH•PB．其中正确的是 　①②④　．

解：∵四边形ABCD是正方形，△PBC是等边三角形，
∴BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，BC＝PC＝PB，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∠DCP＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣60°＝30°，PC＝CD，
∴BE＝2AE，
∵EF∥BC，
∴△EFP∽△BCP，
∴△EFP是等边三角形，
∴BE＝CF，
∴CF＝2AE．
∴①符合题意；
∴∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴∠FDP＝∠FDC﹣∠PDF＝90°﹣75°＝15°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝45°，
∴∠PBH＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠FDP＝∠PBH，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠PCB＝60°，
∴∠DFP＝∠BPH＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴②符合题意；
∵∠ADB＝45°，∠FDP＝15°，
∴∠PDH＝45°﹣15°＝30°，
∴∠DHP＝180°﹣∠DPH﹣∠PDH＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∵∠DFP＝60°，
∴DF≠DH，
∴③不符合题意；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴，
∵PC＝PB，
∴，
∴PD2＝PH•PB，
∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴DH＝PD，
∴DH2＝PH•PB．
∴④符合题意；
故答案为：①②④．
19．（2分）（2022秋•天桥区校级月考）如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　　．

解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，
由题意得，小正方形的边长为1，
∴OP＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，
∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，
同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，
∴∠BMQ＝∠EPO，
又∠OEP＝∠B＝90°，
∴△OEP∽△QBM，
∴＝＝＝，
∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，
∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，
∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，
在△QBM和△MAN中，
，
∴△QBM≌△MAN（AAS），
∴AM＝QB＝，
∴AB＝BM+AM＝．
故答案为：．

20．（2分）（2022•南海区校级模拟）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为3，则图中阴影部分的面积等于 　　．

解：∵EF∥BC，
∴EF：BC＝AF：AB，
∴EF：3＝1：3，
∴EF＝1，DE＝2，
∵DE∥BC，
∴EG：GC＝ED：BC＝2：3，
∴EG：EC＝2：5，
∴S△DEG：SDEC＝2：5，
∵S△DEC＝DE•DC＝6，
∴S△DEG＝S△DEC＝，
∴S阴＝．
故答案为：．

三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•奉贤区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AC＝14，BC＝8，DE＝9，求EF的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝7，BE＝1l，求CF的长．

解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AC＝14，BC＝8，DE＝9，
∴＝，
解得：EF＝12；
（2）连接AF，交BE于H，
∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝，
∵AD∥BE，
∴△FEH∽△FDA，
∴＝，即＝，
解得：HE＝，
∴BH＝BE﹣HE＝，
∵BE∥CF，
∴△ABH∽△ACF，
∴＝，即＝，
解得：CF＝17．

22．（6分）（2022秋•静安区校级期中）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC，
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若AP＝2，PC＝4，S△ABC＝12，求S△APC．

解：（1）∵PB＝PC，
∴∠B＝∠PCB；
∵PC平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠PCB，∠B＝∠ACP，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB（AA）．
（2）∵△APC∽△ACB，
∴，
∵AP＝2，PC＝4，AB＝6，
∴AC＝．
∵△APC∽△ACB，
∴＝，
S△ABC＝3S△ACP，
∴S△ACP＝．

23．（6分）（2022秋•大连期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC边的中点，过点D作AB边的垂线，垂足为E，AE＝6cm，DE＝9cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，到达B点后停止运动，动点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，到达C点后停止运动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中△PDQ的面积为S，运动时间为ts．
（1）求AB和BC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出t的取值范围．

解：（1）∵∠B＝90°，DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AE＝6cm，DE＝9cm，点D是AC边的中点，
∴，
∴AB＝12cm，BC＝18cm；
（2）根据题意得，S＝S△ABC﹣S△ADP﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝，
即S＝（0≤t≤9）．
24．（6分）（2022秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；
（3）求△A2B2C2的面积．

解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）△A2B2C2的面积＝＝6．
25．（6分）（2022秋•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AGE∽△AFB．
（2）若，GE＝2，求BF的长．

证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠EAG＝∠BAF，
∵∠AED＝∠ABC，
∴△AEG∽△ABF；
（2）解：∵＝，
∴＝，
∵△AEG∽△ABF，
∴＝，
而GE＝2，
∴BF＝．
26．（6分）（2022秋•奉贤区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：＝；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．

证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝；
（2）△ABD与△ACE相似，
证明：由（1）知：△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD与△ACE相似．
27．（8分）（2022秋•蜀山区校级期中）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D、F，H都是格点，AB与CD相交于O，AH与CD相交于E，求AO与BO的比值．

解：如图
∵EH∥CF，
∴，即＝，
∴EH＝，
∴AE＝AH﹣EH＝3﹣＝，
∵AE∥BC，
∴△AOE∽△BOC，
∴＝＝＝．
故AO与BO的比值为．
28．（8分）（2022秋•二七区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）在AB上求作一点D，使△ABC∽△CBD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求△ACD的周长．

解：（1）如图，点D即为所求；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵△ABC∽△CBD，
∴＝＝．
∴△CBD的周长＝．
29．（8分）（2022•兴庆区校级二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求线段CN的长；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？

解：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵BC、CD分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，BC＞CD，
∴BC＝4，CD＝3，
（1）∵四边形ABCD是矩形，BC＝4，CD＝3，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∴S△BCD＝BD•CN＝BC•CD，
∴CN＝＝＝；
（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，
在Rt△BCN中，BN＝＝＝，
由题意得BP＝DM＝t，
则PN＝﹣t，
∵sin∠ADB＝＝＝＝，
∴MH＝t，
.①当0＜t≤时，S△PMN＝PN•MH＝（﹣t）•t＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜≤，
∴t＝时，S最大＝；
②≤t≤4时，S△PMN＝PN•MH＝（t﹣）•t，
此时S△PMN随t的增大而增大，
∴t＝4时，S最大＝．
综上所述，t＝4时，S最大＝．