数学人教版第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形精品课后测评

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专题11.3 多边形及内角和

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1、掌握（正）多边形的定义及有关概念.
2、会求多边形的对角线的条数.
3、能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
4、会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.
知识精讲

知识点01 多边形的相关概念
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
【微点拨】
注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
【知识拓展1】多边形的概念
例1．（2021·江苏南通市·南通第一初中九年级期中）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.
【详解】解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；
D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；故选：D
【点睛】本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
【即学即练】
1. （2021·皋兰县第三中学）下列说法错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
【答案】D
【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；
B．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；
D．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了四边形的定义以及多边形的定义，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握．

知识点02 多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
从边形的一个顶点出发，可以画(n-3)条对角线，边形一共有条对角线.
【知识拓展1】多边形的对角线
例1．（2021·陕西·模拟预测）若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是_________.
【答案】35
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．
【详解】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n-2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：= =35．故答案为35．
【点睛】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．
【即学即练1】
1．（2021·广东南海·一模）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引7条对角线，则n＝_____．
【答案】10
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n-3，列方程求解．
【详解】解：设多边形有n条边，则n-3=7，解得n=10．故答案为：11．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形．
2．（2021·山东李沧·二模）（问题）用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，．

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：

第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
所以，
（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案．……
（结论）用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程）
（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
【答案】探究四：18，42；[结论]；[应用]429种
【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可；
[结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案；
[应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可．
【详解】所以，
==42．故答案为：18，42．
[结论]由题意知，，，…；
[应用]根据结论得：．．
则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案．
【点睛】此题考查多边形的对角线，图形变化类规律题，研究了多边形对角线分割多边形成三角形的关系，关键是能够得到规律，此题有难度，注意利用数形结合的思想．

知识点03 多边形的内角和与外角和定理
多边形的内角和公式：边形的内角和为；
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.
【微点拨】
内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点
【知识拓展1】多边形的内角和公式的相关计算
例1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．

【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
【即学即练1】
1．（2021·湖南鹤城·九年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．

【答案】0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形 ∴=180°×4=720°
∴m-n=0故答案为0.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.

【知识拓展2】多边形的外角和公式的相关计算
例2．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解．
【详解】解：延长AB和DC，得∠4与∠5，∴∠4=180°-∠B，∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．故选：B．

【点睛】本题考查了五边形的角度问题，平角定义，多边形外角和，掌握平角定义，多边形外角和是解题的关键．
【即学即练2】
1．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）

A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．

【知识拓展3】正多边形的内（外）角和相关计算
例3．（2021·四川雅安市·中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．

【答案】
【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵ABDEF是正六边形，∴
∵ABGH是正方形，∴∵
∴
∵
∴故答案为：
【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．
【即学即练】
1．（2021·山东济南·中考真题）如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．

【答案】18
【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形，
∴，∴；故答案为18．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．
2.（2021·山东八年级期末）已知某正多边形的一个内角比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】（1）140°（2）1260°
【分析】（1）设这个正多边形的一个内角的度数为x°，根据题意列出方程即可；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【详解】解：（1）设这个正多边形的一个内角的度数为x°，
根据题意得x＝3（180-x）+20，解得x＝140，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的每一个外角的度数都为：180-140=40（度），
所以这个正多边形边数为：360÷40＝9（边），
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和定理．

知识点04 镶嵌
平面镶嵌的定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
镶嵌的条件：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.
【微点拨】
1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
2）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.
3）只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.
【知识拓展1】镶嵌（密铺）问题
例1．（2021·贵州铜仁市·中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；故选：C．
【点睛】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2021·吉林朝阳区·长春外国语学校）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（　　）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，
正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正七边形的每个内角是
正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

能力拓展

考法01 多边形截角后的内角和问题
【典例1】（2022·黑龙江铁锋·九年级期末）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【答案】A
【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】解：设新多边形的边数为n，则（n-2）•180°=2340°，解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．
变式1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市九年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19
【答案】D
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n-2）•180°=2880°，解得：n=18，则多边形的边数是17，18，19．故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．

考法02 多边形多（少）算角问题
【典例1】（2021·全国·九年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
【答案】B
【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．
【详解】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
变式1．（2021·北京西城·九年级期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
【答案】60 8
【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可；
【详解】，又
即解得：
为正整数故答案为：60,8
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键．








分层提分


题组A 基础过关练
1．（2021·重庆渝中·初二期末）关于正多边形的概念，下列说法正确的是（　　）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
【答案】D
【分析】根据正多边形的定义判定即可．
【解析】解：A．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
C．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的定义、熟记各边相等、各角也相等的多边形是正多边形是解决问题的关键．
2．（2021·安徽·八年级期末）一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】从n边形的一个顶点引对角线条数为（n﹣3）条．
【详解】解：∵从n边形的一个顶点引对角线条数为：n﹣3，
设该多边形为n边形，则：n﹣3＝7，解得：n＝10．故选：A．
【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
3．（2022春•长沙期中）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（　　）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故这个八边形的内角和是1080°．故选：C．
【点评】此题主要考查多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
4. （2022春•江阴市期中）下列各度数不是多边形的内角和的是（　　）
A．540° B．900° C．1080° D．1700°
【分析】（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，因而多边形的内角和一定是180的整数倍．
【解答】解：不是180的整数倍的选项只有D中的1700°．故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，正确记忆多边形内角和公式是解题关键．
5．（2022•路南区一模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（　　）

A．72° B．84° C．82° D．94°
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．
【解答】解：如图，

由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．故选：B．
【点评】本题考查多边形内角与外角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2021·吉林长春市·八年级开学考试）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（　　）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，
正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，
正七边形的每个内角是正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
7．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（　　）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和的度数是，四个内角度数之比是1：2：3：4，分别求出四个内角，再判断即可．
【详解】解：一个四边形四个内角的度数之比为，
∴四个内角的度数分别为：；；
；．∴这个四边形的内角中有两个钝角．故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，熟悉相关性质是解题的关键．
8．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
9．（2021 •虎林市校级期末）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
【分析】首先外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．
【解答】解：设外角为x°，由题意得：x+4x+30＝180，解得：x＝30，
360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．

题组B 能力提升练
1．（2021·四川达州市·八年级期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（　　）

A．28° B．30° C．33° D．36°
【答案】B
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
2．（2020·湖北宜昌市·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长

【答案】A
【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，故选：A．
【点睛】此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
3．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
【答案】3
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
4．（2022·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．

【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，

∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
5．（2020·湖南娄底·初二期末）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；

【答案】1225
【分析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数，根据对角线条数公式代入即可求解．
【解析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数
∴人数n和通话次数S间的关系为
∴当n=50时， 故答案为1225．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数的公式，熟记相关公式是本题的关键，
6．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
7．（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．

【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．
【解答】解：如图，

由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7
＝180°×（5﹣2）＝540°．
【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．
8. （2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．
名称
图形
内角和
外角和
三角形

180°
360°
四边形

　 　
　 　
五边形

　 　
　 　
…
…
…
…
n边形
…
　 　
　 　
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．

【分析】（1）根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°，n边形的外角和为360°即可得出答案；
（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．
【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，
五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n边形内角和是：180°（n﹣2）；
外角和分别为：360°、360°、360°；
故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；
（2）这个八边形一个内角的度数是：
方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．

题组C 培优拔尖练
1．（2021·台湾·模拟预测）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可．
【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，

，，，
故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；
多边形的外角和是，∴∴
故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是是解题的基础．
2．（2021·重庆南岸·八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（       ）

A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】

如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，故选：B．
【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
3．（2021·广西梧州·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．

【答案】
【分析】如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于 正六边形ABCDEF的周长是24cm，


分别为的中点，
同理： 六边形GHKLMN的周长是 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
4．（2022·江苏·南京玄武外国语学校七年级期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，∴，
∵n是整数，∴n=11，故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
5．（2021·新疆·哈密市第八中学八年级期中）如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．

【答案】36
【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案．
【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以．故答案为：36°．
【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质．
6．（2022•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝　　；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．

【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
【解答】解：（1）如图，

由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，
∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，
∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，
∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．
【点评】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．