【同步讲义】人教版数学八年级上册：专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法 讲义

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专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法
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1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方）；
2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；
3、.会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算；
4、掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算。
5、会进行单项式除以单项式的计算，会进行多项式除以单项式的计算。
知识精讲

知识点01 幂运算
知识点
1）同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则： am+n =am×an
2）幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
3）积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
【知识拓展1】同底数幂的乘法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列运算中，错误的个数是（    ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【详解】解：（1），故（1）错误；
（2），故（2）错误；
（3），故（3）错误；
（4），故（4）错误，
综上所述，错误的个数为4个，故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
【即学即练】
1．（2022·浙江·宁波市七年级期中）已知，，则的值为 ___．
【答案】140
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可作答．
【详解】∵，，∴．故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．本题属于基础题型，同底数幂的乘法运算法则：．
2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5)
【分析】（1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可；
（3）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（5）先根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
（1）
解：．
（2）
解：
＝
＝0
（3）
解：．
（4）
解：


（5）
解：


【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则和合并同类项法则，是解题的关键．

【知识拓展2】幂的乘方及其逆运算
例2．（2022·湖南·七年级期中）下列选项中正确的有（　　）个．
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据幂的乘方法则逐个算式分析即可．
【详解】解：①，正确；②，正确；③，正确；
④当m是偶数时，，故不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）．
【即学即练】
3．（2022·湖南·株洲七年级期中）已知，，则等于（    ）
A．1 B．72 C． D．
【答案】C
【分析】先根据幂的乘方求出，，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确求出，是解题的关键．
4．（2022·山东·聊城市七年级阶段练习）计算
(1)已知：＝5，＝3，计算的值．(2)已知：3x+5y＝8，求的值．
【答案】(1)15(2)256
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法将变形为，再逆用幂的乘方法则变形为，即可把已知代入计算求解；（2）先将底数8化成，32化成，则原式变形为，再运用幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算得，然后把已知代入计算即可．
（1）解：∵＝5，＝3，
∴====5×3=15；
（2）解：∵3x+5y＝8，
∴=====256．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂乘法法则及其逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法法则是解题的关键．

【知识拓展3】积的乘方及其逆运算
例3．（2022·四川·眉山八年级阶段练习）
【答案】
【分析】先计算积的乘方运算，幂的乘法运算，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：



【点睛】本题考查的是积的乘法运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握“幂的乘方与积的乘方运算法则”是解本题的关键．
【即学即练】
5.（2022·山东淄博·期末）的计算结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：=故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
6.（2022·山西临汾·八年级阶段练习）计算的结果是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查积的乘方、有理数的乘方和乘法运算，熟练掌握积的乘方逆运算是解答的关键．

知识点02 整式乘法
知识点
1）单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2）单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3）多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
【知识拓展1】整式乘法基本运算
例1．（2022·安徽·八年级阶段练习）先化简，再求值；其中．
【答案】，．
【分析】利用单项式乘多项式去括号，合并同类项；再代入求值．
【详解】解：

，
当时，原式


．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式－化简求值，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级阶段练习）计算：
(1)； (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则即可得；
（2）根据多项式乘以多项式法则即可得．
（1）
解：原式．
（2）
解：原式
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键．
2．（2022·广东·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）
解：原式＝

；
（2）
解：原式＝
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．

【知识拓展2】不含某项问题
例2．（2022·福建·晋江八年级阶段练习）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（   ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
【详解】解：
∵结果中不含x的五次项，
∴，解得：．故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键．
【即学即练2】
3．（2022·福建八年级期中）如果的展开式中不含项，则a的值是（    ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项，根据题意得出，求解即可．
【详解】解：

，
∵展开式中不含项，
∴，
解得：a=5，
故选A．
【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某项求参数的问题，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）若展开后不含 x 的一次项，则m的值是（    ）
A． B．1 C．3 D．0
【答案】A
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可．
【详解】解：，
∵展开后不含 x 的一次项，∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知不含某一项，即该项的系数为0是解题的关键．

【知识拓展3】整式乘法的运用
例3．（2022·上海·七年级专题练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【答案】(1)米；米；米
(2)平方米

【分析】（1）盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的倍，盒子的高＝小正方形边长；
（2）利用纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积．
（1）
解：盒子的长为：
（米）；
盒子的宽为：
（米）；
盒子的高为：a2（米）．
故答案为：米；米；米．
（2）
∵纸片的面积是：（平方米），
小正方形的面积是：（平方米），
∴无盖盒子的外表面积是：（平方米）．
∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解纸片的面积减去剪去的个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．
【即学即练3】
5．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）长为a，宽为的长方形，它的面积为____________．（结果为最简）
【答案】2ab＋3ac
【分析】根据长方形面积公式列式计算即可．
【详解】解：长方形面积为：a（2b＋3c）＝2ab＋3ac
故答案为：2ab＋3ac
【点睛】本题考查了单项式乘多项式的实际运用，掌握其运算法则是解本题的关键．

知识点03 整式除法
知识点
1）同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
2）与的应用
零指数幂：=1()； 负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意：；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3）单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
4）多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【知识拓展1】同底数幂的除法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列4个算式中，计算错误的有（       ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
【详解】解：∵，∴（1）计算错误，符合题意；
∵，∴（2）计算正确，不符合题意；
∵∴（3）计算正确，不符合题意；
∵，∴（4）计算错误，符合题意，
∴（1）（4）两项错误，计算错误的有2个，故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法及除法法则∶（1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；（2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减，熟记同底数幂的乘法及除法法则是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）已知： ，，求的值．
【答案】
【分析】逆用幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴



【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算公式的逆用，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则，是解题的关键．
2．（2022·江苏·七年级期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．
【答案】（1）200（2）16
【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求出2m+3n的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴=
=
=
=200；
（2）∵=81=，
∴2m+3n=4，
∴==16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则及其逆用是解答本题的关键．

【知识拓展2】整式的除法
例2．（2022·陕西·七年级期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____．
【答案】
【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴，，，
解之得：，，，∴．故答案为：
【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答．
【即学即练2】
3．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意，这个多项式是
故选D
【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键．
4．（2022·山东淄博·期末）若a＝2，则______．
【答案】7
【分析】先计算多项式除以单项式，得到化简的结果，再把代入进行计算即可．
【详解】
当时，原式故答案为：7．
【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，代数式的求值，掌握“多项式除以单项式的运算法则”是解本题的关键．

能力拓展

考法01 （）的应用
注：，可能有三种情况：=1()； =1； =1（n为偶数）
【典例1】（2022·绵阳市·八年级期中）当x=____________时，代数式的值为1.
【答案】1或2或-2020
【解析】试题解析：分3种情况：当x+2020=0，即x=-2020时, 代数式（2x-3）x+2020的值为1;
当2x-3=1，即x=2时，代数式（2x-3）x+2020的值为1；
当2x-3=-1，即x=1时，代数式（2x-3）x+2020的值为1.
变式1.（2022.成都市锦江区初一期中）已知,则x=
【答案】-2；0；1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x +2=2（偶数），故符合条件
故答案为：-2；1；0
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论，当或当或，分别解方程，再检验可得答案．
【详解】解： ，当时， 当时，，
经检验： 不合题意舍去，
当时，时， 综上：或
【点睛】本题考查的是乘方的意义，乘方符号的确定，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．

考法02 运用幂运算比较大小
【典例2】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“，< (2)，
∵，，122