【同步讲义】人教版数学八年级上册-基础练【12.3 角平分线的性质】 讲义

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第12章《全等三角形》

12.3 角平分线的性质

知识点1：角平分线的性质

【典例分析01】（2021八上·长沙期末）如图，△ABC中， ，∠CAB的角平分线AD交BC于D， 于E， ，且 ，则BC的长是（　　） 

A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对

【答案】A

【完整解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C=90°，

∴CD=DE=2，

又∵ ，

∴BC=BD+CD=4+2=6（cm）；

故答案为：A.

【思路引导】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=2，根据BC=BD+CD即可求解.

【变式训练1-1】（2021八上·凉山期末）已知：在 中， ， 平分 交BC于D，若 ，且 ，则点D到AB边的距离为（　　） 

A．18 B．12 C．14 D．16

【变式训练1-2】（2021八上·如皋月考）如图，AD是的角平分线，于，已知的面积为28.，，则AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【变式训练1-3】（2021八上·汉阴期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，点D到 的距离为5.6，则 　     　 . 

【变式训练1-4】（2021八上·遵义期末）如图，已知 的周长是22，PB、PC分别平分 和 ， 于D，且 ， 的面积是　     　. 

【变式训练1-5】（2021八上·宁波期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 　     　.

【变式训练1-6】（2021八上·南京期末）如图，是的角平分线，垂足为E，的面积为70，，，求的长.

【变式训练1-7】（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．

知识点2：角平分线的判定

【典例分析02】（2021八上·德保期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，有以下四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②△BRP≌△QSP；③QP∥AR；④△PQC是等边三角形，其中正确的有　     　个.

【答案】4

【完整解答】解：

点P在 的平分线上，故①正确；

AP平分

，故③正确；

为等边三角形

是等边三角形，故④正确；

在 和 中

故②正确

综上所述①②③④都正确

故答案为：4.

【思路引导】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得 ， ，所以 ，由内错角相等，两直线平行得出 ，所以 ， 为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确.

【变式训练2-1】．如图，∠MCN=42°，点P在∠MCN内部，PA⊥CM，PB⊥CN，垂足分别为A、B，PA=PB，则∠MCP的度数为(　　). 

A．21° B．24° C．42° D．48°

【变式训练2-2】如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是(　　)

A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC

【变式训练2-3】（2021八上·延庆期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　                                               　

【变式训练2-5】（2020八上·江阴月考）下列说法正确的是（　　）  

A．两角及一边分别相等的两个三角形全等

B．到角两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的对称轴是角的平分线

D．三角形三内角平分线的交点到三个顶点的距离相等

【变式训练2-6】（2020八上·乐陵期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，延长 、 ，则下列结论中正确的有　         　．（将所有正确序号填在横线上） 

① 平分 ；② ，③ ；④若 ， ，则 ．

【变式训练2-7】（2020八上·江城月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高。

（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，交CD于点F (要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，不写作法，保留作图痕迹)。

（2）求证：△CEF为等腰三角形。

【变式训练2-8】（2021八上·红桥期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，．

（Ⅰ）若，求证：是的角平分线；

（Ⅱ）若是的角平分线，求证：．

知识点3：作图—角的平分线

【典例分析03】（2021八上·诸暨期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）

A．① B．② C．①② D．无

【答案】A

【完整解答】解： ①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误.
故答案为：A.
【思路引导】根据作一个角的平分线的作法以及作一条线段的垂直平分线的作法，即可得出答案.

【变式训练3-1】（2020八上·上虞月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　） 

A．56° B．68° C．28° D．34°

【变式训练3-2】（2020八上·昆明期中）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）  

A． 作一个角等于已知角

B． 作一个角的平分线

C． 作一条线段的垂直平分线

D． 过直线外一点P作已知直线的垂线

【变式训练3-3】（2017八上·罗山期中）如图，∠ADC=　     　°．

【变式训练3-4】（2021八上·莲湖期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，请用尺规作图的方法，在AC上确定一点D，使△BCD为直角三角形（不要求写作法，保留作图痕迹）.

【变式训练3-5】（2020八上·安仁期中）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝112°.

（1）按下列要求作图：(保留作图痕迹)

①BC边上的高AD；

②∠A的平分线AE.

（2）求∠DAE的度数．  

【变式训练3-6】（2020八上·北仑期中）尺规作图：已知： ，求作 的平分线. 

【变式训练3-7】（2019八上·秀洲月考）尺规作图：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（不要求写出作法，但要保留作图痕迹，写出结论）

【变式训练3-8】（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作法，保留作图痕迹） 

（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；

（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离.