【同步讲义】人教版数学八年级上册-提高练 第15章《分式》章节巩固讲义

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2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第15章《分式》章节复习巩固
考试时间：100分钟 试卷满分：100分

阅卷人

一、选择题(共9题；每题2分，共18分)
得分

1．（2分）（2022八上·灌阳期中）计算：正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：
=
=
=，
故答案为：D．
【思路引导】把整式部分看成分母为1的形式，再通分计算即可得出答案.
2．（2分）（2021八上·永定期末）关于x的方程 有增根，则m的值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【完整解答】解：两边都乘（x﹣1），得：
m﹣1－x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2.
故答案为：A.
【思路引导】所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此先求出增根是x=1，再根据分式方程的增根是将分式方程去分母得的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，将x=1代入整式方程求出m即可.
3．（2分）（2021八上·遵义期末）在计算 通分时，分母确定为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解： ，
计算 通分时，分母确定为 .
故答案为：B.
【思路引导】对分式的分母分别进行分解因式，然后取两个分母的最简公分母即可.
4．（2分）（2021八上·玉林期末）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元.设甲种水杯的单价为 元，则列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x -15）元
根据题意列出方程得： .
故答案为：A.
【思路引导】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x-15）元，根据“ 用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同”列出方程并解之即可.
5．（2分）（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【完整解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【思路引导】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
6．（2分）（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【完整解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C

【思路引导】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
7．（2分）（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【完整解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【思路引导】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
8．（2分）（2021八上·松桃期末）若关于x的分式方程 产生增根，则m的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【完整解答】解：去分母，得：x-3＝m+2（x−1），
由分式方程有增根，得到x−1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：m＝−2.
故答案为：B.
【思路引导】所谓分式方程的增根，就是使分式方程的最简公分母为0的根，据此由分式方程有增根，可求出增根为x＝1；再根据分式方程的增根是将分式方程去分母转化为的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，再将x=1代入整式方程，求出m即可.
9．（2分）（2021八上·南岗期末）能使等式成立的x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
【答案】D
【完整解答】解：由题意可得，
x>0x-2≥0，
解之得x>0x≥2，
故x的取值范围是x≥2，
故答案为：D．

【思路引导】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组x>0x-2≥0，再求解即可。
阅卷人

二、填空题(共11题；每题1分，共11分)
得分

10．（1分）（2022八上·昌平期中）已知，则分式的值为　 　．
【答案】
【完整解答】解：∵，
∴，
即，
∴


．
故答案为：．

【思路引导】根据，可得，再将其代入计算即可。
11．（1分）（2021八上·逊克期末）已知关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是　 　．
【答案】a＜－1且a≠－2
【完整解答】解：＝1，
去分母可得：
解得：
由最简公分母不为0，可得：
解得：
关于x的方程＝1的解是正数，


综上：且
故答案为：且

【思路引导】先求出分式方程的解再根据题意列出不等式组求解即可。
12．（1分）（2021八上·克东期末）若分式无意义，则　 　．
【答案】1
【完整解答】解：分式无意义，
，
解得，
，
故答案为：1．

【思路引导】分式无意义的条件：分母为0，可求出x=2，再代入原式求值即可.
13．（1分）（2021八上·泸西期末）若关于x的分式方程无解，则实数k的值为　 　．
【答案】-1或
【完整解答】解：，
方程两边同时乘以得：
，
，
，
∵该方程无解，
当时该方程无解时，
是增根，
，
解得：，
∵当时该方程也无解，
∴，
故答案为：-1或．
【思路引导】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
14．（1分）（2021八上·铜官期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为　 　．
【答案】m＞2且m≠3
【完整解答】解：，
去分母得：，
解得，
∵关于x的分式方程的解是正数，分式要有意义，
∴m-2>0m-2≠1，
∴且m≠3，
故答案为：m＞2且m≠3．

【思路引导】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组m-2>0m-2≠1，最后求出m的取值范围即可。
15．（1分）（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配　 　人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
【答案】13
【完整解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【思路引导】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．（1分）（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是　 　；5
【答案】5
【完整解答】解：


所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【思路引导】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
17．（1分）（2017八上·鄂托克旗期末）观察给定的分式： ， ， ， ， …，猜想并探索规律，那么第n个分式是　 　．
【答案】
【完整解答】解：先观察分子：1、21、22、23、…2n-1；
再观察分母：
x、x1、x2、…xn；
所以，第n个分式 ；
故答案为： .
【思路引导】观察分子得到：1、21、22、23、…2n-1；观察分母得到：x、x1、x2、…xn；得到第n个分式.
18．（1分）（2022八上·长兴开学考）若分式的值为2，则的值为　 　.
【答案】4
【完整解答】解：∵ 分式的值为2，
∴
∴2x-6=2
解之：x=4，
经检验：x=4是原方程的跟.
故答案为：4.
【思路引导】利用已知分式的值为4，可得到关于x的分式方程，再求出分式方程的解，然后检验可得x的值.
19．（1分）（2021八上·乾安期末）2020年初，全国口罩紧缺，某口罩生产企业准备开通A，B两条口罩生产线，总日产量5万只，已知A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同．设A生产线的口罩日产量是x万只，则可列出分式方程　 　．
【答案】
【完整解答】解：设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是（5﹣x）万只，
依题意得：＝．
故答案为：＝．

【思路引导】设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是（5﹣x）万只，根据题意直接列出方程＝即可。
20．（1分）（2021八上·丰台期末）当时，式子的值为　 　．
【答案】-1
【完整解答】解：
=
=
=
=
∵
∴
∴原式=1-2=-1
故答案为：-1．

【思路引导】先利用分式的混合运算化简，再将代入计算即可。

三、解答题(共8题；共71分)

21．（5分）（2021八上·乾安期末）先化简，再求值：，其中m只能在0，1，这三个值中取一个合适的值．
【答案】解：原式

，且，．
∴当时，原式．
【思路引导】先利用分式的混合运算化简，再将m的值代入计算即可。
22．（5分）（2021八上·逊克期末）从哈尔滨市到齐齐哈尔市，可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程约是300千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.5倍．若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的3倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短4小时，求高铁的平均速度．
【答案】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是3x千米/时，
根据题意，得，
解得x=87.5，
经检验，x=87.5是原方程的解，
则高铁的平均速度是87.5×3=262.5(千米/时)．
答：高铁的平均速度是262.5千米/时．
【思路引导】设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据题意列出方程，再求解即可。
23．（10分）（2022八上·新田月考）计算：
（1）（5分）2；
（2）（5分）﹣（3﹣5）2×（﹣3）．
【答案】（1）解：方程两边同乘以得：，
整理得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为
（2）解：原式
【思路引导】（1）利用去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可；
（2）先计算乘方，开方，乘法，再计算加减即可.
24．（10分）（2022八上·长兴开学考）干挑面是长兴美食一张名片，某面馆推出两款经典美食干挑面，一款是色香味俱全的“海鲜干挑面”，另一款是清香四溢的“排骨干挑面”.已知2份“海鲜干挑面”和1份“排骨干挑面”需68元；1份“海鲜干挑面”和2份“排骨干挑面”需61元.
（1）（5分）求“海鲜干挑面”和“排骨干挑面”的单价；
（2）（5分）猪油是两款美食必不可少的配料，该面馆老板发现本月的每千克猪油价格比上个月涨了，同样花240元买到的猪油数量比上个月少了2千克，求本月猪油的价格.
【答案】（1）解：设“海鲜干挑面”的单价为每一份x元“排骨干挑面”的单价为每一份y元，根据题意得

解之：.
答：“海鲜干挑面”的单价为每一份25元“排骨干挑面”的单价为每一份15元；
（2）解：设上个月猪油的单价为每千克m元，则本月猪油的价格为每千克（1+25％）m元，根据题意得

解之：m=24，
经检验m=24是此分式方程的解，
∴（1+25％）×24=30元.
答：本月猪油的价格为每千克30元.
【思路引导】（1）抓住题中关键已知条件：2份“海鲜干挑面”和1份“排骨干挑面”需68元；1份“海鲜干挑面”和2份“排骨干挑面”需61元；这里包含了两个等量关系；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2） 本月的每千克猪油价格=上个月每千克猪油的价格×（1+25％）；240÷上个月每千克猪油的价格-240÷本月的每千克猪油价格=2；再设未知数，列方程，求出方程的解，可求出本月猪油的价格.
25．（10分）（2022八上·莱西期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）（5分）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）（5分）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：方程两边同时乘以得

解得
经检验，是原分式方程的解.
（2）解：设？为，
方程两边同时乘以得

由于是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得


所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【思路引导】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先将分式方程转换为整式方程，再根据方程的增根为，将其代入整式方程求出m的值即可。
26．（10分）（2022八上·灌阳期中）2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约1026千米，高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．
（1）（5分）求高铁列车的平均时速；
（2）（5分）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台到该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时．试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
【答案】（1）解：设普快的速度为x千米/小时，则高铁的速度为2.5x千米/小时，得：
，即1026×2.5–945=9–2.5x，
解得：x=72，经检验x=72是本方程的解，
高铁列车的平均时速为2.5×72=180，
答：高铁列车的平均时速为180千米/小时．
（2）解：630÷180=3.5（时），3.5+1.5=5（时）；8：40——12：00之间的时间为5小时20分钟，所以高铁在准点到达的情况下他能准时赶到．
【完整解答】 解：（1）设普快的速度为x千米/小时，则高铁的速度为2.5x千米/小时，得：
，即1026×2.5–945=9×2.5x，
解得：x=72，经检验x=72是本方程的解，
高铁列车的平均时速为2.5×72=180，
答：高铁列车的平均时速为180千米/小时．
（2） 630÷180=3.5（时），3.5+1.5=5（时）；
8：40——14：00之间的时间为5小时20分钟，
5小时20分钟大于5小时，
所以高铁在准点到达的情况下他能准时赶到．
【思路引导】（1） 设普快的速度为x千米/小时，则高铁的速度为2.5x千米/小时 ，根据路程除以速度=时间，及从烟台到北京的高铁运行时间比普快运行时间减少了9小时 ，列出方程，求解即可；
（2）求出高铁到该市火车站的时间与火车站到会议地点的时间和，再与8：40至14：00之间的时间差进行比较即可得出答案.
27．（11分）（2022八上·昌平期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）（1分）下列分式中，属于“和谐分式”的是　 　（填序号）；
①②③④
（2）（5分）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）（5分）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）②③
（2）解：


（3）解：




，
∵为整数，
∴，
∴当时，是整数，
又∵．
∴时，原式的值是整数．
【完整解答】（1）解：①，不是“和谐分式”，
②，是“和谐分式”，
③，是“和谐分式”，
④，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；

【思路引导】（1）根据“和谐分式”的定义逐项判断即可；
（2）参照题干中的计算方法可得答案；
（3）先利用分式的混合运算化简，再计算即可。
28．（10分）（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）（5分）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）（5分）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
，
解得，，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）解：由题意可得，
，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.
【思路引导】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，根据购A款40件，B款60件需进价8400元可得40a+60b=8400；根据购A款45件，B款50件需进价8050元可得45a+50b=8050，联立求出a、b的值，然后根据A款的单价×60+B款的单价×60求出所需费用，再与10000进行比较即可判断；
（2）由题意可得4月份购进A款T恤衫数量为件，5月份购进A款T恤衫数量为件，然后根据数量是4月份的1.2倍列出关于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的销售量，根据(销售量-30)×150-进价+150×0.8×30可得毛利润.