【同步讲义】人教版数学八年级上册-提高练【11.1 与三角形有关的线段】 讲义

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2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第11章《三角形》11.1 与三角形有关的线段知识点1：三角形【典例分析01】（2019秋•苍南县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，作AE∥DC，交BC的延长线于点E，则△ACE是　等边　三角形．解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120°∴∠1＝∠2＝＝60°∵AE∥DC∴∠3＝∠2＝60°，∠E＝∠1＝60°∴∠3＝∠4＝∠E＝60°∴△ACE是等边三角形．故答案是：等边．【变式训练1-1】（2022春•建邺区校级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形，故选：D．【变式训练1-2】（2022•迁安市一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（　　）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；故选：B．【变式训练1-3】（2016秋•东方期末）图中有　6　 个三角形．解：如图底边上有4个点，组成的线段的数量为：3+2+1＝6（条），所以三角形的个数为6个答：图中有6个三角形．故答案为：6．【变式训练1-4】（2021秋•梁溪区期中）（1）如图1，图中共有三角形 　10　个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　24　个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数．解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号，∴单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个，∴图1中的三角形共有4+3+2+1＝10（个），由图1可知，顶点与直线l之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形，其中，图中2还有4个单独的小三角形，∴图2中的三角形共有10+10+4＝24（个），故答案为：10，24．（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计3×10+4×（1+2）＝42个，∵增加0条线时，三角形的个数为10个，增加1条线时，三角形的个数为24个，24＝2×10+4，增加2条线时，三角形的个数为42个，38＝3×10+4×（1+2），•••∴增加10条线时，三角形的个数为11×10+4×（1+2+•••10）＝330个．【变式训练1-5】（2015秋•广元校级期中）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．知识点2：三角形的角平分线、中线和高【典例分析02】（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，故选：D．【变式训练2-1】（2022春•射洪市期中）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）A．17 B．23 C．25 D．28解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵△BCD的周长为20，BC＝8，∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，∴CD+BD＝AD+BD＝12，∵AB＝5，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝5+12＝17．故选：A．【变式训练2-2】（2019秋•尚志市期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为 　2　cm．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．故答案为：2．【变式训练2-3】（2022春•徐州期中）如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，又∵AD⊥BD，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；（2）DO是△DEG的角平分线，理由：∵EF∥BC，DG∥AB，∴四边形BGDE是平行四边形，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBG，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠GBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴四边形BGDE是菱形，∴BD平分∠EDG，∴DO是△DEG的角平分线．【变式训练2-4】（2021秋•河口县期末）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．解：如图，∵DB为△ABC的中线∴AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，当x+2x＝12，解得x＝4，BC+x＝15，解得BC＝11，此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．知识点3：三角形的稳定性【典例分析03】（2022春•坪山区校级期中）下列说法中，不正确的是（　　）A．对顶角相等 B．三角形具有稳定性 C．平行于同一直线的两直线互相平行 D．内错角相等解：A、对顶角相等，本说法正确，不符合题意；B、三角形具有稳定性，本说法正确，不符合题意；C、平行于同一直线的两直线互相平行，本说法正确，不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，故本说法错误，符合题意；故选：D．【变式训练3-1】（2021秋•北京期末）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（　　）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的任意两边之和大于第三边解：为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．故选：C．【变式训练3-2】（2021秋•公安县期末）空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 　稳定性　．解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：稳定性．【变式训练3-3】（2018秋•蕲春县期中）人站在公交车上，若两腿分开站立，还要用手抓紧栏杆才能站稳，这一现象是利用了　三角形的稳定性　．解：分开两腿站立与地面成三角形形状，利用了三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【变式训练3-4】如图，由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的，请你再用三条钢管连接使之稳固（方法很多，请提供四种不同连接方法）解：如图所示．．【变式训练3-5】．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？解：如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．知识点4：三角形三边关系【典例分析04】（2022•海陵区二模）若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）A．2 B．3 C．5 D．9解：由三角形三边关系定理得：6﹣2＜a＜6+2，即4＜a＜8，即符合的只有5，故选：C．【变式训练4-1】（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（　　）A．1km B．2km C．3km D．8km解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设李锐两家的直线距离为x，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为3km，故选：A．【变式训练4-2】（2022春•滨海县月考）三角形的三边长为4，a，7，则a的取值范围是　3＜a＜11　．解：∵三角形三边长为4，a，7，∴a的取值范围是：3＜a＜11．故答案为3＜a＜11．【变式训练4-3】（2021秋•隆回县期中）现有两根木棒长度分别是2cm和10cm，要选择第三根木棒，将他钉成一个三角形，且使其周长为偶数，则第三根木棒的长度为 　10　cm．解：设第三根木棒的长度为xcm，∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，∴10﹣2＜x＜10+2，∴8＜x＜12，∵三角形的周长为偶数，∴x+2+10为偶数，∴x为偶数，∴x＝10，即第三根木棒的长度为10cm，故答案为：10．【变式训练4-4】（2021•北碚区校级开学）在△ABC中，A，B，C为三边长，则化简下式（a+b）2﹣|a2+b2﹣c2﹣2ab|．解：∵a，b，c为三边长，∴a﹣b＜c．∴（a﹣b）2＜c2．∴（a+b）2﹣|a2+b2﹣c2﹣2ab|＝（a+b）2﹣|（a﹣b）2﹣c2|＝（a+b）2+（a﹣b）2﹣c2＝a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2﹣c2＝2a2+2b2﹣c2．【变式训练4-5】（2021秋•寿县期中）若a、b、c是△ABC的三边，化简：|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|+3|a+b+c|的值．解：∵a、b、c是△ABC的三边，∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0，∴原式＝a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）+3a+3b+3c＝a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b+3a+3b+3c＝2a+6c