人教版八年级下册18.2.3 正方形优秀当堂检测题

18.2.3.1 与正方形有关的半角模型

已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：

①EF=BE+DF   ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE     ③C∆CEF=2倍正方形边长

④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF         ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）   

⑥OP2=OB2+OD2                ⑦CE•CF=2BE•DF

⑧ ∆EPC为等腰三角形        ⑨PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)

证明：

①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM                                    

        先根据已知条件∆ABE ≌ ∆ADM (SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM

        而∠BAE+∠FAD =45°，所以∠DAM+∠FAD =45°，可证明∆AEF ≌ ∆AMF (SAS)，

由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF

②思路：∵∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF

       ∴AF平分∠DFE 又∵∠AMF=∠AEB

        ∴∠AEB=∠AEF ∴AE平分∠BEF

③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC

④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G

        根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG

        因此可以证明: ∆ABE ≌ ∆AGE (AAS), ∆AGF ≌ ∆ADF(AAS)

        所以AB=AG=AD，S∆ABE =S∆AGE，S∆AGF =S∆ADF

        则S∆AEF= S∆AGE+ S∆AGF= S∆ABE + S∆ADF

⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB ,使AD，AB重合

       因为∆APD ≌ ∆ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN

因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°

因为∠BAE+∠PAD=45° 所以∠NAB+∠BAE=45°

       则∆ANO ≌ ∆APO (SAS) 所以NO=OP

       在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，则OP2=OB2+OD2

⑦思路：假设正方形的边长为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b

根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2  ,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2  

化简得(m-a)(m-b)=2ab 所以CE•CF=2BE•DF

⑧思路：根据⑩证明过程可知∆APE为等腰直角三角形，所以AP=PE

           再证明∆ADP ≌ ∆CDP (SAS)，所以AP=PC，

则PE=PC 所以∆EPC为等腰三角形

⑨思路：过点E作EX⊥BD，垂足为点X, 过点A作AY⊥BD，垂足为点Y，连接PE

先证明∆APY ≌ ∆PEX (AAS)  (“一线三垂直模型”)，所以AY=PX

∵AY= ,∴PX= 所以BX+DP= PX=

1．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④

2．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：

①∠GAE＝45°；②BG+DE＝GE；

③点G是BC的中点；④连接FC，则BF⊥FC；

其中正确的结论序号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③

4．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE；②；③的周长是一个定值；④连结FC，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

6．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：①；②连接，，则为直角三角形；③；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题

7．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________．

8．（）（2023春·全国·八年级专题练习）正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是_______．

9．（）（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），，下列三个结论：①当MN＝MC时，则；②2；③△MNC的周长不变；④∠AMN－∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是________．

10．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，则∠EAG＝_____度．

11．（）（2020·甘肃天水·统考中考真题）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为__________．

12．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列结论：

①△ABE≌△ADF；②∠AEB＝∠AEF；

③正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长；

④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是_____．（只填写序号）

13．（）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为__________．

三、解答题

14．（）（2023春·全国·八年级专题练习）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．

(1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM；

(2)求证：；

(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．

15．（）（2023·全国·九年级专题练习）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　       　；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）

16．（）（2021春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，正方形中 ，点在边上，且．将沿翻折至，延长交边于点，连结．

（1）求的度数；

（2）求证：；

（3）若，则的面积等于      ．

17．（）（2021春·全国·八年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°

（1）求证：BE+DF=EF

（2）当BE=1时，求EF的长

18．（）（2021春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，边长为4，M、N在AB、AD上．

(1) 若∠MCN＝45°，则BM＋DN__________MN（填“＞”“＜”或“＝”）；

(2) 如图1，若∠NMC＝∠MCD，求△AMN的周长；

(3) 如图2，若M、N在AB、AD反向延长线上，在(2)的条件下，直接写出DN、MN、BM的数量关系                          ．