【同步知识讲义】人教版数学八年级下册-第十八章 平行四边形（题型过关）讲义（原卷版+解析版）

第十八章 平行四边形

【题型一】利用平行线的性质与判定求解

典例1．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE＝CD；

（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．

变式1-1．（2022春·河南信阳·八年级校考期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．

（1）求证：BD、EF互相平分；

（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．

变式1-2．（2022春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）在平行四边形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点落在点处，连接并延长，交于．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）若，的周长为20，求四边形的周长．

变式1-3．（2022春·江西九江·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

【题型二】利用平行线的性质与判定证明

典例2．（2022春·江苏淮安·八年级校联考期中）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形．

变式2-1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．

(1)求证：四边形DEBF为平行四边形；

(2)若，，，求的面积．

变式2-2．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．

(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；

(2)连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．

变式2-3．（2022春·安徽阜阳·八年级阜阳实验中学校考期末）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，

（1）求证：△BCE≌△ADF；

（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值

【题型三】与三角形中位线有关的计算

典例3．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．

（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；

（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

变式3-1．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，平分，平分，，垂足为，的周长为，面积为，求的长．

变式3-2．（2022秋·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在边止，项点C、D重合，连接 、．设、交于点G．， ， （ ），． 请你回答以下问题：

(1)请猜想与的位置关系，并加以证明．

(2)填空：  =___________（用含有c的代数式表示）

(3)请尝试利用此图形证明勾股定理．

变式3-3．（2022春·江西南昌·八年级校考期中）如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点，

(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．

(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：；

(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想．

【题型四】利用矩形的性质与判定求解

典例4．（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．

 (1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．

变式4-1．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；

变式4-2．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)求证：；

(3)若点，，求DF的长．

变式4-3．（2022春·湖南张家界·八年级统考期末）如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若点是的中点，，求的长．

变式4-4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F．

(1)若AB＝4，BC＝3，求AE的长．

(2)连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长．

变式4-5．（2022春·江西·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE

（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．

【题型五】利用菱形的性质与判定求解

典例5．（2022春·陕西西安·八年级校考期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．

变式5-1．（2022春·青海玉树·八年级校考期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

变式5-2（2022春·山西临汾·八年级校联考期末）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

变式5-3．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE=OF，连接CE，DE．

(1)求证：四边形OCED是矩形：

(2)若∠DAB=60°，菱形ABCD的面积为，求矩形OCED的周长．

变式5-4．（2022春·江苏淮安·八年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．

(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；

(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．

【题型六】利用正方形的性质与判定求解

典例6．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在中，，，的角平分线交于点，于点，于点．

(1)求证：四边形是正方形；

(2)若，，求四边形的面积．

变式6-1．（2022秋·江西吉安·八年级校联考期末）如图所示的是由6个形状、大小完全相同的小长方形组成的大长方形网格（每个小长方形的宽都是1），小长方形的顶点称为这个长方形网格的格点，请仅用无刻度的直尺在长方形网格中完成下列作图．

(1)在图1中作一个斜边为5的直角三角形；

(2)在图2中作一个面积为5的正方形；

变式6-2．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE，连接AE、BF，记交点为P．

(1)求证：AE⊥BF；

(2)如图②，对角线AC与BD交于点O，BD、AC分别与AE、BF交于点G、H，求证：OG＝OH；

(3)在（2）的条件下，连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．

变式6-3．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；

(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．

变式6-4．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．

（1）∠EAF＝　   　°（直接写出结果不写解答过程）；

（2）①求证：四边形ABCD是正方形．

②若BE＝EC＝3，求DF的长．

（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 　   　（直接写出结果不写解答过程）．

【题型七】中点四边形

典例7．（2022春·甘肃金昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，E，F，G和H分别是各边中点．求证：四边形为平行四边形．

变式7-1．（2022春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

(1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH是矩形．

(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．

(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．

变式7-2．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．

(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．

(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：

①证明：四边形EFGH是平行四边形；

②当AC、BD满足 　   　时，四边形EFGH是矩形；

③当AC、BD满足 　   　时，四边形EFGH是正方形．