初中数学苏科版七年级下册9.3 多项式乘多项式优秀同步训练题

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9.3 多项式乘多项式

单项式×多项式法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
【注意事项】
1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
例：
3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。
 
【题型一】计算多项式乘多项式
【典题】（2022春·四川达州·七年级达州中学校考期中）的计算结果是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原式
故选A.
巩固练习
1（ê）（2022春·浙江杭州·七年级杭州市杭州中学校考期中）若对于任意都成立，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，根据题意得出m、n的值，即可求出m+n的值．
【详解】∵，
∴，
∵对于任意都成立，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
2（ê）（2022春·江西吉安·七年级统考期末）若，则n，k的值分别是（     ）
A．-5、20 B．5、-20 C．-5、-20 D．5、20
【答案】A
【分析】先根据多项式的计算，可得到（x＋4）（2x＋n），从而得到8+n=3，，即可求解．
【详解】解：


∵，
∴8+n=3，，
解得：，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
3（ê）（2022春·甘肃张掖·七年级校考期中）已知a2-3a+1=0，则(a+1)(a-4)的值为（    ）
A．不确定 B．5 C．-3 D．-5
【答案】D
【分析】直接利用已知得出a2-3a=-1，再利用多项式乘法去括号进而求出答案．
【详解】∵a2-3a+1=0，
∴a2-3a=-1
∴(a+1)(a-4)
=a2-3a-4
=-1-4
=-5．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及代数式求值，正确利用整体思想代入是解题的关键．
4（ê）（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列多项式乘法运算正确的是（   ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】D
【分析】根据多项式乘多项式法则计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是掌握运算法则，注意符号的变化．
5（ê）（2022春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期中）已知，，则__________．
【答案】5
【分析】根据多项式的乘法展开，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵ab=3，
∴，
∴5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，代数式的值，熟练进行多项式的乘法运算是解题的关键．
6（ê）（2022春·湖北孝感·七年级统考期中）如图是一块长方形的场地，长米，宽米，从、两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________．

【答案】
【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．
【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，
这个长方形的长是：米，宽是：米，
∴草坪的面积是：（平方米）．
故答案是：．
【点睛】本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．
7（ê）（2022秋·上海宝山·七年级统考期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
【答案】3x3-12x2y+12xy2
【分析】根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【点睛】题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
【题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【典题】（2022春·安徽安庆·七年级统考期中）若，则的值为（   ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式乘以多项式展开，根据多项式相等即可求得对应字母的值，进而代入代数式求解即可．
【详解】解：，
，
，，
，，
解得：，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·安徽合肥·七年级校考期中）若，则（   ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据整式的乘法运算即可化简求解.
【详解】∵
∴-n+10=m，-5n=-15，
解得n=3，m=7
故选A.
【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式的运算法则.
2（êê）（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）若，，则与的大小关系是（      ）
A． B． C． D．由的取值而定
【答案】A
【分析】求出与的差，即可比较，的大小．
【详解】∵，，
∴



．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是整式的运算，作差比较大小是解本题的关键．
3（ê）（2022春·江苏徐州·七年级统考期末）下列式子，计算结果为的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则对各选项加以计算，由此进一步判断即可.
【详解】A.，符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键.
4（êê）（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：
；
；
．
你发现有什么规律?按你发现的规律填空：
（_____＋______）_____×______
你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证．
【答案】3，5，3，5；详见解析
【分析】由多项式乘以多项式法则发现规律，解答．
【详解】解：（x＋3）（x＋5）＝x2＋（3＋5）x＋3×5＝x2＋8x＋15
故答案为：3，5，3，5．
（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．
验证：
（x＋a）（x＋b）＝x2＋ax＋bx＋ab＝x2＋（a＋b）x＋ab．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，是基础考点，掌握相关知识是基础考点．
5（êê）（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）（1）先阅读，再填空：
(x＋5)(x＋6)＝x2＋11x＋30；
(x－5)(x－6)＝x2－11x＋30；
(x－5)(x＋6)＝x2＋x－30；
(x＋5)(x－6)＝x2－x－30.
观察上面的算式，根据规律，直接写出下列各式的结果：
(a＋90)(a－100)＝____________；        (y－80)(y－90)＝____________．
（2）先阅读，再填空：
；
；
；
.
观察上面各式：①由此归纳出一般性规律：
________；
②根据①直接写出1+3+32+…+367+368的结果 ____________．
【答案】（1）， ；（2），
【分析】（1）根据可得；
（2）①由已知等式可得；②将原式变形为，再利用①中所得规律求解可得．
【详解】解：（1）；
；
；
，
，
，
故答案为：，．
（2）①由题意知，，
故答案为：；
②原式，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知等式得出一般规律是解题的关键．
【题型三】已知多项式乘法不含某项求字母的值
【典题】（2022春·广东河源·七年级统考期中）如果的展开式中不含项，那么p的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，找到含有项，即可得出方程-6-6p=0，求出即可．
【详解】解：∵（x2-px+1）（x2+6x-7）
=x4+（6-p）x3+（-6-6p）x2+（7p+6）x-7，
又∵展开式中不含x2项，
∴-6-6p=0，
解得：p=-1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0即可，解题的关键正确进行多项式乘多项式．
巩固练习
1（ê）（2022春·广西崇左·七年级统考期中）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
【答案】A
【分析】先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含x2和x项可得这两项的系数为0，进一步即可求出答案．
【详解】解：原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得：m＝2，n＝4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键．
2（ê）（2022春·河北保定·七年级保定市第十七中学校考期中）如果多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为6，则的值为（    ）
A．-12 B．-6 C．6 D．18
【答案】B
【分析】先计算与的乘积，然后根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：
由题意可得：，
解得：，

故选：B
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则，并根据题意求出a、b的值．
3（ê）（2022春·四川达州·七年级达州中学校考期中）已知展开式中不含和项，求代数式的值．
【答案】16
【分析】根据整式的运算法则进行化简，使得项和项的系数为0即可求出的值，进而代入的算式求解即可
【详解】解：


由于展开式中不含项和项，

解得



【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．
4（ê）（2022秋·安徽宣城·七年级校考期中）已知展开式中不含和项．
(1)求，的值；
(2)在（1）的条件下，求代数式的值．
【答案】(1)​，​
(2)
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，再由题意所要求的对应项系数为零，即可求得m与n的值；
（2）利用多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，再把m与n的值代入化简后的式子中计算求值即可．
【详解】（1）解：
，
根据展开式中不含和项得：，，
解得：，，
即，；
（2）解：

，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，正确运算是关键，注意相乘的两个多项式项数较多，不要漏乘项．
5（êê）（2022秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌市一中校考期中）已知关于的四次三项式中不含及项，试写出这个多项式，并求时，这个多项式的值．
【答案】；．
【分析】关于的四次项的系数不能为零，的三次项的系数为零，的二次项的系数为零，的一次项的系数不能为零，由此可计算出，的值，从而可以写出这个单项式，将代入计算即可．
【详解】解：∵关于的四次三项式中不含及项，
∴，解得，，代入原代数式得，，
当时，，
∴这个多项式的值为．
【点睛】本题考查多项式的运算，解题的关键是明确多项式中如果不含某项，则这项的系数就是，理解单项式的系数问题是解题的关键．
【题型四】利用多项式乘多项式化简求值
【典题】（2022春·河南周口·七年级校考期末）已知，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后代入计算，即可得到答案
【详解】解：，
∵，，
∴原式；
故选：D
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简
巩固练习
1（ê）（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为（    ）

A．2，5，3 B．3，7，2
C．2，3，7 D．2，5，7
【答案】C
【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可．
【详解】解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故选C．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2（ê）（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）先化简，再求值：，其中
【答案】，-2
【分析】先根据乘法公式以及单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：原式=    
                                    
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
3（ê）（2022春·陕西榆林·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【分析】先利用单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．
【详解】解：


，
当时，原式


【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4（ê）（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）已知：的结果中不含关于字母x的一次项，求的值．
【答案】16
【分析】首先利用多项式乘以多项式的法则计算：，结果中不含关于字母x的一次项，即一次项系数等于0，即可求得a的值，再把所求的式子化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
 ，
∵结果中不含关于字母x的一次项，
∴，
化简可得：原式，            
将代入化简之后的式子得：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是利用多项式中不含关于字母x的一次项求出a的值．
【题型五】利用多项式乘多项式解决图形面积问题
【典题】（2022春·江苏苏州·七年级期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米．维续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【分析】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法，则面积变为(a+10)(b- 10)，又因为a> b，通过计算可知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为ab(平方米)，第二年按照庄园主的想法则面积变为(a+ 10)(b- 10) = ab- 10a + 10b-100= [ab- 10(a-b)-100]平方米，
，
，
面积变小了．
故选A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，关键在于认真读题，结合所学知识完成计算．
巩固练习
1（ê）（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图，用大小不同的9个长方形拼成一个大长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（    ）

A．ab+3a+b+3 B．ab+a+3b+3 C．ab+4a+b+4 D．ab+a+4b+4
【答案】B
【分析】根据平移和长方形面积公式即可求解．
【详解】解：由平移可知，图中阴影部分的长为（a+3），宽为（b+1），
则图中阴影部分的面积是（a+3）（b+1）= ab+a+3b+3．
故选：B．
【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据平移得到图中阴影部分的长和宽．
2（ê）（2022秋·河南郑州·七年级校联考期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出如图所示的无盖长方体盒子，制作过程如下：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．则该无盖长方体盒子的体积可以表示为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分别用代数式表示长方体的长、宽、高，利用体积计算公式可得答案．
【详解】解：由题意得，这个长方体的底面是边长为（a-2b）的正方形，高为b，
所以体积为（a-2b）（a-2b）×b=b（a-2b）2（cm3），
故选：D．
【点睛】本题考查认识立体图形，列代数式，整式乘法，掌握长方体体积的计算方法是正确解答的关键．
3（ê）（2022春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校考期末）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出未被覆盖的阴影部分面积与空白部分面积的差，本题得以解决．
【详解】解：设小正方形的边长为x，则a+x=b+2x，
解得，x=a-b，
空白部分面积与未被覆盖的阴影部分面积的差为：
=




原式=


故选：A．
【点睛】本题考查整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4（ê）（2022春·辽宁沈阳·七年级统考期末）长为，宽为（）的长方形，若将长增加，宽减少，则它的面积会(   )
A．变小 B．变大 C．不变 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据长方形的面积公式求出变化前后的长方形的面积，再将两个值进行相减即可得．
【详解】解：变化前的长方形面积为，
变化后额长方形面积为，
，
，
即，
所以它的面积会变小，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式乘法与减法的应用，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键．
5（ê）（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．
【答案】2
【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．
6（ê）（2022春·山东聊城·七年级统考期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是______平方米．

【答案】
【分析】从图上可知绿化面积为长方形面积减去正方形面积，运用整式乘法与整式加减法进行整理，可得出答案．
【详解】解：由图可知，绿化面积为，
则
=
故绿化面积为平方米．
【点睛】本题考查了整式乘法运算，准确表达绿化面积，正确进行计算是解题关键．另外，需要注意，对于带有单位的多项式的表达，需要把多项式写在括号内．
7（ê）（2022春·湖南常德·七年级统考期中）在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示．例如，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图（1）来表示．请你根据此方法写出图（2）中图形的面积所表示的代数恒等式：____________．

【答案】（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
【分析】图②的面积可以用长为a+a+b，宽为b+a+b的长方形面积求出，也可以由四个正方形与5个小长方形的面积之和求出，表示出即可．
【详解】解：根据图形列得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
故答案为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
考点：多项式乘多项式．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
8（ê）（2022春·广西桂林·七年级统考期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．  

(1)绿化的面积是多少平方米？
(2)并求出当a=3，b=2时的绿化面积．
【答案】(1)
(2)63
【分析】（1）根据题意用大长方形面积减去正方形的面积即可求解；
（2）将a=3，b=2代入（1）的结果求值即可．
【详解】（1）解：绿化的面积是：


（2）当a=3，b=2时，




【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，代数式求值，掌握整式的乘法运算是解题的关键．
9（êê）（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．

［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
(1)
解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得；
(2)
令
，
原式=


，
的值与无关，
，
解得；
(3)
解：设，
由图可知，，，
则

，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
10（êê）（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）街心花园有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米（x＞0），改造后仍得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后长方形草坪的面积；
(2)小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
【答案】(1)（ab+ax﹣bx﹣x2）米2
(2)不正确，理由见解析
【分析】（1）根据长×宽可得面积；
（2）根据矩形的面积公式和作差法比较大小可得结论．
(1)
依题意得：改造后长方形草坪的面积＝（a﹣x）（b+x）＝（ab+ax﹣bx﹣x2）米2．
(2)
小明的观点不正确，理由如下：
设改造前长方形草坪的面积为S前，改造后长方形草坪的面积为S后，
则S后-S前．
∵x＞0，a＞b，
∴当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S后﹣S前＞0，即S后＞S前；
当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S后﹣S前＝0，即S后＝S前；
当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S后﹣S前＜0，即S后＜S前．
【点睛】本题考查了列代数式和多项式乘以多项式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
【题型六】多项式乘法的规律型问题
【典题】（2022春·重庆·七年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．
（2）的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三
【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；
（2）直接根据得出的规律即可求解；
（3）利用规律计算原式即可得到结果；
（4）由8100，根据得出的规律即可求解．
【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，
∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为；
（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；
（4）8100
根据规律可知，除以7余数为1，
∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．
【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．
巩固练习
1（êê）（2022春·四川达州·七年级校考期中）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的公式计算即可．
【详解】（1）解：
=
=；

=
=
故答案为：，．
（2）由（1）得
故答案为：．
（3）
=
=；

=
=．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式及探索规律题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
2（êê）（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读下文，寻找规律：
已知：，观察下列各式：
；
；
；
；
…
(1)填空：
①_________；
②_________．
(2)根据你的猜想，计算：
①_________；
②那么的末尾数字为_________．
【答案】(1)①；②
(2)①；②1
【分析】（1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案；
（2）①把x=2，n=2020代入所得的规律中即可得到答案；②先探究的末尾数字的规律，然后根据规律求解.
(1)
解：①根据规律可得：；
②原式

；
(2)
解：①∵，
把x=2，n=2020代入，
得：，
②∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…，
∵，
∴的末尾数字是2，
∴的末尾数字是1.
【点睛】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题.
3（êê）（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）观察下列一组等式：


(1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
①__________；
②（ ）；
③（ ）．
(2)利用你发现的规律来计算：．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果；
（2）将第一个因式与第四个因式结合，第二个因式与第三个因式结合，利用得出的规律计算即可得到结果．
（1）
（1）①(x−3)(x2+3x+9)=x3−27；
②(2x+1)(4x2−2x+1)=8x3+1；
③(x−y)(x2+xy+y2)=x3−y3.
故答案为①；②；③；
（2）
（2）原式
【点睛】本题的类比、拓展探究考查了多项式的乘法，解题的关键是运用多项式相乘的法则推导，得出结果，探究规律，运用得到的规律解答．
【题型七】整式乘法的混合运算
【典题】（2022春·广西北海·七年级校联考期中）计算：
（1）        （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算同底数幂的乘法和积的乘方，然后合并同类项即可；
（2）根据整式的四则运算法则进行求解即可．
【详解】解：（1）

；
（2）

．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，和整式的四则运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
巩固练习
1（ê）（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）先化简，后求值：，其中．
【答案】化简结果，代数式的值为．
【分析】先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：

，
当时，
原式

．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键．
2（ê）（2022春·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图，某市有一块长方形地块，城市规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．

(1)用含a、b的代数式表示绿化面积；
(2)求出当，时的绿化面积．
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）根据题意可得地块面积：，雕像占地面积：，再根据绿化面积等于地块面积减去雕像占地面积，即可求解；
（2）把，代入（1）中的结果，即可求解．
（1）
解：根据题意得∶地块面积：，雕像占地面积：
∴绿化面积：


即绿化面积是平方米．
（2）
解∶当，时，
，
即当，时，绿化面积是平方米．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
3（ê）（2022秋·上海松江·七年级校考期中）某个正方形场地上欲修建一个如图所示形状的草坪（空白部分），图中阴影部分表示两条互相垂直的相同宽度的道路．已知正方形场地的边长为米，道路宽度为米．

(1)用含字母a、b的代数式表示修建的道路是多少平方米？
(2)用含字母a、b的代数式表示铺设的草坪是多少平方米？
(3)若道路每平方米的修建费用为200元，求当，时，需要投资多少元修建道路？
【答案】(1)
(2)
(3)7800
【分析】（1）根据题意表示出十字路的面积即可；
（2）根据题意表示出铺设的草坪的面积即可；
（3）根据（1）表示出的式子，把a与b的值代入计算即可得出答案．
【详解】（1）根据题意可得，
∴修建的道路是平方米；
（2）根据题意可得，
铺设的草坪的面积为；
（3）当，时，
（平方米），
（元）．
∴需要投资7800元修建道路．
【点睛】本题考查代数式求值，以及列代数式，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．