【同步讲义】苏科版数学七年级下册：第七章 平面图形的认识（二）（题型过关）

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第七章 平面图形的认识（二） 
【题型一】根据平行线的性质与判定求解
典例1．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．

【答案】（1）见解析（2）35°
【分析】（1）由知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明；
（2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）可知的度数.
【详解】∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴；
（2）∵，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴=∠B=35°.
【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定.
变式1-1．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．

(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解；
（3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
变式1-2．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）已知∥，点、分别是、    上的两点，点在、之间，连接、.
（1）如图①，若，求的度数；
（2）如图②，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
（3）如图③，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数.

【答案】（1）90°；（2）90°；（3）50°
【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，即可得到∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-y-2x，∠MGN=x+y，再根据2∠MEN+∠G=105°，即可得到2（90°-y-2x）+x+y=105°，求得x=25°，即可得出∠AME=2x=50°．
【详解】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，

∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，

∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK∥AB，∠BMG=30°，
∴∠MGK=∠BMG=30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP=∠BMG=30°，
∴∠BMP=60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ=∠BMP=60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN=∠DNP=α，
∴∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，
∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，

∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME=∠FMA=∠BMG=x，
∴∠AME=2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK=∠BMG=x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM=∠EMA=2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN=∠GND=y，
∴∠MGN=x+y，
∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG=180°-y，∠CNE=∠CNG=90°-y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN=∠CNE=90°-y，
∴∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-y-2x，∠MGN=x+y，
∵2∠MEN+∠G=105°，
∴2（90°-y-2x）+x+y=105°，
∴x=25°，
∴∠AME=2x=50°.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
变式1-3．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知点，分别在和上，且．

(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，平分，的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)55°
(2)100°
(3)不变，40°
【分析】（1）过点E作，根据，则，运用平行线的性质计算即可．
（2） 延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．
（3） 过点E作，则，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E作，

∵，
∴，
∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，
∴∠CDE+∠ABE =∠DES+∠SEB=∠DEB，
∵∠CDE=25°，∠DEB=80°，
∴∠ABE =∠DEB-∠CDE=80°-25°=55°．
故答案为：55°．
（2）解：如图2，延长DE，交AB于点M，

则∠DEB=∠EMB+∠EBM，
∵，平分，
∴∠EMB=180°-∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=∠MDF，
∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，
∴∠DEB=(180°-∠MDF) +2∠HBN=180°-∠MDF+，
∴∠DEB=180°-∠MDF+∠MDF-2∠DHB=180°-2∠DHB，
∵，
∴∠DEB=180°-2(∠DEB-60°)，
∴3∠DEB=300°，
解得∠DEB=100°．
（3）解：过点E作，则，

根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，
∵平分，平分，
∴∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，
∵∠DEB=100°，
∴∠EBM-∠NDE=40°，
∵，
∴∠DEQ=∠NDE，
∴∠EBM =40°+∠DEQ，
∵，
∴，
∴∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEB+∠PBM =180°，
∴∠PBM =180°-100°-40°=40°，
∴∠PBM 的度数不变，值为40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【题型二】根据平行线的性质探究角的关系
典例2．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）已知，点B为平面内一点，于B．
(1)如图，直接写出和之间的数量关系．

(2)如图，过点B作于点D，求证：．

(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数．

【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；
（2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到；
（3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，．
【详解】（1）如图1，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）如图2，过点B作，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，．
（3）如图3，过点B作，

∵BF平分，BE平分，
∴，，
由（2）知，
∴，设，，
则，，，
，
∴
∵，，
∴，
中，由得
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键．
变式2-1．（2022春·湖北十堰·七年级校联考期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出，，从而可得，再根据垂直的定义可得，由此即可得出结论；
（3）过点作，延长至点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得，然后根据角的和差、对顶角相等可得，由此即可得出答案．
【详解】证明：（1）如图，过点作，

，
，
，
，即，
，
；
（2）如图，过点作，

，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，延长至点，

，
，
，
，
平分，平分，
，
由（2）可知，，
，
又，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
变式2-2．（2022春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．

问题迁移：
（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】（1）∠CPD=，理由如下：
如图3，过点P作PEAD交CD于点E，

∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；
（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图4，过点P作PEAD交CD于点E

∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠EPD，=∠CPE
∴∠CPD=∠CPE−∠EPD=；
②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图5，过点P作PEAD交CD于点E

∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=
综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.
【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
变式2-3．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）如图，，点E为两直线之间的一点

(1)如图1，若，，则____________；
(2)如图2，试说明，；
(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①，理由见解析；②
【分析】（1）如图①，过点E作EFAB．利用平行线的性质即可解决问题；
（2）如图②中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；
（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．
【详解】（1）解：过E点作EFAB，

∵ABCD，
∴EFCD，
∵ABCD，
∴∠BAE＝∠1，
∵EFCD，
∴∠2＝∠DCE，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．
∵，，
∴
（2）过E点作ABEG．

∵ABCD，
∴EGCD，
∵ABCD，
∴∠BAE＋∠AEG＝180°，
∵EGCD，
∴∠CEG＋∠DCE＝180°，
∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．
（3）①由（1）知 ，
∵FA为∠BAE平分线，CF为平分线，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，
∴ ，
②由①知 ，
∵，， ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
【题型三】利用平移的性质求解
典例3．（2022春·河南南阳·七年级校联考期末）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹：

(1)画出，线段扫过的图形的面积为______；
(2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？
【答案】(1)10
(2)4
【分析】（1）根据平移的性质得出，线段扫过的面积用矩形面积减去周围个直角三角形面积即可；
（2）根据平行线之间的距离处处相等可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，

线段扫过的面积为，
故答案为：；
（2）解：如图，作，则点即为所求，共有个，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作图——平移变换，平行四边形的面积，平行线的性质等知识，准确画出图形是解题的关键．
变式3-1．（2022春·陕西商洛·七年级校考期末）如图，将周长为10的三角形沿方向平移1个单位长度后得到三角形，求四边形的周长．

【答案】四边形的周长为12
【分析】根据平移的性质得出，计算周长即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，
∵的周长为10，
∴，
即，
∴四边形的周长．
【点睛】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式3-2．（2022春·河北唐山·七年级统考期末）（1）动手操作如图1，在的网格中，将线段向右平移，得到线段，连接，．
①线段平移的距离是_________；
②四边形的面积_________；
（2）如图2，在的网格中，将折线向右平移3个单位长度，得到折线．
①画出平移后的折线；
②连接，，多边形的面积_________；
（3）拓展延伸如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积_________．

【答案】（1）①3；②6；（2）①见解析；②6；（3）
【分析】（1）①根据平移的性质可得答案；
②根据平行四边形面积公式求解即可；
（2）①根据平移的性质得出的位置，即可作出图形；
②将多边形的面积看成是两个平行四边形的面积进行求解即可；
（3）利用平移规律，将道路平移到左边，进而表示出面积即可．
【详解】解：（1）①由图可知，线段平移的距离是3；
②四边形的面积为：3×2＝6，
故答案为：① 3，② 6；
（2）①折线如图所示：

②由图可知，多边形的面积为：，
故答案为：6；
（3）∵小路宽度处处相同，宽为米，
∴剩下的草坪面积为：．
【点睛】本题考查了作图—平移，平移的性质和应用，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
变式3-3．（2022春·湖南长沙·七年级统考期末）我们通常在施工项目附近的地面上，看到如下图中的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆及行人向左或向右行驶，为其作出正确的向导，如果你是安全标志的设计人员，请利用下面的方格图，解决下列问题：

(1)画出安全标志图形向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
(2)完成（1）后，图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
【答案】(1)见解析
(2)平行（或AB//A′B′），相等（或AB= A′B′）
【分析】（1）利用平移变换的性质求出平移后的图形即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：

（2）解：ABA′B′，AB＝A′B′，
故答案为：ABA′B′，AB＝A′B′．
【点睛】本题考查作图﹣利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型四】利用平移的性质解决实际问题
典例4．（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）有一长10m，宽6m的长方形花坛，现要在某处修筑两条与长方形的长、宽分别垂直，且宽度为2m的长方形小路（如图阴影部分所示），则绿化部分的面积是多少？

【答案】绿化部分的面积是32m2
【分析】观察图形可知，绿化部分通过平移可以拼成一个长为（10-2）m，宽为（6-2）m的长方形，利用长方形面积公式即可求解．
【详解】解：（10-2）×（6-2）
=8×4
=32（m2）．
答：绿化部分的面积是32m2．
【点睛】本题主要考查图形的平移，能够通过平移将绿化部分拼成一个长方形是解题的关键．
变式4-1．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示，

爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”
小刚：“我早已用盒尺量好了，每阶高，宽为  …”
爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”
小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”
你认为小刚的方法可以吗？说明理由．
【答案】可以，理由见解析
【分析】根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，再量出楼梯的总高和总长度相加得出答案．
【详解】解：可以，
如图所示：根据图示可得：
地毯的总长度cm=3.15m．

【点睛】本题主要考查了平移的应用，确定地毯的长与楼梯的高和长度的关系是解题的关键．
变式4-2．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）一宾馆准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知地毯40元/米2，主楼梯的宽为2米，其侧面如图所示，则地毯至少需要多少元．

【答案】672元．
【分析】从图中可以看出来，主楼梯道所有平面的楼梯加起来的宽度正好是5.6米，所有竖面的楼梯加起来的高度正好是2.9米，由此可以算出要铺地毯的总长度，从而得到总面积，再结合每平方米的价钱40元，可以算出总共所需要的钱数．
【详解】由题意得，共需费用为元
答：这所中学购买这种地毯需花672元钱．
【点睛】本题考查的是平移的性质、长方形的面积．
变式4-3．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．

问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）
【答案】(1)见解析过程；
(2)40，=；
(3)（ab-a）
【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB；
（2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积；
（3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积．
【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；

（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，
则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
∴S1=S2，
故答案为：40，=；
（3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度，
∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位．
故答案为：（ab-a）．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．
【题型五】确定三角形第三边的取值范围
典例5．（2022春·陕西西安·七年级统考期末）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．
【答案】
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为△ABC的三边长分别为1，4，a．
所以4-1