【同步讲义】苏科版数学七年级下册：第八章 幂的运算（题型过关）

第八章 幂的运算 

【题型一】同底数幂相乘

典例1．（2022春·江苏无锡·七年级统考期中）规定a*b＝3a×3b，求：

(1)求1*2；

(2)若2*（x+1）＝81，求x的值．

【答案】(1)27

(2)x＝1

【分析】（1）根据所规定的运算进行作答即可；

（2）根据所规定的运算进行作答即可．

【详解】（1）∵a*b=3a×3b，

∴1*2

=31×32

=3×9

=27；

（2）∵2*（x+1）=81，

∴32×3x+1=34，

则2+x+1=4，

解得：x=1．

【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，明确所规定的运算法则．

变式1-1．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）若，求m．

【答案】

【分析】等式的右边进行同底数幂的乘法，根据指数相等列出方程，解方程即可．

【详解】解：∵，

∴ 2m＋7＝6＋4m，

解得．

【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、解一元一次方程等知识，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键．

变式1-2．（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．

(1)[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝　   　，（2，）＝　   　；

(2)[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；

(3)[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．

【答案】(1)3；﹣1；

(2)证明见解析；

(3)t＝80．

【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；

（2）根据规定的运算可得4a＝12，4b＝5，4c＝60，结合同底数幂的乘法法则计算即可；

（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可．

(1)

解：∵23＝8，，

∴（2，8）＝3，（2，）＝﹣1，

故答案为：3；﹣1；

(2)

证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，

∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，

∴4a×4b＝60，

∴4a×4b＝4c，

∴a+b＝c；

(3)

解：设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，

∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，

∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），

∴p+q＝r，

∴mp+q＝mr，

∴mp•mq＝mr，即16×5＝t，

∴t＝80．

【点睛】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．

变式1-3．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）已知，求n的值．

【答案】2

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出n的值是解题关键．

变式1-4（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）如果，则，例如，则．

(1)根据上述规定，若，则________．

(2)记，，，求a、b、c之间的数量关系．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）根据新定义运算直接可得结果；

（2）根据同底数幂的乘法运算结合新定义即可求解．

（1）解：∵∴故答案为：3

（2）解：∵，，，∴即

【点睛】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义是解题的关键．

【题型二】幂的乘方

典例2．（2022春·广西桂林·七年级统考期中）计算：

【答案】

【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算后，再合并同类项．

【详解】解：，

，

．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则．

变式2-1．（2022春·广西贵港·七年级统考期中）(1)已知m＋4n-3=0，求2m16n的值．

(2)已知n为正整数，且x2n＝4，求(x3n)2－2(x2)2n的值．

【答案】（1）8；（2）32

【分析】（1）根据幂的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；

（2）原式变形后代入计算即可求出值．

【详解】解：（1）∵m＋4n-3=0，

∴m＋4n=3，

2m×16n====8；

（2）原式== =64﹣2×16=64﹣32=32．

【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

变式2-2．（2022春·安徽合肥·七年级校考期中）如果，，求：

(1)的值；

(2)的值．

【答案】(1)45

(2)125

【分析】（1）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算将原始变形为，然后将、代入求解即可；

（2）根据幂的乘方的运算法则求解即可．

【详解】（1）解：∵，，

∴；

（2）解：∵，，

∴．

【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算是解题关键．

变式2-3．（2022春·河北邢台·七年级统考期末）根据乘方的意义“”可以推导出幂的相关运算法则．

（1）下面是“积的乘方”法则的推导过程，在括号里写出每一步的依据．

因为 （_______________________________）．

（________________________________）

  （________________________________）

所以

（2）请你类比（1）的过程写出“幂的乘方”法则的推导过程（并写出每一步的依据）

【答案】（1）乘方的意义，乘法交换律、乘法结合律，乘方的意义；（2）见解析

【分析】（1）根据乘方的意义“”和乘法交换律、乘法结合律可推得结果；

（2）根据乘方的意义可得，再根据同底数幂的乘法法则可得．

【详解】解：（1）因为  （乘方的意义）．

（乘法交换律、乘法结合律）

  （乘方的意义）

所以

（2）（乘方的意义）

（同底数幂的乘法法则）

（乘法的意义或合并同类项）

【点睛】考核知识点：乘方的意义．理解乘方的意义，灵活运用乘方意义和同底数幂乘法法则是关键．

变式2-4．（2022春·山东聊城·七年级统考期中）已知，，求：

(1)；

(2)．（结果用含a，b的代数式表示）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；

（2）利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．

【详解】（1）∵，，

∴23m+2n

=23m×22n

=（2m）3×（2n）2

=a3b2；

（2）∵，，

∴4m+n-2

=4m×4n÷42

=（2m）2×（2n）2÷16

=．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

【题型三】积的乘方

典例3．（2022春·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期中）计算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4．

【答案】

【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果．

【详解】解：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4

=

=

=

【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

变式3-1．（2022秋·北京通州·七年级校考期中）（1）计算：

①与；

②与；

③与；

（2）根据以上计算结果猜想：，分别等于什么？（直接写出结果）

（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由；

（4）利用上述结论，求的值．

【答案】（1）①225，225②36，36③144，144（2）a2b2，a3b3（3）anbn，理由见解析（4）

【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，

②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，③先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果；

（2）直接按（1）写结果即可；

（3）利用乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为与的乘积即可；

（4）利用积的乘方的逆运算，先将化成，再进行简便运算即可．

【详解】解：（1）①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225；

②[（2）×3]2＝＝36；（2）2×32＝4×9＝36；

③， ；

（2）根据（1）计算结果猜想：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3；

（3）当n为正整数时，（ab）n＝anbn．

理由：当n为正整数时．

（ab）．

（4）（）2021×0.1252022

＝（）2021×0.1252021×0.125

＝（×0.125）2021×0.125

＝0.125

＝．

【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．

变式3-2．（2022秋·广西贵港·七年级统考期中）（1）算一算，再选“<、>或=”填空：

①_________；

②_________．

（2）想一想：____________．

（3）利用上述结论，求．

【答案】（1）①=，②=；（2）；（3）8

【分析】先计算（1）找到计算规律，然后按照计算规律计算（2）（3）即可

【详解】解：（1）①

②

故答案为：①=，②=

（2），

故答案为：

（3）．

【点睛】本题考查规律探究、积的乘方等于乘方的积，根据初步计算积的乘方发现计算规律是解题关键．

变式3-3（2022春·江苏镇江·七年级镇江市外国语学校校考期中）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，接着老师问道：“科学家们正在寻找一颗星球，也可以近似地看做球体，它的半径是地球的10000倍，那么这样的星球它的体积约是多少立方千米？”请你尝试计算．

【答案】千米3

【分析】设地球半径为r，可得“该星球的半径约是地球的倍”，则该星球的半径为104r千米，然后结合球的体积公式及积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可．

【详解】解：设地球的半径为r千米，则该星球的半径为104r千米．

因为

==1012

=1012

而=千米3，

所以==(千米3)．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方．注意理解题意，掌握同底数幂的乘法运算，幂的乘方，积的乘方的运算法则是解此题的关键．

变式3-4．（2022春·广东肇庆·七年级德庆县德城中学校考期中）解答下列问题：

（1）已知，，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1500；（2）27

【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；

（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将

【详解】解：（1）∵，，

∴；

（2）∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．

【题型四】幂的除法

典例4．（2022秋·陕西咸阳·七年级校考期末）已知,求(1)；  (2) .

【答案】(1)200； (2).

【分析】（1）同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；依此计算即可求解；

（2）同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；依此计算即可求解．

【详解】（1）33m+2n=33m×32n=（3m）3×（3n）2=8×25=200；

（2）34m-3n=34m÷33n=（3m）4÷（3n）3=16÷125=.．

【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

变式4-1．（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）（1）已知am＝2，an＝3，求

①am＋n的值；

②a3m﹣2n的值

（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．

【答案】（1）①6；②（2）x=6

【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；

（2）把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．

【详解】解：（1）①am+n=am•an

=2×3=6；

②a3m-2n=a3m÷a2n

=（am）3÷（an）2

=23÷32

=；

（2）∵2×8x×16=223，

∴2×（23）x×24=223，

∴2×23x×24=223，即21+3x+4=223，

∴1+3x+4=23，

解得：x=6．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则．

变式4-2．（2022春·全国·七年级统考期中）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．

【答案】0

【分析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后算整式的加减．

【详解】原式＝x6•x3﹣x2•x9÷x2

＝x9﹣x9

＝0．

【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法以及整式的加减，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法法运算法则是解题的关键．

变式4-3．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）（1）已知，，求的值；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）200

（2）16

【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可；

（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求出2m+3n的值，再代入所求式子计算即可．

【详解】解：（1）∵，，

∴=

=

=

=200；

（2）∵=81=，

∴2m+3n=4，

∴==16．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则及其逆用是解答本题的关键．

变式4-4．（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）已知：．

(1)求的值．

(2)求的值．

(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系．

【答案】(1)9

(2)27

(3)c=2a+b

【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；

（2）根据同底数幂的乘、除法则进行解答即可；

（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．

【详解】（1）解：∵=3，

∴；

（2）解：∵=3，=8，=72

∴；

（3）解：∵，

∴，

即c=2a+b．

【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

变式4-5．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）（1）计算：21﹣22+（﹣17）﹣4；

（2）计算： ；

（3）先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．

【答案】（1）（2）（3），﹣8

【分析】（1）根据有理数的加减法则进行计算即可；

（2）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；

（3）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．

【详解】解：（1）21﹣22+（﹣17）﹣4

＝21﹣22﹣17﹣4

＝﹣1﹣17﹣4

＝﹣22；

（2）

＝

＝

＝ ；

（3）

＝

＝ ，

当x＝1，y＝2时，

原式＝

＝4×1﹣12

＝4﹣12

＝﹣8．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值等知识点，能正确根据有理数的加减运算法则、整式的运算法则进行计算和化简是解此题的关键，注意运算顺序．

【题型五】零指数幂与负指数幂

典例5．（2022春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）计算或化简：

(1)；

(2)

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；

（2）分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方的运算法则以及幂的乘方运算法则计算即可．

(1)

解：原式=

．

(2)

解：原式=，

=9a9+16a9-125a9，

=-100a9．

【点睛】此题考查了实数的运算以及幂的混合运算，解题的关键是掌握相关定义与运算法则．

变式5-1．（2022春·北京昌平·七年级校联考期中）计算： ．

【答案】-9

【分析】根据负整数指数幂、零指数幂进行计算即可；

【详解】解：原式=

=-9

【点睛】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂的计算，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．

变式5-2．（2022春·江苏苏州·七年级太仓市第一中学校考期中）计算

（1）；       

（2）

【答案】（1）-2；（2）

【分析】（1）原式根据绝对值的代数意义，零指数幂的运算法则以及负整数指数幂的运算法则化简各项，然后再进行加减运算即可；

（2）原式根据积的乘方运算法则，单项式乘以单项式、单项式除以单项式运算法则化简各项后再合并即可得到答案．

【详解】解：（1）

=2-1-3

=-2；

（2）

=

=

=

=

【点睛】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．