数学九年级上册2.1 圆优秀课后作业题

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第2章 对称图形----圆
2.1 圆
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课程标准
课标解读
1、 理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）；
2、掌握点和圆的三种位置关系；
3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系；
4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上
1、理解圆的描述概念和圆的集合概念；
2、理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；
3、经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；

知识精讲

知识点01 圆的定义
1. 圆的描述概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”

【微点拨】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.圆的集合概念
圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.
【微点拨】
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
【即学即练1】体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？
【解析】解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所要画的圆．
知识点02 点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.

【微点拨】
点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
【即学即练2】如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．

【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3 【解析】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3 知识点03 与圆有关的概念
1. 弦、直径、弦心距的概念

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2. 弧、半圆、优弧、劣弧的概念
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.


【微点拨】
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧、同心圆、等圆与圆心角的概念
（1）等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
（2）同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
（3）等园：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.

【即学即练3】已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦．

【解析】证明：如图，连接，，

、、、是圆的半径，
．
是圆的直径，
．
、、是三角形的三边，
．
即．
是中最长的弦．
能力拓展

考法01 判断点和圆的位置关系
【典例1】已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?
【答案】PD＝4cm，点P在⊙O上．QD＞4cm，点Q在⊙O外．RD＜4cm，点R在⊙O内．
【解析】解：连接PO，QO，RO．

∵   PD＝4cm，OD＝3cm，
∴   PO＝．
∴   点P在⊙O上．
，
∴   点Q在⊙O外．
，
∴   点R在⊙O内．
考法02 园的有关概念
【典例2】如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF．请说明AE=BF．

【解析】解：证明：连接OC、OD，则OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
在△OCE和△ODF中，
，
∴△OCE≌△ODF（SAS），
∴OE=OF，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=BF．

分层提分

题组A 基础过关练
1．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（       ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
2．已知⊙O的半径为4，点P是⊙O外一点，连结OP，那么OP的长可能是（       ）
A．3.5 B．3.9 C．4 D．4.1
【答案】D
【解析】∵⊙O的半径为4，点P是⊙O外一点，
∴，
∵，
∴符合题意，
故选：D．
3．已知⊙O的直径为6，点A到圆心O的距离为d，且点A在⊙O的外部，则（　　）
A．d ≥6 B．d ≥3 C．d >6 D．d >3
【答案】D
【解析】解：根据题意即可知．
故选：D．
4．有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；
经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；
圆有无数条对称轴，符合题意；
没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；
正确的说法有2个，
故选：B．
5．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（       ）

A．a B．b C． D．
【答案】C
【解析】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
6．到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是____________．
【答案】圆
【解析】定点为圆心，定长 为半径，圆心与半径可确定一个圆．
故答案为：圆
7．已知⊙O的半径为5，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O______．
【答案】内部
【解析】解：，
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部．
8．若⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_______．（填“上”、“内”、“外”）
【答案】外
【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离OA为4cm，
即点A到圆心的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为：外．
9．已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .
【答案】3cm
【解析】∵⊙O的直径为6cm，
∴⊙O的半径为3cm，
∵点P在⊙O上，
∴．
故答案为：3cm．
题组B 能力提升练
1．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（       ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为3，，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A与⊙O外．
故选：B．
2．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
3．山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴正方形的对角线的长为2
∴半径为
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积
∴阴影部分面积=π（）2-22=
故选：A．
4．如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，连接，





设，

在中，




故选C
5．如图，已知矩形的边，，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是_________．

【答案】6 【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定半径r的取值范围．
【解析】解：连接AC，如图，

∵，，
由勾股定理可得：，
∵，，AC=10，
又∵B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴点B在内，点C在外，
∴6 故答案为：6 6．下面是六个推断：
①因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
②因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
③因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
④因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
⑤因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
⑥因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有_____个，其序号是_____．
【答案】     1     ⑥
【解析】解：①因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；
②因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；
③因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；
④因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；
⑤因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小题错误；
⑥符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确．
故正确的结论有1个，其序号是⑥．
故答案为：1，⑥．
7．一个圆形花坛，直径为6米，沿花坛的周围修一条1米宽的小路．这条小路的面积是多少平方米？
【答案】这条路的面积是平方米
【解析】∵圆形花坛的直径为6，
∴圆形花坛的半径为6÷2=3（米），
∵小路的路宽为1米，
∴包含小路的圆的半径为3+1=4（米），
∴大圆面积为，圆形花坛的面积为：，
∴小路的面积（平方米），
答：这条路的面积是平方米。
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若，，求∠C的度数．

【答案】
【解析】解：连接，

，
，
又，
，
，

．
9．如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，．

(1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标；
(2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系．
【答案】(1)半径为5，圆心
(2)在圆上
【解析】(1)解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，
将化成，
表示的圆的半径为5，圆心的坐标为；
(2)解：将原点代入，
左边右边，
原点在表示的圆上．
题组C 培优拔尖练
1．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），

则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM=，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3 ．
∴OM的最大值 ．
故选：A．
2．如图，计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)，下列描述正确的是（       ）

A． B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【解析】解：如图，当x=25%时，∠MON=90°；当x=50%时，∠MON=180°；OM=ON=1；

A、d（25%）=＞1，本选项不符合题意；
B、当x＞50%时，0≤d（x）＜4，本选项不符合题意；
C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当x1+x2=100%时，d（x1）=d（x2），本选项符合题意；
故选：D．
3．在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，半径为画圆，交x轴于点A，交y轴于点B．再分别以点O、A为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于C、D两点，然后作直线CD交⊙O与点P．则点P的坐标为______．
【答案】或或或
【解析】解：如图，当在正半轴时，
由作图可得：
   


当在第四象限时，同理可得：
如图，当在负半轴时，

同理可得：或
故答案为：或或或
4．如图，在等边△ABC中，，点D在△ABC内部或其边上，AD＝2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．
（1）CE的最小值为______；
（2）当ED的延长线经过点B时，∠DEC＝______°．

【答案】     2﹣2；     60°
【解析】解：（1）∵△ADE为边长为2的等边三角形，
∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上，
∴CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），

∴CE的最小值为 AC﹣2＝2﹣2；
故答案为：2﹣2．
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，AD＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
而∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．
即∠DEC＝60°．
故答案为：60°．
5．已知：如图，E是菱形ABCD内一点，，垂足为点F，且，联结AE．

(1)求证：菱形ABCD是正方形；
(2)当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA，
∵，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
在Rt△BEC和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CFD（HL），
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，即∠BCD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)证明：连结AF、DE，
∵F为CE的中点，DF⊥CE，
∴DF垂直平分CE，
∴CD=DE=DA，
∴∠AED=（180°-∠ADE）=90°-∠ADE，
∠DEC=（180°-∠EDC）=90°-∠EDC，
∴∠AEF=∠AED+∠DEC=90°-∠ADE+90°-∠EDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=180°-×90°=135°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB=360°-90°-135°=135°，
∴∠AEB=∠AEF，
∵Rt△BEC≌Rt△CFD，
∴BE=CF=EF，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴AB=AF，
∴点F在以AB为半径的上．