苏科版九年级上册2.2 圆的对称性精品精练

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第2章 对称图形----圆
2.2 圆的对称性
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课程标准
课标解读
探索并证明垂径定理∶垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。


1、由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
3、通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
知识精讲

知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【微点拨】
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
【即学即练1】如图，在⊙O中，=∠B=70°，求∠A的度数．

【答案】∠A=40°.
【解析】解：∵=∠B=70°，
∴AB=AC，
∴∠C =∠B =70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°．
故答案为∠A=40°．
知识点02 垂径定理
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【微点拨】
1.根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
2.在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【即学即练2】如图，AB为⊙O的一条弦．

(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)5
【解析】(1)解：如图所示：

(2)解：如图

连接BD，OB
在中，CD=2，BD=
∵
∴
∴
∴BC=4
设OC=x，则OD=OB=x+2
在中，由勾股定理可得：
即
解得：x=3
∴x+2=5
∴⊙O的半径为5．
能力拓展

考法01 弧、弦、圆心角的关系
【典例1】如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（       ）.

A． B． C．4 D．3
【答案】D
【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，

∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.

考法02 垂径定理
【典例2】如图，AB是的弦，半径于点D，若，，则OB的长是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：∵
∴AD=BD
∵
∴BD=AB=4
∵
设OB=x，OD=x-2
由勾股定理得，
即，
解得：x=5
故选：C
分层提分

题组A 基础过关练
1．下列语句不正确的有（       ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：①直径是弦，①正确；
②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；
④半圆是弧，④正确；
故不正确的有个．
故选：B．
2．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．

3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，

∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（　　）

A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】C
【解析】解：连接OC，

则OC=AB=×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3，
即CD=2CE=6，
故选：C．
5．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．
【答案】B
【解析】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
6．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．

【答案】16
【解析】解：连接，

∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：
7．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．

【答案】6
【解析】解：连接OA，如图，

∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，OC==6（cm）．
故答案为：6．
8．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．

【答案】5
【解析】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
故答案为：5．
9．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）

【答案】
【解析】解：如图，连接AB、BC，

∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
题组B 能力提升练
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【解析】A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、如图，四边形ABCD，ABCD，∠A=∠C，

∵ABCD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
2．如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD=CD=×9=3，OC=OD+CD=6，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC，
连接OA，

由勾股定理得：AC= =3，
即AC=BC=3，
∴AB=AC+BC=6，
故选：B．
3．如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段OE的长为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【解析】解：如图，

∵弦CD⊥AB，垂足为E
∴CE=DE=，
∵OA是半径
∴OA=，
在Rt△ODE中，OD=OA=10，DE=8，
，
故选：B．
4．如图，的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线上，若，则的面积为（       ）

A．36 B．32 C．24 D．18
【答案】B
【解析】解：如图所示，连接OA，
∵△ABC的外接圆是△ABC三边的垂直平分线的交点，且外接圆圆心在中线CD上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠ADC=90°，，
设AD=x，则CD=2x，
∴OD=CD-OC=2x-5，
在Rt△OAD中，，
∴，
解得或（舍去），
∴AB=CD=8，
∴，
故选B．

5．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（       ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，

∴，
∵AC＝4，BC＝2，
∴BA=6，
∴AE=BE=3，
∴CE=1，
设OE=x，
∴，
∵CD⊥OC，
∴，
∴或（舍去）．
故选：C
6．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．

【答案】7
【解析】解：如图，连接，

A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
7．如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______．

【答案】5
【解析】解：如图，连接OC，设圆的半径为x，

由垂径定理可得：CH=CD=4，
Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则
，
，
解得：x=5，即⊙O半径为5，
故答案为：5；
8．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，，则的最大值是_________．

【答案】4
【解析】解：延长交于，连接，

则，
当过时，最大值为8，
，
故答案为：4．
9．如图，BC是的弦，AD过圆心O，且．若，则的度数为______．

【答案】20°
【解析】解：连接OB，延长AD交圆于E，

∵AD⊥BC，AD过圆心O，
∴，
∴∠BOE=∠COD=40°，
∴∠A=∠BOE=20°，
故答案为：20°．
10．如图，AB是的弦，OC交AB于点D，点D是弦AB（AB不是直径）的中点，若，，的半径

【答案】5cm
【解析】解：如图，连接OA，

∵点D是弦AB（AB不是直径）的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC−CD＝OA−CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2＋OD2，即OA2＝16＋（OA−2）2，
解得OA＝5，
11．已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．

(1)若，求证：四边形为正方形．
(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)OD＜OE
【解析】(1)证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝AB，AE＝EC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
(2)解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴OE ＝AB，OD＝AC，
又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
12．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．

【答案】见解析
【解析】，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．

13．已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，

作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴　 　．
∴∠ABP＝∠BPC（　 　）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
【答案】(1)见解析
(2)，同弧或等弧所对的圆周角相等
【解析】(1)解：如图，直线PC即为所求作．

(2)证明：连接PB．
∵BC＝AP，
∴，
∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l．
故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等．
题组C 培优拔尖练
1．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的长等于（       ）

A．2 B．4 C． D．2
【答案】D
【解析】解：如图，令、的交点为，

∵，是的直径，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选D．
2．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】连接AC，AO，

∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
3．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（       ）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】B
【解析】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，
∵，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD= A′D=AB，
∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，
∴AE= A′E，又AD=BD，
∴DE是△AB A′的中位线，
∴DE= A′B，
∵，，
∴CD=7cm，DE=2cm，
∴CE=CD-DE=7-2=5cm，
故选B．

4．下列命题中真命题的个数是（       ）
①在函数（m为常数）中，当时，
②相等的圆心角所对的弧相等；
③三角形的内心到三边的距离相等；
④顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
⑤对于任意实数m，关于x的方程有两个不相等的实数根．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】解：①∵，，
∴反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小，
∴当时，不一定有，故①是假命题；
②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②是假题；
③三角形的内心到三边的距离相等，故③是真命题；
④顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故④是真命题；
⑤∵，
∴方程有两个实数根，故⑤假命题，
故选A．
5．如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】解：连接，如图：

，过圆心，
，，
为弧的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：D．
6．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．

【答案】
【解析】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，

∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
7．如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为______．

【答案】4
【解析】解：设的半径为R
过点作 连接









∴
解得：
故答案为：4
8．如图，在平面直角坐标系中，、、．

（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______；
（2）这个圆的半径为______；
（3）点与的位置关系为点在______（填内、外、上）．
【答案】             内
【解析】解：（1）如图，
∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴点是经过、、三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点即为所求．

故答案为：．
（2）∵，点在上，
∴．
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点在的内部．
故答案为：内．
9．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：

(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
【答案】(1) cm
(2) cm
【解析】(1)解：如图1，作交于，交于，连接

由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
(2)解：如图2，延长交于，连接，设半径为

由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：为的中点，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．