数学九年级上册第2章 对称图形——圆2.8 圆锥的侧面积精品课后测评

第2章   对称图形----圆

2.8  圆锥的侧面积

知识点01  圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，

圆锥的全面积:S全=S侧+S底=.
【微点拨】

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【即学即练1】若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为（   ）

A．2cm2 B．24cm2 C． D．

【答案】C

【解析】解：∵圆锥底面半径为3cm，母线长为4cm，

∴圆锥的侧面积为．

故选：C．

【即学即练2】如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OA＝5cm，高OC＝12cm．则它的侧面积是（       ）

A．130cm2 B．65cm2 C．60cm2 D．30cm2

【答案】B

【解析】解：Rt△AOC中，AC=，

圆锥侧面积，

故选： B．

考法  圆锥侧面积的有关计算

【典例1】如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？

【答案】cm

【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，

根据题意得2πr＝，

解得r＝6，

所以这个圆锥的高＝（cm）．

【典例2】如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．

(1)求AB的长；

(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．

【答案】(1)1；(2)

【解析】(1)连接BC，如图

∵，

∴BC为⊙O的直径，其，

∴；

(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，

解得：．

题组A  基础过关练

1．一个圆锥的底面半径是2，母线长是4，则这个圆锥的表面积为（　　）

A．4π B．20π

C．8π D．12π

【答案】D

【解析】圆锥的表面积为：，

故选：D．

2．某圆锥母线长为60，其侧面展开图是圆心角为108°的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（       ）

A．36 B．18 C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面圆半径为rcm，

根据题意得，

解得r=18，

即圆锥的底面圆半径为18cm．

故选 B．

3．底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为（     ）

A．15π B．20π C．25π D．30π

【答案】A

【解析】∵圆锥的底面半径为3，高为4

∴母线长为

∴圆锥侧面积．

故本题选A

4．若圆锥的侧面展开图是一个半圆，该半圆的直径是4cm，则圆锥底面的半径是（       ）

A．0.5cm B．1cm C．2cm D．4cm

【答案】B

【解析】解：由题意，底面圆的周长为：，

∴底面圆的半径为：（cm），

故选：B

5．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】解：∵母线为6，设圆锥的底面半径为x，

∴圆锥的侧面积=π6x=12π．

解得：x=2．

故选：B．

6．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径为，高为，则该扇形纸片的面积为________．

【答案】

【解析】解：生日帽的底面圆半径为，高为，

∴圆锥的母线长为，

∵底面圆半径为，

∴底面周长为，

∴该扇形纸片的面积为：．

故答案为：．

7．第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积_______．（结果保留）

【答案】225π

【解析】解：∵扇形的面积=()．

∴圆锥的侧面积为225π，

 故答案为：225π．

8．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为________．

【答案】4

【解析】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得：

，

解得：，

即该圆锥的母线长为4．

故答案为：4

9．若圆锥的底面圆半径为2cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为______．

【答案】10π

【解析】解：这个圆锥侧面展开图的面积=•2π•2•5=10π．

故答案为：10π．

10．如图，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是________．

【答案】90π

【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，

∴圆锥的侧面积是s=πrl=5×13×π=65π，

底面积是πr2=52π=25π，

∴全面积为65π+25π=90π，

故答案为：90π．

题组B  能力提升练

1．一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为，

∴圆锥侧面展开图的面积是．

故选：C

2．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（       ）

A． cm2 B． cm2 C．cm2 D．cm2

【答案】C

【解析】解：在中，

cm，

∴它侧面展开图的面积是cm2．

故选：C

3．如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（       ）

A．22 B．23 C．24 D．25

【答案】A

【解析】解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，

∴×l×25=550π解得l=44π，

∵2πr=44π，

∴OC=r=22，

故选：A．

4．已知圆锥的底面半径为，高线长为，则这个圆锥的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵圆锥底面半径为3cm，高线长为4cm，

∴圆锥的母线长为：

∴圆锥的侧面积为

故选：C．

5．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm．

【答案】

【解析】解：设圆锥底面半径为rcm，

则圆锥底面周长为：cm，

∴侧面展开图的弧长为：cm，

∴，

解得：r=，

故答案为：．

6．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面展开图的面积为________．

【答案】

【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，

∴，

∴该圆锥的侧面展开图的面积为．

故答案为：．

7．如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示）

【答案】

【解析】解：根据题意，

∵圆锥的母线长，底面圆的直径，

∴圆锥的侧面积为：

；

故答案为：；

8．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．

【答案】

【解析】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，

故答案为：．

9．如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．

【答案】

【解析】解：设这个圆锥的底面半径为，

由题意得，解得，

所以，解得．

所以这个圆锥的底面半径为．

10．如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积．

【答案】

【解析】解：由题意得，

在中，

答：该圆锥的侧面积为．

题组C  培优拔尖练

1．已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，

∴圆锥侧面展开图的面积为，

故选B．

2．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：根据题意，

圆锥形烟囱帽的底面周长为：；

∵圆锥的侧面展开图为半圆形，

∴，

∴；

∴它的母线长为；

故选：D

3．如图，是的外接圆，，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：根据圆的性质，

∵，

∵

∴

∴

∴圆锥底面圆的半径为：

∴圆锥的高

故选：D

4．已知圆锥的底面积为，高为，则圆锥的侧面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：设底面半径为r，

由题意得：，

解得：r=3（负值舍去），

∴圆锥的底面半径是3cm，

∴圆锥母线长为：（cm），

∴圆锥的侧面展开图的面积为：（cm2）．

故选：B

5．若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______．

【答案】

【解析】设圆锥的母线长为，由题意可知展开扇形的弧长，

，

，

．

故答案为：．

6．已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______．

【答案】60πcm2

【解析】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，

侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2．

故答案为：60πcm2．

7．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．

【答案】

【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，

∴AB=BC=4，

，

∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，

∴，

如图，过B作BHAC于H，

∴AH=CH=AC，

，

在RtABH中，

，

∴，

同理可求∠EAF=30°，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴r=，

故答案为：．

8．如图，正方形的边长为8，以点A为圆心，长为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是_________．

【答案】1

【解析】解：∵正方形的边长为8

∴

∵是正方形的对角线

∴

∴

∴圆锥底面周长为，解得

∴该圆锥的底面圆的半径是1

故答案为：1

9．如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE．

（1）求证：BE = CE．

（2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G．若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积

（3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．

【答案】（1）见解析（2）扇形FEG的面积为．（3）圆锥的底面圆的半径为．

【解析】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形，

点是BC的中点，

是等边的中线，且，

，

，

．

（2）解：如图所示：

与BC相切，且，

点是切点，并且是该扇形的半径，

，且，

，

，

在中，，

，

是BC的中点，

在中，由勾股定理可知：，解得，

扇形FEG的面积为．

（3）解：设圆锥底面圆半径为，

扇形FEG的弧长为： ，

扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长，

，解得 ，

故圆锥的底面圆的半径为．

10．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(1，4)、B(﹣3，4)、C(﹣4，3)，请在网格图中进行如下操作：

（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，则圆心M点的坐标为        ；

（2）若扇形MAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径r．

【答案】（1）（1，1）；（2）

【解析】解：（1）如图，圆心M点的坐标为（-1，1）．

故答案为：（-1，1）；

（2）根据勾股定理可得，MA=MC=，

AC=，

∴MA2+MC2=AC2，

∴△ACM为等腰直角三角形，∠AMC=90°，

根据题意得2πr=，解得：r=，

即该圆锥的底面圆的半径长r为．

11．如图，有一四边形的铁片，，，，．以点为圆心，为半径作圆弧得一扇形．

（1）求阴影部分的面积；

（2）剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆半径．

【答案】（1）；（2）圆锥的底面圆半径为

【解析】解：（1）在中，∵，，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，．

过点C作CE⊥BD于E，

∴，

∴

∴；

（2）由（1）知的长为，

设该圆锥的底面圆半径为，则，

解得．

故该圆锥的底面圆半径为．

12．在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上）

 （1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留）

 （2）请说明方案一不可行的理由．

 （3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长．

【答案】（1）；（2）见详解；（3）正方形的边长为

【解析】解：（1）由题意得：圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，

∴圆锥的全面积为：；

（2）设圆与正方形相切于点E，连接，如图所示：

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴，

设，

∴，

∴，

解得：，

∴的长为，圆的周长为，

∵，

∴方案一不可行；

（3）设圆与正方形相切于点F，连接，如图所示：

设，

∴由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得：，

解得：，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴，

∴正方形的边长为．