【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第01讲 集合 讲义

第一讲 集合的概念与表示

【知识梳理】

1．元素与集合

(1)集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合．

(2)元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写的拉丁字母来表示．

(3)元素与集合间的关系：

①若a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”．

②若a不是集合A的元素，就记作a∉A或aA，读作“a不属于A”．

(4)集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性．

(5)常见数集

(6)集合相等的概念

如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．

2．集合的表示法

(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内，元素之间用逗号分隔，这样表示集合的方法称为列举法．

(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法．

[教师点拨]

(1)使用列举法表示集合应注意以下问题：

①元素之间用“，”隔开；②元素不能重复；③元素没有顺序．

(2)使用描述法表示集合应注意以下问题：

①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；

②说明该集合中元素的性质；

3．集合的分类

按照集合中元素的多少，集合可以分为有限集和无限集．

(1)含有有限个元素的集合叫作有限集；

(2)含有无限个元素的集合叫作无限集．

(3)不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.

[教师点拨]

{0}和∅不是同一个集合，{0}中含有一个元素0，而∅中没有任何元素．

【典型例题】

考点一：集合的概念

1. 下列给出的对象中，能构成集合的是

A. 一切很大的数 B. 无限接近的数
C. 聪明的人 D. 所有的直角三角形

【答案】

D

【解析】

【分析】本题考查了集合的含义的相关知识，试题难度容易．
【解答】解：对于选项 A ：一切很大的数； ：无限接近零的数； ：聪明的人，但是描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；
选项 D ：所有的直角三角形，元素是确定的，具体的，是正确的．
故选 D ．   

2. 下列对象能组成集合的是

A. 中央电视台著名节目主持人 B. 我市跑得快的汽车
C. 上海市所有的中学生 D. 香港的高楼

【答案】

C

【解析】

【分析】本题考查了集合的含义的相关知识，试题难度容易．
【解答】解：对于 ，“著名”无明确标准；
对于 ，“快”的标准不确定；
对于 ，“高”的标准不确定，因而 ， ， 均不能组成集合．
而对于 ，上海市的中学生是确定的，能组成集合．
故选 C ．   

考点二：元素与集合的关系

3. 用“”或“”填空：

          ，__          ，          

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系的相关知识．
结合 不是整数， 不是有理数， 是自然数直接写出结果即可．

【解答】

解：因为 不是整数， 不是有理数， 是自然数，
， ， ．
故答案为 ， ， ．

4. 已知集合由的数构成，则有

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】

【分析】本题考查了元素与集合的关系的相关知识，试题难度容易
【解答】解：很明显 ， 不满足不等式，而 ， 满足不等式，只有 C 正确．
故选 C ．   

5. 若，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

由 分别等于集合中的元素列方程求解，注意用互异性检验就是了．
此题考查的是元素与集合的关系，属基础题．

【解答】

解：由 ，得 ，违背互异性；
由 ，得 ，其中 违背互异性；
由 ，得 ，或 ，两者都违背互异性．
综上可知 ．
故答案为： ．

6. 若，则实数的值为

A.  B.  C.  D. 或

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题主要考查集合中元素的性质．
根据条件得到 或 ，结合集合中元素的互异性，即可得到答案．

【解答】

解：当 时，有 违背集合中元素的互异性，故 ；
必有 ，解得： 或 舍去 ，
故实数 的值为 ．
故选 B ．

7. 设，集合中含有三个元素，，．

求元素应满足的条件；

若，求实数．

【答案】

解：根据集合元素的互异性可知，

即，且，．

，又，
．

【解析】本题考查了集合中元素的性质的相关知识，试题难度较易
考点三：集合的表示

8. 用列举法表示集合为   

A.  B.
C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度容易．
【解答】解： ．
故选 B ．   

9. 集合，，用列举法表示为________．

【答案】

，，，，，，

【解析】

【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度容易．
【解答】解：集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
故答案为 ， ， ， ， ， ， ．   

10. 下列说法错误的是

A. 不等式的解集表示为
B. 所有偶数的集合表示为
C. 全体自然数的集合可表示为自然数
D. 方程实数根的集合表示为

【答案】

ABD

【解析】

【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识，试题难度较易．
【解答】解：不等式 的解集表示为 ，故 A 错误；
所有偶数的集合表示为 ，故 B 错误；
显然 C 正确；
方程 实数根的集合表示为 ，故 D 错误．
故选 ABD ．   

11. 已知集合，，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了集合的含义和集合的表示方法的相关知识，属于基础题．
将 ， ， ， 代入 求 的值，从而可得集合 ．

【解答】

解：因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ．
故答案为 ．

12. 已知集合，，，，则中所含元素的个数为

A.  B.  C.  D.

【答案】

D

【解析】

【分析】本题考查了集合中元素的个数问题的相关知识，试题难度较易．
【解答】

解：当时，，，，；

当时，，，；

当时，，；

当时，．

综上，中含有个元素．
故选D．

  考点四：集合相等

13. 已知，若集合，则   

A.  B.  C.  D.

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查列举法表示集合，集合相等的定义，集合元素的互异性属于中档题．
根据可得出，即，整理后分别讨论，根据元素的互异性可得， 代入计算即可．

【解答】

解：，
又，，

，，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，，符合题意．

．
故选B．

14. 含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】
本题考查集合的元素的三个特性和集合相等，注意集合中元素的互异性，属于基础题．
根据所给的一个集合的两种表示形式，看出第二种表示形式中，只有 一定等于 ，重新写出集合的两种表示形式，把两种形式进行比较，得到 ， 的值，得到结果．
【解答】
解： 集合既可以表示成 ，
又可表示成 ，
由于 中 ，所以 一定等于 ，即 ， ； ，
在后一种表示的集合中有一个元素是 ，只能是 ，
， ，
，
故答案为 ．   

15. 已知，求实数的值．

已知，求实数的值

【答案】

解：．
若，则，集合，不满足集合的互异性；
若，则或，，集合或，
当时，符合题意；．
若，则或，集合或不满足集合的互异性；
综上．
解：由题意可得，或，解得，或，舍，或，故答案为，或、．

【解析】已知集合，三个元素都有可能等于，所以分三种情况， 
此题主要考查元素与集合的关系以及集合三要素的应用，后面结果必须代入进行验证，这是易错的地方．
此题考查集合相等，考查集合元素的性质及分类讨论，利用集合相等的定义可得方程，从而求出、的值，利用元素的互异性检验即可．
  考点五：集合与一元二次方程

16. 已知集合至多有一个元素，则的取值范围为_____________．

【答案】

或

【解答】

解： 若集合 中没有元素，即 ，那么方程 无解，
即 且 ，所以 ．
若集合 中只有一个元素，那么方程 只有一个解．
(ⅰ) 当 时， ，此时 ，满足题意，
(ⅱ) 当 时， ，所以 ，此时 ，满足题意，
综上所述， 或 ．
故答案为 或 ．

17. 已知，，求实数的值；

已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．

【答案】

解：因为，所以有或，显然，

当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；

当时，解得，，
由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，
当时，，符合题意

故．

由于中有两个元素，
关于的方程有两个不等的实数根，

，且，即，且．

故实数的取值范围是．

18. 已知．
    若，用列举法表示；
    当中有且只有一个元素时，求的值组成的集合．

【答案】

解：．
当时，则是方程的实数根，
，解得；
方程为，解得或；
；
当时，方程为，
解得，；
当时，若集合只有一个元素，
由一元二次方程有相等实根，判别式，
解得；
综上，当或时，集合只有一个元素．
所以的值组成的集合．