高中数学苏教版 (2019)必修第一册3.2 基本不等式精品同步练习题

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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第一册3.2 基本不等式精品同步练习题，文件包含第05讲基本不等式原卷版docx、第05讲基本不等式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页，欢迎下载使用。

第五讲不等式的基本性质与基本不等式
【知识梳理】
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系.
2.a>b⇔a－b>0
a＝b⇔a－b＝0
a 3.不等式的性质

4.∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得，当且仅当a＝b时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
5.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
6.基本不等式与最大(小)值　口诀：和定积最大，积定和最小
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
4.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.

【典型例题】
考点一：不等式的性质
1. 如果，那么（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举例判断A，B，D错误，再证明C正确.
【详解】
由已知可取，则
，A错，
，B错，
，，D错，
因为，所以
所以，故，C对，
故选：C.
2. 若，则下列说法正确的是（       ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
【答案】C
【解析】
【分析】
对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】
对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
3. 已知，则下列命题正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断各选项．
【详解】
当时，如，时成立，A错；
若则一定有，所以时，一定有，B正确；
，但，C错；
，则，D正确．
故选：BD．

考点二：取值范围

4. 已知，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
所以的取值范围是，
故选：D.
5. 设，，求，，的范围.
【答案】，，
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.
【详解】
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．

考点三：不等式比较大小及证明
6. 已知，，，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
7. 若，，则与的大小关系为（       ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用作差法判断大小即可
【详解】
因为

，
所以，
故选：B
8. （1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
9. 已知a，b，c，d都是正数，且，，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
利用作差法证明即可.
【详解】
因为a，b，c，d都是正数，，，
所以，
所以.

考点四：基本不等式证明
10. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________.

【答案】     ##
【解析】
【分析】
根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用a，b表示出相关线段长即可作答.
【详解】
依题意，，，由直角三角形射影定理得，即，
而点C与点O不重合，在中，即，则，
在中，因，，由直角三角形射影定理得，
，又，则，即，
所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为.
故答案为：；
11. （1）已知，比较与的大小；
（2）已知正数，满足，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法，化简再与0比较，即可比较两数大小；
（2）根据题意，可知，利用整体乘“1”法，得，化简后得，再利用基本不等式求和的最小值，即可证明.
【详解】
解：（1），

；
（2），
则

是正实数，，当时等号成立，
，当时等号成立，，当时等号成立，
，
所以.
12. 设，为实数，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
利用基本不等式证明.
【详解】
因为a, b为实数，
所以a2＋b2＋2＝(a2＋1)＋(b2＋1)≥2a＋2b，
当且仅当a2＝b2＝1时取“＝”，
所以原不等式成立．
13. 已知a，b，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据给定条件利用配凑思想借助均值不等式及不等式性质即可得证.
【详解】
因为a，b，，则，，，
于是得，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
将上述三个不等式相加得：，
当且仅当时等号成立，因此有，
所以，当a，b，时，.
14. 已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由题知，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，
所以，
当且仅当即，等号成立，
所以，证毕.

考点五：基本不等式-直接应用
15. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，当且仅当时等号成立.
故答案为：3
16. 已知实数满足，则的最大值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】
因实数满足，则，当且仅当时取“=”，
由且解得或，
所以当或时，取最大值1.
故答案为：1

考点六：基本不等式-“1”的巧用

17. 已知，，且，则的最小值是________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据基本不等式求的最小值.
【详解】
因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是8，
故答案为：8.
18. 已知实数满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B

考点七：基本不等式-配凑法
19. 若，则的最小值是_________.
【答案】5
【解析】
【分析】
利用配凑法转化成形式一致的因式，再根据基本不等式“一正，二定，三相等”求出最小值即可.
【详解】
，

当且仅当即时，等号成立，此时.
故答案为：.
20. 已知x>，则的最小值为____．
【答案】15
【解析】
【分析】
对添项为：，再由基本不等式即可求出答案.
【详解】
，当且仅当即x=4时，等号成立．
故答案为：15.
21. 当时，函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
22. 下列结论中正确的是（       ）
A．若，则
B．
C．函数最小值为
D．若，则的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.
【详解】
A选项，若，则，A选项错误.
B选项，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，B选项错误.
C选项，，
，当且仅当时等号成立，C选项正确.
D选项，当时，，，D选项错误.
故选：C

考点八：基本不等式-消元法
23. 已知，则的最小值是（       ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】
故选：A

24. 已知，，且满足，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据基本不等式求解即可
【详解】
因为，，且满足，
则
当且仅当时取等号，
所以的最大值为3.
故答案为：

考点九：基本不等式-换元法
25. 已知，则的最小值是（       ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
故选：A
26. 已知为正数，则的最大值为 .
【答案】
【解析】
令

考点十：基本不等式恒成立问题
27. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意当时，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，从而求得答案．
【详解】
当时，不等式恒成立，
对均成立．
由于，
当且仅当时取等号，
故的最小值等于3，
，
则实数a的取值范围是．
故选：D．
28. 已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（       ）
A．（-∞，-1）∪（9，+∞） B．（-9，1） C．[-9，1] D．（-1，9）
【答案】A
【解析】
【分析】
由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可
【详解】
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，
因为有解，所以，即，
解得或，
故选：A
29. 已知，，且，则（       ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若恒成立，则正实数的取值范围是
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
对于A和B，分别利用基本不等式求出最值即可；对于C，利用基本不等式转化为进而求出结果；对于D，利用分离常数结合二次函数性质判断即可
【详解】
对于A
因为，，且，
则，可得，
解得或（舍去）
则，当且仅当，取等号
故最小值为，
故A正确；
对于B
因为，，且，则，
则，
当且仅当，取等号
故最小值为，
故B正确；
对于C
，
当且仅当取等号，
所以不等式恒成立，转化为，解得，
故C正确；
对于D
因为，，，则，，
将不等式变形得到恒成立，

当时，取等号，故，
D正确．
故选：ABCD．

考点十一：基本不等式实际应用
30. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，则下面结论正确的有（       ）
A．若，则
B．
C．若，则有最大值
D．若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基本不等式及其推理分别判断各选项.
【详解】
因为，，
若，则，当且仅当且，即，时取等号，A正确；
因为，即，当且仅当时取等号，
所以，B错误；
若，则，当且仅当时取等号，C正确；
若，则，解得，所以，D错误.
故选：AC.

31. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值.
【详解】
，
所以三角形的面积
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：

32. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米．若菜园面积为平方米，则所用篱笆总长的最小值为______；若使用的篱笆总长度为米，则的最小值为___________

【答案】     20     ##0.3
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，根据基本不等式即可求得和的最小值；
（2）由已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用即可求和的最小值.
【详解】
解：若菜园面积为平方米，则，
所以篱笆总长，当且仅当，即，时等号成立，
故所用篱笆总长的最小值为20；
若使用的篱笆总长度为30米，则，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：20；.
33. 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.
（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；
（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.
【详解】
（1）由题意，当时，x=1，则，于是，所以.
（2）由（1），，
当且仅当时“=”成立.
所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
34. 如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米．

(1)要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
【答案】(1)或
(2)当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米
【解析】
【分析】
（1）设，（），由∽，得到，然后得到花坛AMPN的面积，再由求解；
（2）由（1）的结果变形，然后利用基本不等式求解；
(1)
解：设，则．
∽，
，即，
解得．
花坛AMPN的面积．
由，得，则，
解得或，
故AN的长度范围是或．
(2)
由，
当且仅当，即时，等号成立．
当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米．
35. 为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)
(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
(1)
宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．
(2)
直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，
故，
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
36. 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与前方反应时间t1,系统反应时间t2、制动时间，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3如图所示.当车速v（米/秒），且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)

阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间

秒
秒

距离
米

米

(1)请写出报警距离d（（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式,并求当k=2时，若汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车在k=1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?
【答案】(1)，秒
(2)米/秒以下
【解析】
【分析】
（1）由题意直接可得函数关系，再由基本不等式可得最短时间；
（2）依题意解不等式即可.
(1)
由题意知，
即
当时，，
即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间
(2)
当时，，即
即，
故
所以，汽车的行驶速度应限制在米/秒以下.