高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性优秀综合训练题

函数的奇偶性

【知识梳理】

1. 奇偶性的定义

设函数的定义域为，

如果对于任意的，都有，并且，

那么称函数是偶函数；

如果对于任意的，都有，并且，

那么称函数是奇函数；

注：定义域关于原点对称.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；

（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.

若=-，则是奇函数；

若=，则是偶函数；

若，则既不是奇函数，也不是偶函数；

若且=-，则既是奇函数，又是偶函数

4.判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

（2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

（3）性质法：

两个奇函数的和仍为奇函数；

两个偶函数的和仍为偶函数；

两个奇函数的积是偶函数；

两个偶函数的积是偶函数；

一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.

在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.

分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，

然后判断与的关系.

首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

【典型例题}

考点一：判断函数奇偶性的方法

1.判断函数奇偶性

(1)f(x)＝；    (2)f(x)＝x3－2x；    (3)f(x)＝x2＋1；

(4)  f(x)＝； （5）f(x)＝

考点二：奇偶性的性质

2.已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

考点三：利用奇偶性求参数

4．若为奇函数，则__________．

5.（1）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.

（2）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为           。

（3）若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（　　）

A．1 B．0 C．－1 D．±1

考点四：奇偶性求解析式

6．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式为________.

考点五：函数图像

8．函数的图像为（    ）

A． B．

C． D．

9．函数的图象可能是（    ）

A．  B．

C． D．

10．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（    ）

A． B． C． D．

考点六：奇偶性求值

11．已知，其中a，b为常数，若，则（    ）

A． B． C．10 D．2

12．设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

13．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）

A． B． C． D．

14．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B．

C． D．

15．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-3

16．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ）

A． B． C． D．

考点七：解不等式

17．若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（   ）

A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞）

18．已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

19．若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)<0的解集是（    ）

A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪ (0，2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(2，＋∞)

20．已知函数为定义在R上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为___________.

21．已知奇函数是定义在上的减函数，且满足不等式，则不等式解集 ______ ．

考点八：参数取值范围

22．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

23．已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

24．已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得不等 式 都恒成立，则实数 的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

25．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.

考点九：奇偶性单调性的综合运用

26．对于定义在上的函数，下述结论不正确的是（    ）

A．若是奇函数，则

B．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数

C．若对任意，有，则是上的减函数

D．若函数满足，则是上的增函数

27．已知函数的图象关于原点对称，函数在区间上为增函数，最小值为5，那么函数在区间上（    ）

A．为增函数，且最小值为-5 B．为增函数，且最大值为-5

C．为减函数，且最小值为-5 D．为减函数，且最大值为-5

28．（多选）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点成中心对称

B．函数的图象关于直线成轴对称

C．在区间上，为减函数

D．

29．（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数 B．

C．的图像关于对称 D．

考点十：函数性质的综合应用

30．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求a，b的值；

(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；

(3)求使成立的实数的取值范围．

31．已知函数.

(1)若，判断的奇偶性并加以证明.

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

32．已知是定义在R上的奇函数，当时，．

(1)求函数的解析式；

(2)当时，写出函数的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）；

33．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求时，函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

34．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．

(1)求f（x）的解析式；

(2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．

考点十一： 抽象函数

35．（多选）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数

B．的解析式唯一

C．若是周期为的函数，则

D．若时，，则是上的增函数

36．（多选）已知函数，对于任意，则

A．的图象经过坐标原点 B．

C．单调递增 D．

37．设函数对任意实数，都有，且时，，．

(1)求证：是奇函数；

(2)求在上的最大值与最小值．

38．已知函数的定义域为，且满足：对任意，都有．

(1)求证：函数为奇函数；

(2)若当，<0，求证： 在上单调递减；

(3)在（2）的条件下解不等式： ．

39．定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，，②对定义域内任意的，满足，试回答下列问题：

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)判断并证明函数的单调性；

(3)对，使得不等式恒成立，求t的取值范围．