高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度优秀同步达标检测题

第15讲 角与弧度

【知识梳理】

1．任意角的概念

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示

如图所示：

①始边：射线的起始位置OA．

②终边：射线的终止位置OB．

③顶点：射线的端点O．

(3)正角、负角、零角

2．象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合．

3．终边相同的角

(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示

(1)象限角：

(2)轴线角：

4．弧度制

(1)定义：以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制．

(2)度量方法：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．

[知识点拨]　一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．

(3)记法：弧度单位用符号　rad　表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．

5．弧度数

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　．

6．弧度与角度的换算公式

(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即

根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．

弧度与角度的换算公式如下：

若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad．

(2)常用特殊角的弧度数

(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

7．弧长公式与扇形面积公式

(1)弧长公式

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．

(2)扇形面积公式

由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．

(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示

【典型例题】

考点一：终边相同的角

1．（2021·江苏省镇江中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角.

【详解】与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.

故选：C

考点二：象限角

2．（2021·江苏·常州高级中学高一期末）角是第（    ）象限角

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】C

【分析】利用象限角的定义可得结果.

【详解】且，故为第三象限角.

故选：C.

3．（2021·江苏·高一课时练习）若，则角的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】变换得到，根据得到答案.

【详解】解：，，故角的终边在第一象限.

故选：A.

4．（2021·江苏·高一课时练习）设是第一象限角，试探究：

（1）一定不是第几象限角？

（2）是第几象限角？

【答案】（1）一定不是第三、四象限角；（2）是第一、二、三象限角.

【分析】根据是第一象限角，得到，再判断即可.

【详解】（1）因为是第一象限角，即，

所以，

所以一定不是第三、四象限角；

（2）因为是第一象限角，即，

所以，

当时，，是第一象限；

当时，，是第二象限；

当时，，是第三象限；

当时，，是第一象限；

综上：是第一、二、三象限角.

5．（2021·江苏·高一课时练习）已知是第四象限角，分别确定，，是第几象限角．

【答案】，，分别是第一、二、三象限角.

【分析】由条件可得，然后分别算出，，的范围，即可得到答案.

【详解】因为是第四象限角，所以

所以，为第一象限角；

，为第二象限角；

，为第三象限角

考点三：角的范围表示

6．（2021·江苏·高一专题练习）如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.

【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

【分析】写出终边在阴影部分的边缘的角即得解.

【详解】解：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为,

终边落在阴影部分第四象限最左边的角为.

所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.

故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

7．（2021·江苏·高一专题练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).

【答案】，

【分析】先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可.

【详解】因为，由图（1）知：以射线为终边的角的集合为，

角的终边与即的角的终边相同，

以为终边的角为，

所以终边落在阴影部分内的角的集合为：.

因为，，

由图（2）知：以射线为终边的角为，

以射线为终边的角为，

所以终边在直线上的角为：

，

同理终边在轴上的角为，

所以终边落在阴影部分内的角的集合.

考点四：弧长与面积公式

8．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）圆心角为且半径长为1cm的扇形的面积为（    ）cm

A．15 B．30 C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形面积公式计算可得.

【详解】解：因为，，

所以扇形的面积；

故选：C

9．（2022·江苏常州·高一期中）已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（    ）

A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm

【答案】C

【分析】根据扇形的周长求出扇形的半径，然后可求得扇形的弧长.

【详解】解：由题意得：

扇形的半径为，圆心角为3rad

扇形的周长为：，解得

所以扇形的弧长为：

故选：C

10．（2021·江苏·高一专题练习）已知扇形的周长为，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据弧长公式求出扇形圆心角的弧度数．

【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，

，则，

解得：或，

当时，，，

当时，，，故舍去，

扇形的圆心角的弧度数是．

故选:C．

11．（2022·江苏省天一中学高一期末）若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.

【答案】     2    

【分析】设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解

【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为

故

扇形的面积

由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为

此时，

故答案为：2，

考点五：应用

12．（多选）（2021·江苏·扬州中学高一阶段练习）下列说法正确的有（    ）

A．与的终边相同

B．小于的角是锐角

C．若为第二象限角，则为第一象限角

D．若一扇形的中心角为，中心角所对的弦长为，则此扇形的面积为

【答案】AD

【分析】利用终边相同的角的概念可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断BC选项的正误；利用扇形的面积公式可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，因为，所以，与的终边相同，A对；

对于B选项，不是锐角，B错；

对于C选项，取，则为第二象限角，但为第三象限角，C错；

对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，

因此，该扇形的面积为，D对.

故选：AD.

13．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.

【详解】设，，，，，

而，，即是的中点，

，，

.

故选：C

14．（2022·江苏南通·高一期末）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ）

A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米

【答案】B

【分析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．

【详解】解：由题得：弓所在的弧长为：；

所以其所对的圆心角；

两手之间的距离．

故选：B．

15．（2022·江苏·高三专题练习）达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数定义得、、三者之间关系，另有弧长公式，两式相除即可.

【详解】

设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得

故选：.

【点睛】本题主要考查扇形弧长公式.

16．（2021·江苏南通·高一期中）如图所示，直角中，，将绕着点A顺时针旋转到，再将绕着点顺时针旋转到，点、均在AB所在直线上，则B点运动的轨迹长度为______，第二次旋转时，边扫过区域图中阴影部分的面积为_________

【答案】          ##

【分析】由题意，可知三角形ABC旋转过程中形成的几何图形，然后根据弧长公式和扇形面积公式求解即可.

【详解】解：在中，

，，，

，，，

≌≌，

，，，，，

点运动轨迹是以A为圆心的弧，及 以为圆心的弧，的长为，的长为，

点运动的轨迹长度为

故答案为：，

17．（2022·江苏常州·高一期末）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Dense position system），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0-03，123密位写成1-23，设圆的半径为1，那么5-00密位的圆心角所对的弧长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先进行单位转化，再由弧长公式求解即可.

【详解】5-00密位的圆心角的弧度为，则5-00密位的圆心角所对的弧长为.

故选：A