【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第17讲 三角函数的图像与性质 讲义
展开第17讲 三角函数的图像与性质
【知识梳理】
知识点一 周期函数
1．周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
1．正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
2．正切函数的周期
正切函数是周期函数，最小正周期是π.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.
知识点三 三角函数的图像与性质
解析式 | y＝sin x | y＝cos x |
图象 | ||
值域 | [－1,1] | [－1,1] |
单调性 | 在，k∈Z上递增，在，k∈Z上递减 | 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 |
最值 | 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 | 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 |
函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式 | y＝tan x |
图象 | |
定义域 | |
值域 | R |
最小正周期 | π |
奇偶性 | 奇 |
单调性 | 在开区间(k∈Z)内都是增函数 |
知识点四 图像平移
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到．
知识点五 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
【典型例题】
考点一：函数的周期性
- 设为定义在上的奇函数，且满足，，则
A. B. C. D.
- 已知定义在上的奇函数满足当时，，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B.
C. D.
- 定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，，则的值为( )
- B. C. D.
考点二：函数的值域
- 函数的值域是( )
A. B. C. D. 以上均不对
- 已知函数定义域为，值域为，则 ．
考点三：函数的单调性
- 已知函数
求函数的单调递增区间
若，，求函数的最值．
- 函数为增函数的区间是 ．
考点四：三角函数的性质
- 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是图象的一个对称中心
C. 的周期为 D. 在区间单调递减
- 设函数，则下列结论错误的是( )
- 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在单调递减
考点五：图像与性质
- 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是( )
- 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数
考点六：平移
- 已知曲线：，：，则下面结论正确的是( )
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
- 已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则( )
- B. C. D.
考点七：零点问题
- 函数，的图象与直线为常数的交点可能有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 已知，函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围是
- 设函数，已知在上有且仅有个零点，则( )
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点恰有个
D. 在上单调递减
- 已知函数的图像过点，最小正周期为，且最小值为．
求函数的解析式
若，的值域是，求的取值范围．
- 已知函数的部分图象如图所示．
求，和的值；
求函数在上的单调递减区间；
若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
考点八：恒成立问题
- 已知函数的部分图象如图所示。
求函数的解析式
将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数为，若不等式在恒成立，求实数的取值范围。
考点九：奇偶性
- 若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 ．
- 有以下四个命题，正确命题的是( )
A. 若函数为奇函数，则为的整数倍
B. 若函数为奇函数，则为的整数倍
C. 对于函数，若，则必是的整数倍
D. 对于函数，若，则必是的整数倍
- 已知函数的最小正周期为．
求当为偶函数时的值；
若的图象过点，求的单调递增区间．
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