【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修二：第03讲 向量的数乘 讲义

第03讲  向量的数乘

知识点01  向量数乘的定义及其几何意义

1.向量数乘的定义

实数λ与向量a的积是一个        ，这种运算叫做向量的        ，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝        .

(2)λa (a≠0)的方向

特别地，当λ＝0时，λa＝        ；当λ＝－1时，(－1)a＝        .

2.向量数乘的几何意义

（1）当λ>0时，把向量a沿着向量a        的方向        。

（2）当λ<0时，把向量a沿着向量a        的方向        。

【即学即练1】如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

 知识点02  向量数乘的运算律

1.(1)λ(μa)＝        .

(2)(λ＋μ)a＝        .

(3)λ(a＋b)＝        .

特别地，(－λ)a＝－λa＝        ，λ(a－b)＝        .

2.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的        运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝        .

【即学即练2】的化简结果为（    ）

A． B． C． D．

 知识点03  共线向量定理

1.向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使        .

2.如果是三个不同的点，那么它们共线的充要条件是存在实数λ，使得        。       

考法01  有关向量的数乘运算

【典例1】下列各式化简正确的是（    ）

A． B．

C． D．

考法02  向量数乘的混合运算

【典例2】下列各式计算正确的个数是（　　）

①；②；③.

A．0 B．1

C．2 D．3

题组A  基础过关练

1．在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（    ）

A． B．2 C． D．

2．已知，则（    ）

A．三点共线 B．三点共线

C．三点共线 D．三点共线

3．在中，点D是的中点，则向量（    ）

A． B． C． D．

4．若，则__．

5．化简______.

6．平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．

7．化简：

(1)

(2)  

        题组B  能力提升练

1．已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

2．与模长为13的向量平行的单位向量为（    ）

A． B．

C．或 D．或

3．在中，是边上的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

4．（多选）在中，，记，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．平行四边形中，，则__________.

6．若，则________．

7．设两个非零向量与不共线．

(1)若，，，求证：，，三点共线；

(2)试确定实数，使和反向．

        题组C  培优拔尖练

1．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（    ）

A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心

2．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

3．衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（    ）

A．若，则点是边的中点

B．若点是边靠近点的三等分点，则

C．若点在边的中线上且，则点是的重心

D．若，则与的面积相等

5．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则=______．

6．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且，若，则______．

7．在中，点G满足，若存在点O，使得，且，则______．

8．设，是两个不共线的向量，如果，，.

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定的值，使和共线；

(3)若与不共线，试求的取值范围.