苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义优秀课后练习题

第15讲  复数的几何意义（解析版）

知识点01  复数的几何意义

1.复平面：根据复数相等的定义可知，任何一个复数z=a+bi都可以由一个              (a，b)唯一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是              的.因此，可用直角坐标系中的点Z(a，b)来表示复数z=a+bi.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作              ，x轴叫作              ，y轴叫作              .实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示              .

2.复数的几何意义

因为复平面内的点Z(a，b)与以原点为起点、以Z(a，b)为终点的向量              (原点O(0，0)与零向量对应)，所以复数z=a+bi也可以用向量来表示。

【即学即练1】已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（    ）

A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i

知识点02  复数的模

向量的模叫作复数z=a+bi的              (或绝对值)，记作|z|或               .如果b=0，那么z=a+bi就是实数a，它的模等于| a |(即实数a的绝对值).由模的定义可知：

【知识拓展】

解决复数的模的计算问题的关键是找出复数的实部和虚部，因此需先将复数化成一般形式，然后利用公式计算

【即学即练2】已知复数满足，则（    ）

A． B．1 C． D．2

知识点03  复数加法、减法的几何意义

1.复数加法的几何意义

如图1，设向量，分别与复数a+bi，c+di对应，且，不共线，以，为两条邻边画OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数              +              i对应的向量.这就是复数加法的几何意义.

2.复数减法的几何意义

(1)如图2，若向量，分别与复数z1，z2对应，则它们的差Z1-Z2对应着向量-即向量；如果作，那么点Z对应的复数就是Z1-Z2.这就是复数减法的几何意义.

(2)设z1=a+bi，z2=c+di，则z1-z2=              +              i，故|z1-z2|=              。

这表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的              .

【即学即练3】在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ）

A． B．5 C．2 D．10

考法01  求复数的模

【典例1】求证：复平面内分别与复数，，，对应的四点、、、共圆．

考法02  复数的坐标表示

【典例2】已知复数z满足，为虚数单位.

(1)求复数z；

(2)若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.

题组A  基础过关练

1．已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（    ）

A．－1 B．－2 C．1 D．2

2．在复平面内，复数 对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．复数在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（    ）

A．的共轭复数为 B．的虚部为

C．在复平面内对应的点在第一象限 D．

5．已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．

6．求值：_________．

7．已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点坐标为______．

8．在复平面上，对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则对应的复数为______．

9．已知复数z满足的虚部为8．

(1)求复数z；

(2)设在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的长度．

10．已知，i是虚数单位．

(1)求；

(2)设复数在复平面内所对应的点分别为，O为坐标原点，若所构成的四边形为平行四边形，求复数．

题组B  能力提升练

1．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．若复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（   ）

A． B． C． D．

3．复数，在复平面内对应的点位于（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质类比得到复数z的性质；

③已知a，，若，则，类比得已知，，若，则；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．

其中推理结论正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．

6．设复数满足，则__________．

7．设复数对应的向量为，若，则点的坐标为______．

8．若复数在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围为______．

9．已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）

(1)求|z|：

(2)设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．

10．已知复数，．

(1)若z是实数，求m的值．

(2)若z是纯虚数，求m的值．

(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；

题组C  培优拔尖练

1．复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（    ）．

A．抛物线 B．直线 C．线段 D．圆

2．已知，且，其中，为实数，则（    ）

A．1 B．3 C． D．5

3．若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知复数，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．在复面内对应的点位于第一象限

5．已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．若，则不可能是纯虚数

C．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为

D．是关于x的方程的一个根

6．已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________．

7．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.

8．（1）已知复数z满足，求．

（2）已知，对任意的，均有成立，求实数a的取值范围．

9．复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限．

(1)求复数；

(2)复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值．

10．设为虚数单位，，复数.且___________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.

①；②；③在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上.

(1)求实数的值；

(2)若是纯虚数，求实数的值.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）