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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品随堂练习题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品随堂练习题，文件包含第18讲基本图形位置关系原卷版docx、第18讲基本图形位置关系解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
第18讲 基本图形位置关系
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课程标准
课标解读
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。
②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。
③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。
④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系，掌握关于平面基本性质的三个基本事实，会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系。
2.了解空间两直线间的位置关系，理解空间直线与平面的位置关系，掌握空间平面与平面的位置关系。
3.会判断空间两直线的位置关系，能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题。
4.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题，掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。
5.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，理解并掌握平面与平面平行的性质定理。
6.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角。
7.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念；掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题。
8.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直；掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。
知识精讲
知识点01 平面的基本性质
1.平面的概念及表示
(1)平面的概念：平静的湖面给我们以平面的形象。和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念。
(2)平面的画法：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。如图所示。
(3)平面的表示：平面通常用希腊字母α，β，γ，···表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等。
【微点拨】
(1)如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把被遮挡部分用虚线画出来或不画。
(2)用希腊字母表示平面时，若题目条件已经说明平面α、平面β，则题目后面的叙述过程中可省略“平面”二字，只说α，β，而其他几种表示方法则不能省略“平面”二字。
(3)可用平面内不共线的三个字母表示平面，如平面ABC。
2.点、直线、平面之间位置关系的符号表示空间中点、直线、平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C∉AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A₁不在平面AC内
A₁∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC=B
直线AB在平面AC内
AB平面AC
直线AA₁不在平面AC内
AA1⊄平面AC
3.平面的三个基本事实
(1)三个基本事实及其表示
内容
符号表示
作用
基本
事实
1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A，B，C∈α
(1)确定平面；
(2)判定两平面重合；
(3)证明点线共面
基本
事实
2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
(1)用来判断直线是否在平面内；
(2)用来判断点是否在平面内
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有一个公点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
(1)用来找两个平面的交线；
(2)用来证明点在线上
(2)三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【即学即练1】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
【答案】D
【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.
【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；
对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误；
对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误；
对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确.
故选：D.
知识点02 空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线
在同一平面内
有且只有一个
平行直线
在同一平面内
没有
异面直线
不同在任何一个平面内
没有
2.平行直线
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.用符号表示为：。
(2)空间等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
【微点拨】(1)a，b，c三条直线两两平行，可以记为a//b//c.
(2)基本事实4所表述的性质又叫空间平行线的传递性，反映了两条直线的位置关系，主要用来证明两条直线平行，它是证明两条直线平行的重要依据。
(3)基本事实4说到的两条直线是指不重合的两条直线。
(4)注意定理中的“方向相同”的条件，若只是说“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”，则这两个角相等或互补。
3.异面直线
(1)异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
(2)常见的异面直线有三种画法，如图所示.
(3)异面直线的判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线(如图所示).用符号表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线。
(4)异面直线所成的角
①如下图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角.
②若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.
【微点拨】(1)异面直线所成的角θ∈(0°，90°]。
(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线.也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可能是平行直线，也可能是相交直线或异面直线。
【即学即练2】在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.
【详解】如下图所示,连接
,
则异面直线与所成角为
,即为等边三角形
.
故选:C.
知识点03 直线与平面的位置关系
1.直线与平面的位置关系
(1)如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内。
(2)一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面
α相交
直线a与平面α
平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α=A
a∥α
我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄α.
2.直线与平面平行的判定及性质
（1）判定定理：如果平面外一条直线与判定此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
。
（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平定理面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
3.直线与平面垂直的相关定义
如图，如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α.直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。
【微点拨】(1)定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线(即所有直线），而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替。
(2)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但已知直线与平面垂直时，却可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直，简述为“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法。
4.直线与平面垂直的判定及性质
（1）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
5.点与平面、直线与平面的距离
(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
(2)从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离。
(3)一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离。
6.直线与平面所成的角
(1)相关概念：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段。
(2)直线在平面内的射影：过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面α内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影。
(3)直线与平面所成的角
①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角。
②如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角.直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°。
(4)求直线与平面所成的角的步骤
①寻找过这条直线上的一点与平面垂直的直线，确定垂足；
②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
③把该角放入特殊三角形中计算。
【即学即练3】已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【答案】A
【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论.
【详解】由题意，
①，，故，故正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则与可能平行或相交，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.
故选：A.
知识点04 平面与平面的位置关系
1.两个平面的位置关系
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行；如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交。
两个平面的位置关系：
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有一条公共直线
符号表示
α∥β
α∩β=a
2.两个平面平行的判定及性质
（1）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（2）性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
3.两个平面平行的其他性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
(4)两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例。
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。
【微点拨】(1)如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行.即使一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不一定能推出这两个平面平行。如图所示，平面β内可以有无数条直线平行于平面α，但平面β与平面α相交。
(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的。
4.两个平行平面间的距离
(1)公垂线、公垂线段
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段有无数条，长度都相等。
(2)两个平行平面间的距离
①定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
②两平行平面间的距离也等于其中一平面上任意一点到另一平面的距离。
5.二面角
(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”。
(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面β角的面。
(3)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角。
【微点拨】二面角的平面角必须具备三个条件：
①角的顶点在二面角的棱上；
②角的两边分别在二面角的两个半平面内；
③角的两边分别与二面角的棱垂直.
(4)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°。平面角是直角的二面角叫作直二面角。
6.平面与平面垂直
(1)两个平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
【即学即练4】设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（ ）
A．若,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
【答案】D
【分析】根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可.
【详解】选项A:,,只有当在同一平面内的时候,才有,故不正确;
选项B: ,,,则可相交、平行或异面,故不正确;
选项C:,,,则还可能是相交平面,故不正确;
选项D:两个平面垂直时,与它们垂直的两条直线一定是垂直的,所以若,,,则,正确.
故选:D.
能力拓展
考法01 平面的基本性质
【典例1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.
【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，
点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，
因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；
因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，
点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，
而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，
所以说法正确的命题序号是①④．
故选：B
考法02 空间两条直线的位置关系
【典例2】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ，，，即可得到，则或其补角是异面直线与所成的角，求出，，，再利用余弦定理计算可得.
【详解】解：如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ，，，
由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,
又因为是的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
设，则，
从而，
，
故,
故异面直线与所成角的余弦值是.
故选：C
考法03 直线与平面的位置关系
【典例3】如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ）
A．EF平面
B．
C．EF与AD1所成角为60°
D．EF与平面所成角的正弦值为
【答案】C
【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断．
【详解】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，
又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正确；
对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，
又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，
又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确；
对于C，由，得EF与AD1所成角为.
在中，，所以，
所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误；
对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，
在中，，所以，故D正确．
故选：C．
考法04 平面与平面的位置关系
【典例4】设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理，性质定理逐项进行分析即可求解.
【详解】若，，则根据面面平行的性质定理和判定定理可得，故①正确；
若，，则或与相交或在平面内，故②不正确；
因为，所以内有一直线与平行，而，则，根据面面垂直的判定定理可知：，故③正确；
若，，则或，故④不正确，
故选：.
分层提分
题组A 基础过关练
1．在正四面体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得.
【详解】取中点，连接，
均为等边三角形，为中点，，，
，平面，平面，
又平面，，即异面直线与所成的角为.
故选：A.
2．关于直线、及平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【分析】根据条件判断各选项即可.
【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误；
对于B，若，，则存在直线，使得，且，则，
故，故B正确；
对于C，若，，则，或，故C错误；
对于D，若，则不一定得到，故D错误.
故选：B.
3．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则（ ）
A．若l与m垂直，则l与α一定垂直
B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°
C．lm是lα的充分不必要条件
D．若l与α相交，则l为m一定是异面直线
【答案】C
【分析】对于A，根据线面垂直判定定理可判断；对于B，根据线面角的定义可判断；对于C，根据线面平行的判定定理及性质定理可判断；对于D，根据线面相交可判断.
【详解】对于A，当l与m垂直时，由线面垂直判定定理可得l与α不一定垂直，A错误；
对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°≤θ≤30°，B错误；
对于C，若lm，m⊂α，l⊄α，则lα；若lα，因为m⊂α，则l与m平行或异面，
所以lm是lα的充分不必要条件，C正确；
对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，D错误．
故选：C．
4．在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出直线与所成角，并利用余弦定理求得其余弦值.
【详解】取的中点为E，连接，，则，
所以为与所成的角（或其补角）.
设正四面体的棱长为，则，，，
所以在中，.
故选：C
5．下列命题中，正确的命题序号是（ ）
①平行于同一直线的两直线平行；
②垂直于同一直线的两直线平行；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④.
【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对；
对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错；
对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，，
则，与假设矛盾，假设不成立，③对；
对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示：
所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线，
故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错.
故选：B.
6．设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．
【答案】
【分析】根据题意画出几何体，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可求得即为点P到BC的距离，由勾股定理计算结果为.
【详解】如图所示：
根据题意可知，又，
所以；；
又，所以；
作于，由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，所以即为点P到BC的距离；
易知，由勾股定理可得.
即点P到BC的距离.
故答案为：
7．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.
【详解】设，连接，
平面，平面，，，
四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案为：.
8．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________.
【答案】
【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果.
【详解】如图，连结交于点，连结.
，E为AD的中点，
,
PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC，
PA∥OF，
.
故答案为：.
9．如图，在长方体中，，点为的中点，交于点．证明：
(1)直线平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）由线面垂直性质和正方形性质可得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论.
【详解】（1）四边形为矩形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）由长方体结构特征知：平面，又平面，；
四边形为矩形，，四边形为正方形，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
10．如图，在正四面体中，，，，分别是，，的中点，取，的中点，，点为平面内一点
(1)求证：平面平面
(2)若平面，求线段的最小值，
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可；
（2）由面面平行确定点在线段上，再求在边上的高，即的最小值.
【详解】（1）∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
又∵，平面，平面，
∴平面平面.
（2）
由（1）知，平面平面，
∴若平面内存在一点，使平面，则在线段上，
∴线段的最小值为到直线的距离，即在边上的高，
∵，分别为，的中点，，分别为，的中点，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，分别为，的中点，∴，同理，
∴当为中点时，，此时在边上的高，取最小值，
∴线段的最小值.
题组B 能力提升练
1．如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】确定平面，取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案.
【详解】直线与平面没有交点，所以平面，
取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，故 平面；
同理可得平面，，平面，
故平面平面，
故在上运动，当时，最小，最小值为，
此时的面积最小，求得.
故选：A
2．如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，证明出，所以，与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求，推导出，即可计算出的正弦值，即为所求.
【详解】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
又因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
又因为且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求．
在中，，，．
因为，所以为直角三角形，且，
所以．
故选：B．
3．已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是、的重心．以下平面中与直线平行的是（ ）
①平面； ②平面； ③平面； ④平面．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由已知以及重心定理可推得，进而得到，根据线面平行的判定定理可得①②正确；进而可判断直线与平面以及平面相交，即可得出③④错误.
【详解】
如图，取中点为，连结、.
由已知以及重心定理可得，，，则，.
所以，所以.
因为平面，平面，所以平面，故①正确；
因为平面，平面，所以平面，故②正确；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故③错误；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故④错误.
故选：B.
4．已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交圆于，连接，取的中点，连接，分析可知为与所成的角，利用余弦定理可求得，然后利用余弦定理可求得的余弦值，即为所求.
【详解】如图，延长交圆于，连接，取的中点，连接，则，
则为与所成的角，
不妨设圆的半径为，则，，
因为为、的中点，则四边形为平行四边形，
，，则，
在中，，
由余弦定理可得，
所以，．
故选：A．
5．如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________
【答案】
【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.
【详解】取的中点，连接、，如下图所示：
，为的中点，则，且，，，
因为，为的中点，可得，又因为所以，
则二面角的平面角为，
由余弦定理得，
因此，二面角的余弦值为.
故答案为：.
6．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
【答案】
【分析】根据线段题意可得：，，，得到平面平面，进而得到，利用相似三角形的面积比等于边长比的平方即可求解.
【详解】∵，且，
∴，同理，.
因为平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，又因为，且平面，
所以平面平面，
∵，，∴，
同理，
∴且，
∴，
故答案为：.
7．已知E、F、G、H分别为空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点，若，则______．
【答案】36
【分析】由题意得到四边形EFGH为平行四边形，再利用余弦定理求解即可.
【详解】解：因为E、F分别为空间四边形边AB、BC的中点，
所以且，同理 且，
，
所以且，
所以四边形EFGH为平行四边形，
又，
由余弦定理得，
，
因为，
所以，
所以.
故答案为：36.
8．如图，在三棱柱中，点是棱上一点，且，过直线的一个平面与棱交于，与棱交于，记截面的面积为，的面积为，的面积为，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】设，，，设的面积为，先求出，再由得，从而可得，又，故，令，，，结合对勾函数的性质求解取值范围即可．
【详解】连接FE，AD并延长交于M，
∵M∈AD，ADÌ面，∴M∈面，
∵M∈EF，EFÌ面，∴M∈面，
又面∩面＝，则M∈．
设，，由题意，
因为，则，
设的面积为，则，即，
因为，，则，则，即，
所以，则，
又因为，故，
令，，，
由对勾函数的性质得，当时，单调递减；当时，单调递增；
又，，，则，
所以的取值范围为．
故答案为：．
9．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．
(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；
（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.
【详解】（1）证明：，
∵设，∴，，,
∴，∴，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，
∴．
（2）延长交于点M，连接,
∵，∴D为的中点，
∵的中点为E，∴，不在平面内,
∵平面，∴平面，
又平面，平面，
∴平面平面，即直线l为直线，
∴平面．
10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1平面BCHG.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；
（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.
【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点
∴GH是的中位线，∴GHB1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面．
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EFBC，
∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF平面BCHG，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，
∴A1GEB，，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，
∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1平面BCHG.
题组C 培优拔尖练
1．正四棱锥中，E是AB上一点（不与端点重合），设SE与BC所成角大小为，SE是平面ABCD所成角大小为，二面角大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意作出辅助线，再利用线线、线面、二面角的定义得到，，，进而推得，，，，，从而根据直角三角形的性质得出，，由此即可判断的大小.
【详解】
设点为点在底面的投影点，点为的中点，作过点作直线，且点为直线的中点，
，
，
点为点在底面的投影点，
底面，底面，
，且，
为正四棱锥，点为点在底面的投影点，
点为底面的中心，
又点为的中点，，
，，
底面，底面，
，
，且平面，平面，
平面，
平面，，
，
，，
点为直线的中点，且，
，且，
又，
，，四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，平面，平面，平面，
又平面，，
在中，，
在中，，，
在中，，，
在中，为斜边，为直角边，则，
当点在线段上运动中，与重合时，，则，
则，
与都为锐角，则，
在中，为斜边，为直角边，则，
当点在线段上运动中，与重合时，，则，
且，
则，，
与都为锐角，则，，
综上所述：，
故选：A.
2．已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算作答.
【详解】在正方体中，平面平面，而平面，平面，
平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图，
而平面，平面，即分别为与平面所成的角，
而，则，且有，
当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M，
当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动，
当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，
当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，
而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，
因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即,
显然，，则，
所以线段的CF的取值范围是.
故选：D
3．已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过作交延长线于，为中点，连接，利用长方体性质及线面平行的判定证面、面，即面为平面，再延长交于，连接，利用线线、线面的性质确定面为平面截长方体所得截面，最后延长分别交于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及求截面面积即可.
【详解】过作交延长线于，则，若为中点，连接，
而M为的中点，在长方体中，而且面，
由面，则面，由面，则面，
所以面即为平面，延长交于，
易知：为中点，则且，又且，
故为平行四边形，则且，故共面，
连接，即面为平面截长方体所得截面，
延长分别交于一点，而在中都为中位线，
由，，则，故交于同一点，
易知：△为等腰三角形且，，则，可得，
又.
故选：A
4．（多选）在正方体中，下列四组面中彼此平行的有（ ）
A．平面与平面 B．平面与平面
C．平面与平面 D．平面与平面
【答案】ABC
【分析】对于ABC选项，按照两个平面平行的判定定理，寻找一个平面内两条相交直线分别平行另一个平面即可，三个选项实际上是同一个问题从不同的角度观察所得，对于D选项，找到两个平面的交线即可否定.
【详解】对于A选项，
，平面，平面，则平面，
同理可证，平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
对于B选项，
，平面，平面，则平面，
同理可证，平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，故B正确；
对于C选项，
，平面，平面，则平面，
同理可证，平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，故C正确；
对于D选项，
设，则平面且平面，
设，则平面且平面，
所以平面平面，故两个平面相交，故D错误.
故选：ABC.
5．（多选）正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条
B．在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条
C．棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交
D．在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条
【答案】AD
【分析】对于选项A、B、D，通过直线在空间中的位置关系进行判断；
对于选项C，可以找到不止一条直线与都相交.
【详解】记过且与夹角都相等的角为，则，夹角都为60°的直线有4条，A正确；夹角都为45°的直线有2条，所以B错误；
过与直线，CD，夹角都相等的直线有4条，所以D正确；
如图所示，直线分别延长之后与，，都相交；事实上，可以在直线CD上任取一点，都可以作出一条直线与，EF都相交的直线，所以可以作无数条，故C错误．
故选：AD.
6．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
【答案】
【分析】连接，设截面交棱于点，连接、，利用面面平行的性质分析可知点为的中点，且四边形为等腰梯形，计算出该四边形的各边长及高，利用梯形的面积公式可求得截面的面积.
【详解】连接，设截面交棱于点，连接、，
在正方体中，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
为的中点，则为的中点，
由勾股定理可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，
过点、分别在平面内作、，垂足分别为点、，
由等腰梯形的性质可得，，
又因为，所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，所以，，
所以，，则，
因此，截面面积为.
故答案为：.
7．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）
【答案】（3）（4）
【分析】简单的反例可以否定（1）（2），利用反证法，借助平行公理可以确认（3），通过较为复杂的构造与证明，可以确认（4）
【详解】（1）在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a与定直线b所成的角是任意的，故（1）错误；
（2）当平行时，不能保证直线垂直于平面，直线甚至可以在平面内，故（2）错误；
（3）假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在α内，故a,c平行，同理b,c平行，
根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；
（4）如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，
直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.
在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，∴P∉a，则直线a与点P确定一个平面，
可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面β内)，
由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.
8．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；
（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.
【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，
因为，所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
如图，
平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：.
9．如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）作出辅助线，通过证明面面平行得到线面平行；（2）先用余弦定理求出的长，用等体积法求出到平面的距离，从而求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】(1)证明：取的中点，连接，，
因为底面是直角梯形，，是AD的中点，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，
又因为是PC的中点，所以是△PBC的中位线，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，
因为，所以平面平面，而平面，所以平面；
(2)取AB中点O，连接PO，CO，AC，
因为是等边三角形，所以，∠PBA=60°，又因为底面是直角梯形，，，所以△ABC是等边三角形，CO⊥AB，故四边形AOCD是矩形，所以，
由第一问可知，，，，由余弦定理得，
∴由余弦定理得：，
又，∴平面∵平面ABC，∴平面平面，过点P作PH⊥OH，交CO的延长线于点H，则平面，
∴，故，连接GB，GC，其中
设到平面的距离设为，则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
10．如图1，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到三角形的位置，如图2所示.
（1）求证：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【分析】（Ⅰ）由菱形的性质可得,又平面，
所以平面；（Ⅱ）先证明四边形为平行四边形，可得. 又由（Ⅰ）得，平面, 从而得平面，由平面可得结论；（Ⅲ）别取和的中点，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得及，由面面平行的判定定理可得结论.
【详解】（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；
所以折叠后，,
又平面，
所以平面
（Ⅱ）因为四边形为菱形，
所以.
又点为的中点，
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又由（Ⅰ）得，平面,
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（Ⅲ）存在满足条件的点,且 分别是和的中点.
如图，分别取和的中点.
连接.
因为四边形为平行四边形，
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
在中，分别为中点，
所以.
又平面,平面,
所以平面平面.
第18讲 基本图形位置关系
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课程标准
课标解读
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。
②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。
③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。
④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系，掌握关于平面基本性质的三个基本事实，会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系。
2.了解空间两直线间的位置关系，理解空间直线与平面的位置关系，掌握空间平面与平面的位置关系。
3.会判断空间两直线的位置关系，能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题。
4.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题，掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。
5.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，理解并掌握平面与平面平行的性质定理。
6.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角。
7.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念；掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题。
8.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直；掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。
知识精讲
知识点01 平面的基本性质
1.平面的概念及表示
(1)平面的概念：平静的湖面给我们以平面的形象。和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念。
(2)平面的画法：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。如图所示。
(3)平面的表示：平面通常用希腊字母α，β，γ，···表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等。
【微点拨】
(1)如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把被遮挡部分用虚线画出来或不画。
(2)用希腊字母表示平面时，若题目条件已经说明平面α、平面β，则题目后面的叙述过程中可省略“平面”二字，只说α，β，而其他几种表示方法则不能省略“平面”二字。
(3)可用平面内不共线的三个字母表示平面，如平面ABC。
2.点、直线、平面之间位置关系的符号表示空间中点、直线、平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C∉AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A₁不在平面AC内
A₁∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC=B
直线AB在平面AC内
AB平面AC
直线AA₁不在平面AC内
AA1⊄平面AC
3.平面的三个基本事实
(1)三个基本事实及其表示
内容
符号表示
作用
基本
事实
1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A，B，C∈α
(1)确定平面；
(2)判定两平面重合；
(3)证明点线共面
基本
事实
2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
(1)用来判断直线是否在平面内；
(2)用来判断点是否在平面内
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有一个公点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
(1)用来找两个平面的交线；
(2)用来证明点在线上
(2)三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【即学即练1】下列说法正确的是（ ）
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
【答案】D
【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.
【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；
对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误；
对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误；
对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确.
故选：D.
知识点02 空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线
在同一平面内
有且只有一个
平行直线
在同一平面内
没有
异面直线
不同在任何一个平面内
没有
2.平行直线
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.用符号表示为：。
(2)空间等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
【微点拨】(1)a，b，c三条直线两两平行，可以记为a//b//c.
(2)基本事实4所表述的性质又叫空间平行线的传递性，反映了两条直线的位置关系，主要用来证明两条直线平行，它是证明两条直线平行的重要依据。
(3)基本事实4说到的两条直线是指不重合的两条直线。
(4)注意定理中的“方向相同”的条件，若只是说“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”，则这两个角相等或互补。
3.异面直线
(1)异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
(2)常见的异面直线有三种画法，如图所示.
(3)异面直线的判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线(如图所示).用符号表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线。
(4)异面直线所成的角
①如下图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角.
②若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.
【微点拨】(1)异面直线所成的角θ∈(0°，90°]。
(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线.也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可能是平行直线，也可能是相交直线或异面直线。
【即学即练2】在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.
【详解】如下图所示,连接
,
则异面直线与所成角为
,即为等边三角形
.
故选:C.
知识点03 直线与平面的位置关系
1.直线与平面的位置关系
(1)如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内。
(2)一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面
α相交
直线a与平面α
平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α=A
a∥α
我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄α.
2.直线与平面平行的判定及性质
（1）判定定理：如果平面外一条直线与判定此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
。
（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平定理面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
3.直线与平面垂直的相关定义
如图，如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α.直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。
【微点拨】(1)定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线(即所有直线），而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替。
(2)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但已知直线与平面垂直时，却可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直，简述为“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法。
4.直线与平面垂直的判定及性质
（1）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
5.点与平面、直线与平面的距离
(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
(2)从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离。
(3)一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离。
6.直线与平面所成的角
(1)相关概念：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段。
(2)直线在平面内的射影：过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面α内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影。
(3)直线与平面所成的角
①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角。
②如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角.直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°。
(4)求直线与平面所成的角的步骤
①寻找过这条直线上的一点与平面垂直的直线，确定垂足；
②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
③把该角放入特殊三角形中计算。
【即学即练3】已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【答案】A
【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论.
【详解】由题意，
①，，故，故正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则与可能平行或相交，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.
故选：A.
知识点04 平面与平面的位置关系
1.两个平面的位置关系
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行；如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交。
两个平面的位置关系：
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有一条公共直线
符号表示
α∥β
α∩β=a
2.两个平面平行的判定及性质
（1）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（2）性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
3.两个平面平行的其他性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
(4)两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例。
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。
【微点拨】(1)如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行.即使一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不一定能推出这两个平面平行。如图所示，平面β内可以有无数条直线平行于平面α，但平面β与平面α相交。
(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的。
4.两个平行平面间的距离
(1)公垂线、公垂线段
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段有无数条，长度都相等。
(2)两个平行平面间的距离
①定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
②两平行平面间的距离也等于其中一平面上任意一点到另一平面的距离。
5.二面角
(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”。
(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面β角的面。
(3)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角。
【微点拨】二面角的平面角必须具备三个条件：
①角的顶点在二面角的棱上；
②角的两边分别在二面角的两个半平面内；
③角的两边分别与二面角的棱垂直.
(4)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°。平面角是直角的二面角叫作直二面角。
6.平面与平面垂直
(1)两个平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
【即学即练4】设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（ ）
A．若,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
【答案】D
【分析】根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可.
【详解】选项A:,,只有当在同一平面内的时候,才有,故不正确;
选项B: ,,,则可相交、平行或异面,故不正确;
选项C:,,,则还可能是相交平面,故不正确;
选项D:两个平面垂直时,与它们垂直的两条直线一定是垂直的,所以若,,,则,正确.
故选:D.
能力拓展
考法01 平面的基本性质
【典例1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.
【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，
点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，
因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；
因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，
点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，
而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，
所以说法正确的命题序号是①④．
故选：B
考法02 空间两条直线的位置关系
【典例2】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ，，，即可得到，则或其补角是异面直线与所成的角，求出，，，再利用余弦定理计算可得.
【详解】解：如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ，，，
由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,
又因为是的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
设，则，
从而，
，
故,
故异面直线与所成角的余弦值是.
故选：C
考法03 直线与平面的位置关系
【典例3】如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ）
A．EF平面
B．
C．EF与AD1所成角为60°
D．EF与平面所成角的正弦值为
【答案】C
【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断．
【详解】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，
又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正确；
对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，
又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，
又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确；
对于C，由，得EF与AD1所成角为.
在中，，所以，
所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误；
对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，
在中，，所以，故D正确．
故选：C．
考法04 平面与平面的位置关系
【典例4】设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理，性质定理逐项进行分析即可求解.
【详解】若，，则根据面面平行的性质定理和判定定理可得，故①正确；
若，，则或与相交或在平面内，故②不正确；
因为，所以内有一直线与平行，而，则，根据面面垂直的判定定理可知：，故③正确；
若，，则或，故④不正确，
故选：.
分层提分
题组A 基础过关练
1．在正四面体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得.
【详解】取中点，连接，
均为等边三角形，为中点，，，
，平面，平面，
又平面，，即异面直线与所成的角为.
故选：A.
2．关于直线、及平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【分析】根据条件判断各选项即可.
【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误；
对于B，若，，则存在直线，使得，且，则，
故，故B正确；
对于C，若，，则，或，故C错误；
对于D，若，则不一定得到，故D错误.
故选：B.
3．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则（ ）
A．若l与m垂直，则l与α一定垂直
B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°
C．lm是lα的充分不必要条件
D．若l与α相交，则l为m一定是异面直线
【答案】C
【分析】对于A，根据线面垂直判定定理可判断；对于B，根据线面角的定义可判断；对于C，根据线面平行的判定定理及性质定理可判断；对于D，根据线面相交可判断.
【详解】对于A，当l与m垂直时，由线面垂直判定定理可得l与α不一定垂直，A错误；
对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°≤θ≤30°，B错误；
对于C，若lm，m⊂α，l⊄α，则lα；若lα，因为m⊂α，则l与m平行或异面，
所以lm是lα的充分不必要条件，C正确；
对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，D错误．
故选：C．
4．在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出直线与所成角，并利用余弦定理求得其余弦值.
【详解】取的中点为E，连接，，则，
所以为与所成的角（或其补角）.
设正四面体的棱长为，则，，，
所以在中，.
故选：C
5．下列命题中，正确的命题序号是（ ）
①平行于同一直线的两直线平行；
②垂直于同一直线的两直线平行；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④.
【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对；
对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错；
对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，，
则，与假设矛盾，假设不成立，③对；
对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示：
所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线，
故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错.
故选：B.
6．设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．
【答案】
【分析】根据题意画出几何体，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可求得即为点P到BC的距离，由勾股定理计算结果为.
【详解】如图所示：
根据题意可知，又，
所以；；
又，所以；
作于，由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，所以即为点P到BC的距离；
易知，由勾股定理可得.
即点P到BC的距离.
故答案为：
7．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.
【详解】设，连接，
平面，平面，，，
四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案为：.
8．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________.
【答案】
【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果.
【详解】如图，连结交于点，连结.
，E为AD的中点，
,
PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC，
PA∥OF，
.
故答案为：.
9．如图，在长方体中，，点为的中点，交于点．证明：
(1)直线平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）由线面垂直性质和正方形性质可得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论.
【详解】（1）四边形为矩形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）由长方体结构特征知：平面，又平面，；
四边形为矩形，，四边形为正方形，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
10．如图，在正四面体中，，，，分别是，，的中点，取，的中点，，点为平面内一点
(1)求证：平面平面
(2)若平面，求线段的最小值，
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可；
（2）由面面平行确定点在线段上，再求在边上的高，即的最小值.
【详解】（1）∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
又∵，平面，平面，
∴平面平面.
（2）
由（1）知，平面平面，
∴若平面内存在一点，使平面，则在线段上，
∴线段的最小值为到直线的距离，即在边上的高，
∵，分别为，的中点，，分别为，的中点，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，分别为，的中点，∴，同理，
∴当为中点时，，此时在边上的高，取最小值，
∴线段的最小值.
题组B 能力提升练
1．如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】确定平面，取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案.
【详解】直线与平面没有交点，所以平面，
取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，故 平面；
同理可得平面，，平面，
故平面平面，
故在上运动，当时，最小，最小值为，
此时的面积最小，求得.
故选：A
2．如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，证明出，所以，与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求，推导出，即可计算出的正弦值，即为所求.
【详解】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
又因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
又因为且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求．
在中，，，．
因为，所以为直角三角形，且，
所以．
故选：B．
3．已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是、的重心．以下平面中与直线平行的是（ ）
①平面； ②平面； ③平面； ④平面．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由已知以及重心定理可推得，进而得到，根据线面平行的判定定理可得①②正确；进而可判断直线与平面以及平面相交，即可得出③④错误.
【详解】
如图，取中点为，连结、.
由已知以及重心定理可得，，，则，.
所以，所以.
因为平面，平面，所以平面，故①正确；
因为平面，平面，所以平面，故②正确；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故③错误；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故④错误.
故选：B.
4．已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交圆于，连接，取的中点，连接，分析可知为与所成的角，利用余弦定理可求得，然后利用余弦定理可求得的余弦值，即为所求.
【详解】如图，延长交圆于，连接，取的中点，连接，则，
则为与所成的角，
不妨设圆的半径为，则，，
因为为、的中点，则四边形为平行四边形，
，，则，
在中，，
由余弦定理可得，
所以，．
故选：A．
5．如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________
【答案】
【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.
【详解】取的中点，连接、，如下图所示：
，为的中点，则，且，，，
因为，为的中点，可得，又因为所以，
则二面角的平面角为，
由余弦定理得，
因此，二面角的余弦值为.
故答案为：.
6．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
【答案】
【分析】根据线段题意可得：，，，得到平面平面，进而得到，利用相似三角形的面积比等于边长比的平方即可求解.
【详解】∵，且，
∴，同理，.
因为平面，平面，所以平面，
同理可得：平面，又因为，且平面，
所以平面平面，
∵，，∴，
同理，
∴且，
∴，
故答案为：.
7．已知E、F、G、H分别为空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点，若，则______．
【答案】36
【分析】由题意得到四边形EFGH为平行四边形，再利用余弦定理求解即可.
【详解】解：因为E、F分别为空间四边形边AB、BC的中点，
所以且，同理 且，
，
所以且，
所以四边形EFGH为平行四边形，
又，
由余弦定理得，
，
因为，
所以，
所以.
故答案为：36.
8．如图，在三棱柱中，点是棱上一点，且，过直线的一个平面与棱交于，与棱交于，记截面的面积为，的面积为，的面积为，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】设，，，设的面积为，先求出，再由得，从而可得，又，故，令，，，结合对勾函数的性质求解取值范围即可．
【详解】连接FE，AD并延长交于M，
∵M∈AD，ADÌ面，∴M∈面，
∵M∈EF，EFÌ面，∴M∈面，
又面∩面＝，则M∈．
设，，由题意，
因为，则，
设的面积为，则，即，
因为，，则，则，即，
所以，则，
又因为，故，
令，，，
由对勾函数的性质得，当时，单调递减；当时，单调递增；
又，，，则，
所以的取值范围为．
故答案为：．
9．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．
(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；
（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.
【详解】（1）证明：，
∵设，∴，，,
∴，∴，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，
∴．
（2）延长交于点M，连接,
∵，∴D为的中点，
∵的中点为E，∴，不在平面内,
∵平面，∴平面，
又平面，平面，
∴平面平面，即直线l为直线，
∴平面．
10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1平面BCHG.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；
（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.
【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点
∴GH是的中位线，∴GHB1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面．
（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EFBC，
∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF平面BCHG，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，
∴A1GEB，，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，
∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1平面BCHG.
题组C 培优拔尖练
1．正四棱锥中，E是AB上一点（不与端点重合），设SE与BC所成角大小为，SE是平面ABCD所成角大小为，二面角大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意作出辅助线，再利用线线、线面、二面角的定义得到，，，进而推得，，，，，从而根据直角三角形的性质得出，，由此即可判断的大小.
【详解】
设点为点在底面的投影点，点为的中点，作过点作直线，且点为直线的中点，
，
，
点为点在底面的投影点，
底面，底面，
，且，
为正四棱锥，点为点在底面的投影点，
点为底面的中心，
又点为的中点，，
，，
底面，底面，
，
，且平面，平面，
平面，
平面，，
，
，，
点为直线的中点，且，
，且，
又，
，，四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，平面，平面，平面，
又平面，，
在中，，
在中，，，
在中，，，
在中，为斜边，为直角边，则，
当点在线段上运动中，与重合时，，则，
则，
与都为锐角，则，
在中，为斜边，为直角边，则，
当点在线段上运动中，与重合时，，则，
且，
则，，
与都为锐角，则，，
综上所述：，
故选：A.
2．已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算作答.
【详解】在正方体中，平面平面，而平面，平面，
平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图，
而平面，平面，即分别为与平面所成的角，
而，则，且有，
当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M，
当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动，
当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，
当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，
而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，
因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即,
显然，，则，
所以线段的CF的取值范围是.
故选：D
3．已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过作交延长线于，为中点，连接，利用长方体性质及线面平行的判定证面、面，即面为平面，再延长交于，连接，利用线线、线面的性质确定面为平面截长方体所得截面，最后延长分别交于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及求截面面积即可.
【详解】过作交延长线于，则，若为中点，连接，
而M为的中点，在长方体中，而且面，
由面，则面，由面，则面，
所以面即为平面，延长交于，
易知：为中点，则且，又且，
故为平行四边形，则且，故共面，
连接，即面为平面截长方体所得截面，
延长分别交于一点，而在中都为中位线，
由，，则，故交于同一点，
易知：△为等腰三角形且，，则，可得，
又.
故选：A
4．（多选）在正方体中，下列四组面中彼此平行的有（ ）
A．平面与平面 B．平面与平面
C．平面与平面 D．平面与平面
【答案】ABC
【分析】对于ABC选项，按照两个平面平行的判定定理，寻找一个平面内两条相交直线分别平行另一个平面即可，三个选项实际上是同一个问题从不同的角度观察所得，对于D选项，找到两个平面的交线即可否定.
【详解】对于A选项，
，平面，平面，则平面，
同理可证，平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
对于B选项，
，平面，平面，则平面，
同理可证，平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，故B正确；
对于C选项，
，平面，平面，则平面，
同理可证，平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，故C正确；
对于D选项，
设，则平面且平面，
设，则平面且平面，
所以平面平面，故两个平面相交，故D错误.
故选：ABC.
5．（多选）正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条
B．在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条
C．棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交
D．在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条
【答案】AD
【分析】对于选项A、B、D，通过直线在空间中的位置关系进行判断；
对于选项C，可以找到不止一条直线与都相交.
【详解】记过且与夹角都相等的角为，则，夹角都为60°的直线有4条，A正确；夹角都为45°的直线有2条，所以B错误；
过与直线，CD，夹角都相等的直线有4条，所以D正确；
如图所示，直线分别延长之后与，，都相交；事实上，可以在直线CD上任取一点，都可以作出一条直线与，EF都相交的直线，所以可以作无数条，故C错误．
故选：AD.
6．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
【答案】
【分析】连接，设截面交棱于点，连接、，利用面面平行的性质分析可知点为的中点，且四边形为等腰梯形，计算出该四边形的各边长及高，利用梯形的面积公式可求得截面的面积.
【详解】连接，设截面交棱于点，连接、，
在正方体中，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
为的中点，则为的中点，
由勾股定理可得，，，
所以，四边形为等腰梯形，
过点、分别在平面内作、，垂足分别为点、，
由等腰梯形的性质可得，，
又因为，所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，所以，，
所以，，则，
因此，截面面积为.
故答案为：.
7．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）
【答案】（3）（4）
【分析】简单的反例可以否定（1）（2），利用反证法，借助平行公理可以确认（3），通过较为复杂的构造与证明，可以确认（4）
【详解】（1）在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a与定直线b所成的角是任意的，故（1）错误；
（2）当平行时，不能保证直线垂直于平面，直线甚至可以在平面内，故（2）错误；
（3）假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在α内，故a,c平行，同理b,c平行，
根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；
（4）如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，
直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.
在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，∴P∉a，则直线a与点P确定一个平面，
可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面β内)，
由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.
8．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；
（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.
【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，
因为，所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
如图，
平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：.
9．如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）作出辅助线，通过证明面面平行得到线面平行；（2）先用余弦定理求出的长，用等体积法求出到平面的距离，从而求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】(1)证明：取的中点，连接，，
因为底面是直角梯形，，是AD的中点，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，
又因为是PC的中点，所以是△PBC的中位线，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，
因为，所以平面平面，而平面，所以平面；
(2)取AB中点O，连接PO，CO，AC，
因为是等边三角形，所以，∠PBA=60°，又因为底面是直角梯形，，，所以△ABC是等边三角形，CO⊥AB，故四边形AOCD是矩形，所以，
由第一问可知，，，，由余弦定理得，
∴由余弦定理得：，
又，∴平面∵平面ABC，∴平面平面，过点P作PH⊥OH，交CO的延长线于点H，则平面，
∴，故，连接GB，GC，其中
设到平面的距离设为，则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
10．如图1，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到三角形的位置，如图2所示.
（1）求证：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【分析】（Ⅰ）由菱形的性质可得,又平面，
所以平面；（Ⅱ）先证明四边形为平行四边形，可得. 又由（Ⅰ）得，平面, 从而得平面，由平面可得结论；（Ⅲ）别取和的中点，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得及，由面面平行的判定定理可得结论.
【详解】（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；
所以折叠后，,
又平面，
所以平面
（Ⅱ）因为四边形为菱形，
所以.
又点为的中点，
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又由（Ⅰ）得，平面,
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（Ⅲ）存在满足条件的点,且 分别是和的中点.
如图，分别取和的中点.
连接.
因为四边形为平行四边形，
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
在中，分别为中点，
所以.
又平面,平面,
所以平面平面.
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